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2024年四川省绵阳市安州区中考数学二模试卷+
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这是一份2024年四川省绵阳市安州区中考数学二模试卷+，共24页。
A．﹣πB．﹣3C．﹣D．﹣2
2．（3分）国务院新闻办公室2021年4月6日发布《人类减贫的中国实践》白皮书指出，改革开放以来，按照现行贫困标准计算，中国7.7亿农村贫困人口摆脱贫困，6098万贫困人口参加了城乡居民基本养老保险．将6098万用科学记数法表示为（ ）
A．6.098×103B．0.6098×104
C．6.098×107D．6.098×108
3．（3分）下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图，l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．85°B．95°C．105°D．115°
5．（3分）2023年杭州亚运会期间，吉祥物琼琼、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进x个玩偶，y个钥匙扣，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）下列图形均为正多边形，恰有3条对称轴的图形是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）在某县中小学安全知识竞赛中，参加决赛的6个同学获得的分数分别为（单位：分）：95、97、97、96、98、99，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（ ）
A．众数为95B．极差为3
C．平均数为96D．中位数为97
8．（3分）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（ ）
A．B．6C．8D．
9．（3分）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．a＝10B．10≤a＜12C．10＜a≤12D．10≤a≤12
10．（3分）如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形HICB的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定
11．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m2﹣4＝0的一个根是3，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．1或0
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB与AD上一点，连接CE，BF，交点为G，且CE⊥BF，连接DG，若DG＝CD，则tan∠DGF的值为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．（4分）因式分解：a（a﹣2）+1＝ ．
14．（4分）在坐标平面内，先将点M（﹣1，2）向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点M'的坐标是 ．
15．（4分）二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
16．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，sin∠ABC＝，BC＝42cm，则高AD为 ．
17．（4分）新安街道某段道路改造工程，由甲、乙两个工程队合作30天可完成，若单独施工，甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍．甲工程队单独完成此项工程需要 天．
18．（4分）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如果在旋转的过程中△ABC有一条边与DE平行，那么此时△BCE的面积是 ．
三．解答题（共7小题，满分90分）
19．（16分）（1）计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；
（2）先化简，再求值：÷，其中x＝﹣1．
20．（12分）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图）．
请根据图表信息解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）求扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角的度数；
（3）在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表法或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．
21．（12分）某公司开发出一款新的节能产品．已知该产品的成本价为8元/件，该产品在正式投放市场前，通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为13元/件．工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图所示的图象，图中的折线ABC表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数解析式，并求出日销售利润不超过1950元的天数共有多少？
22．（12分）如图，平行四边形ABCD内一点E，满足ED⊥AD于D，延长DE交BC于F，且∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45°，找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．
23．（12分）如图，在△AOB中，AB＝OB，点B在反比例函数的图象上，点A的坐标为（4，