2024八年级数学下册第1章二次根式章末测试卷试题（附解析浙教版）

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第1章二次根式章末测试卷考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（阳谷县期末）已知24n是整数，则正整数n的最小值是（　　）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】因为24n是整数，且24n=26n，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【解答】解：∵24n=26n，且24n是整数，∴26n是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故选：C．2．（3分）（绥化）若式子x0x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠0【分析】利用分式分母不为0和二次根式、零指数幂有意义的条件确定关于x的不等式，从而确定答案．【解答】解：根据题意得：x+1＞0且x≠0，解得：x＞﹣1且x≠0，故选：C．3．（3分）（锦江区校级期末）等式(b-a)2x=（b﹣a）x成立的条件是（　　）A．a≥b，x≥0 B．a≥b，x≤0 C．a≤b，x≥0 D．a≤b，x≤0【分析】若二次根式有意义，则被开方数为非负数，算术平方根的结果也是非负数，可据此求出a、b、x的取值范围．【解答】解：根据算术平方根的意义可知，b﹣a≥0且x≥0，即a≤b，x≥0．故选：C．4．（3分）（平房区期末）若最简二次根式3a-b4a+3b和2a-b+6能合并，则a、b的值分别是（　　）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【分析】根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．【解答】解：∵最简二次根式3a-b4a+3b和2a-b+6能合并，∴3a-b=24a+3b=2a-b+6，即3a-b=2①a+2b=3②，①×2+②得：7a＝7，解得：a＝1，把a＝1代入②得：1+2b＝3，解得：b＝1．故选：D．5．（3分）（周口月考）已知m，n在数轴上位置如图所示，化简：2(m-n)2-(2m+n)2-m2的结果是（　　）A．﹣3n+3m B．3n﹣m C．﹣n+3m D．3n+m【分析】根据a2=|a|化简，然后根据绝对值的性质化简即可．【解答】解：∵m﹣n＜0，2m+n＜0，m＜0，原式＝2|m﹣n|﹣|2m+n|﹣|m|＝﹣2m+2n+2m+n+m＝3n+m，故选：D．6．（3分）（周口月考）小康和小英玩摸卡片游戏：如图，有三张大小，形状，纸质完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式，现将背面朝上，小康随机抽取两张，若小康所抽取的两张卡片都是无理数，则它们的和为（　　）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根据无理数的定义判断其中的两个无理数，再根据二次根式的性质以及运算法则计算即可．【解答】解：(2+3)(2-3)=22-(3)2=4-3=1，卡片A，C上的数是无理数，卡片B上的数是有理数，(1-3)2+48÷(-2)2=1-23+3+43÷2＝4-23+23＝4．故选：A．7．（3分）（海淀区校级期末）已知x，y为实数，xy＝5，那么xyx+yxy的值为（　　）A．5 B．25 C．±25 D．5【分析】先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值．【解答】解：xyx+yxy=xxy|x|+yxy|y|，∵x，y为实数，xy＝5，∴x、y同号，当x＜0，y＜0时，原式=xxy-x+yxy-y=-xy-xy=-5-5=-25，当x＞0，y＞0时，原式=xxyx+yxyy=xyxy=5+5=25，由上可得，xyx+yxy的值是±25，故选：C．8．（3分）（三元区期中）计算（1-12-13-14）×（12+13+14+15）﹣（1-12-13-14-15）×（12+13+14）的结果等于（　　）A．12 B．55 C．33 D．22【分析】设a=12+13+14，原式变形后计算即可求出值．【解答】解：设a=12+13+14，原式＝（1﹣a）（a+15）﹣（1﹣a-15）×a＝a+15-a2-a5-a+a2+a5=55．故选：B．9．（3分）（思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c=20192+2020+2021，则a，b，c的大小关系是（　　）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】先化简各式，然后再进行比较即可．【解答】解：a＝2021×2022﹣20212＝2021×（2022﹣2021）＝2021×1＝2021；b＝1013×1008﹣1012×1007＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012×1007＝1012+1007+1＝2020；c=20192+2020+2021=(2020-1)2+2020+2021=20202-2×2020+1+2020+2021=20202+2；∴2020＜20202+2＜2021，∴b＜c＜a，故选：D．10．（3分）（安岳县校级月考）如果f（x）=x21+x2并且f（1）表示当x=1时的值，即f（1）=(1)21+(1)2=12，f（12）表示当x=12时的值，即f（12）=(12)21+(12)2=13，那么f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f(13)+⋯+f(n)+f(1n)的值是（　　）A．n-12 B．n-32 C．n-52 D．n+12【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．【解答】解：代入计算可得，f（2）+f（12）＝1，f（3）+f（13）＝1，…，f（n）+f（1n）＝1，所以，原式=12+（n﹣1）＝n-12．故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（昌江区校级期中）化简1695a(-2135a3)的结果是　﹣33a2　；(1-a)⋅1a-1的结果是　-a-1　．【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质化简即可．【解答】解：1695a（﹣2135a3）=16×（﹣2）×95×135⋅a⋅a3=-139×27a4＝﹣33a2；（1﹣a）•1a-1＝（1﹣a）•a-1a-1=-a-1，故答案为：﹣33a2；-a-1．12．（3分）（澄海区期末）若实数a，b满足关系式a+2b=16-b2+b2-16b+4+4，则ab＝　﹣16　．【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到b＝4，代入关系式得到a＝﹣4，从而得到ab＝﹣16．【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：16-b2≥0b2-16≥0，∴b2﹣16＝0，∴b＝±4，根据分式有意义的条件得：b+4≠0，∴b≠﹣4，∴b＝4，代入关系式得：a+8＝4，∴a＝﹣4，∴ab＝﹣4×4＝﹣16，故答案为：﹣16．13．（3分）（闵行区校级期中）已知x=n+1-nn+1+n，y=n+1+nn+1-n，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为　2　．【分析】先将x，y分母有理化化简为含n的代数式，可得x+y＝4n+2，xy＝1，然后将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985，结果化简为x2+y2＝98，进而求解．【解答】解：∵x=n+1-nn+1+n=(n+1-n)2(n+1+n)(n+1-n)=（n+1-n）2＝2n+1﹣2n(n+1)，y=n+1+nn+1-n，(n+1+n)2(n+1-n)(n+1+n)=（n+1+n）2＝2n+1+2n(n+1)，∴x+y＝4n+2，xy＝1，将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985得19x2+123+19y2＝1985，化简得x2+y2＝98，（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2＝100，∴x+y＝10．∴4n+2＝10，解得n＝2．故答案为：2．14．（3分）（昌江区校级期中）已知x＞0，y＞0，x2+y2＝36，(x-y)4+(x+y)4=250，则xy＝　896　．【分析】根据完全平方公式和平方差公式将(x-y)4+(x+y)4=250变形，然后计算求值即可．【解答】解：(x-y)4+(x+y)4＝[（x-y）2+（x+y）2]2﹣2（x-y）2（x+y）2＝（x﹣2xy+y+x+2xy+y）2﹣2（x﹣y）2＝（2x+2y）2﹣2（x2﹣2xy+y2）＝4x2+8xy+4y2﹣2x2+4xy﹣2y2＝2x2+12xy+2y2，∵x＞0，y＞0，x2+y2＝36，(x-y)4+(x+y)4=250，∴2x2+12xy+2y2＝2（x2+y2）+12xy＝2×36+12xy＝72+12xy＝250，解得xy=896，故答案为：896．15．（3分）（江岸区校级月考）我们定义[a]为不超过a的最大整数．例如：[3.14]＝3，[8]＝8，[﹣0.618]＝﹣1，[﹣7.1]＝﹣8，[﹣4]＝﹣4．若[5﹣3a+1]＝﹣2，则a的取值范围是　3＜a≤409　．【分析】直接新定义得出不等式，进而解不等式得出答案．【解答】解：∵[5﹣3a+1]＝﹣2，∴﹣2≤5﹣3a+1＜-1，则﹣7≤﹣3a+1＜-6，故6＜3a+1≤7，解得：3＜a≤409．故答案为：3＜a≤409．16．（3分）（鄞州区校级期末）已知a+b=2002+2，a-b=2002-2，|b3+c3|＝b3﹣c3，则a3b3﹣c3的值为　1　．【分析】根据绝对值的意义分析b和c的取值，然后利用完全平方公式计算求得ab的值，从而进行计算．【解答】解：∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∴4ab＝（2002+2）2﹣（2002-2）2=2002+2-2002+2＝4，∴ab＝1，∵|b3+c3|＝b3﹣c3，且|b3+c3|＝±（b3+c3），当|b3+c3|＝b3+c3＝b3﹣c3时，c＝0，∴原式＝（ab）3﹣03＝1，当|b3+c3|＝﹣b3﹣c3＝b3﹣c3时，b＝c＝0，此时ab＝0，故此情况不成立，综上，原式的值为1，故答案为：1．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）若a＞0，b＞0，且（a+b）2＝3a+ab-2b，求a-ba+ab的值．【分析】根据（a+b）2＝3a+ab-2b化简可得ab=2a-3b，从而可以解答本题．【解答】解：∵（a+b）2＝3a+ab-2b，化简，得ab=2a-3b．∴a-ba+ab=a-ba+2a-3b=a-b3a-3b=13．即a-ba+ab=13．18．（6分）（昌江区校级期末）（a+b-aba+b）÷（aab+b+bab-a-a+bab）（a≠b）．【分析】先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解答】解：原式=a+ab+b-aba+b÷aab(ab-a)+bab(ab+b)-(a+b)(ab+b)(ab-a)ab(ab+b)(ab-a)=a+ba+b÷a2-aab-bab-b2-a2+b2ab(a+b)(a-b)=a+ba+b⋅ab(a-b)(a+b)-ab(a+b)=-a+b．19．（8分）（赫山区期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：82-1×15=64-15=49=7，242-17×31=576-527=49=7．不难发现，结果都是7．（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．【分析】（1）任意框相邻的一列上的三个数，计算验证即可；（2）设框的三个数的中间那个数为x，则第一个数为x﹣7，第三个数为x+7，计算验证即可．【解答】解：（1）我框的是2，9，16，92-2×16=81-32=49＝7；（2）证明：设框的三个数的中间那个数为x，则第一个数为x﹣7，第三个数为x+7，x2-(x-7)(x+7)=x2-(x2-49)=x2-x2+49=49＝7．20．（8分）（赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．如：2+12-1=(2+1)(2+1)(2-1)(2+1)=3+22．除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．如：化简2+3-2-3．解：设x=2+3-2-3，易知2+3＞2-3，故x＞0．由于x2＝（2+3-2-3）2＝2+3+2-3-2(2+3)(2-3)=2．解得x=2，即2+3-2-3=2根据以上方法，化简：3-223+22+3-5-3+5．【分析】根据题目提供的方法先计算3-5-3+5．再计算3-223+22，进而进行计算即可．【解答】解：设x=3-5-3+5，易知3-5＜3+5，故x＜0，由于x2＝（3-5-3+5）2＝3-5+3+5-2(3-5)(3+5)=2，所以x=-2，即3-5-3+5=-2，所以原式=(3-22)(3-22)(3+22)(3-22)-2＝17﹣122-2＝17﹣132．21．（8分）（聊城期末）像4-23，48-45⋯这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：4-23=3-23+1=(3)2-2×3×1+12=(3-1)2=3-1．再如：5+26=3+26+2=(3)2+23×2+(2)2=(3+2)2=3+2．请用上述方法探索并解决下列问题：（1）化简：12+235；（2）化简：16-415；（3）若a+65=(m+5n)2，且a，m，n为正整数，求a的值．【分析】（1）把12拆成7+5，即（7）2+（5）2，写成完全平方公式的形式即可求解；（2）先提出2，把8拆成5+3，写成完全平方公式的形式即可求解；（3）按照完全平方公式展开，使有理数和无理数分别相等，再根据a、m、n为正整数，得m＝1，n＝3，或者m＝3，n＝1，分别计算出a的值即可．【解答】解：（1）12+235=(7+5)2=7+5；（2）16-415=2×8-215=2(5-3)=10-6；（3）∵a+65=（m+5n）2＝m2+5n2+25mn，∴a＝m2+5n2，6＝2mn，又∵a、m、n为正整数，∴m＝1，n＝3，或者m＝3，n＝1，∴当m＝1，n＝3时，a＝46；当m＝3，n＝1，a＝14，综上所述，a的值为46或14．22．（8分）（西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3　＞　24×3，1+16　＞　21×16，5+5　＝　25×5．（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要　40　m．【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2mn；比较大小，可以作差，m+n﹣2mn，联想到完全平方公式，问题得证；（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a+2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．【解答】解：（1）∵4+3＝7，24×3=43，∴72＝49，（43）2＝48，∵49＞48，∴4+3＞24×3；∵1+16=76＞1，21×16=63＜1，∴1+16＞21×16；∵5+5＝10，25×5=10，∴5+5＝25×5．故答案为：＞，＞，＝．（2）m+n≥2mn（m≥0，n≥0）．理由如下：当m≥0，n≥0时，∵（m-n）2≥0，∴（m）2﹣2m•n+（n）2≥0，∴m﹣2mn+n≥0，∴m+n≥2mn．（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根据（2）的结论可得：a+2b≥2a⋅2b=22ab=22×200=2×20＝40，∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．23．（8分）（长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式a-2有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；②化简：1+1n2+1(n+1)2，则需计算1+1n2+1(n+1)2，而1+1n2+1(n+1)2=n2(n+1)2+(n+1)2+n2n2(n+1)2=n2(n+1)2+n2+2n+1+n2n2(n+1)2=n2(n+1)2+2n2+2n+1n2(n+1)2=n2(n+1)2+2n(n+1)+1n2(n+1)2=[n(n+1)+1]2n2(n+1)2，所以1+1n2+1(n+1)2=[n(n+1)+1]2n2(n+1)2=n(n+1)+1n(n+1)=1+1n(n+1)=1+1n-1n+1．（1）根据二次根式的性质，要使a+23-a=a+23-a成立，求a的取值范围；（2）利用①中的提示，请解答：如果b=a-2+2-a+1，求a+b的值；（3）利用②中的结论，计算：1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+120202+120212．【分析】（1）根据二次根式成立的条件求解即可；（2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可；（3）利用②中的结论求解即可．【解答】解：（1）由题意得，a+2≥03-a＞，∴﹣2≤a＜3；（2）由题意得，a-2≥02-a≥0，∴a＝2，∴b=2-2+2-2+1＝0+0+1＝1，∴a+b＝2+1＝3；（3）原式＝（1+11-12）+（1+12-13）+⋯+（1+12020-12021）＝1×2020+1-12021＝202020202021．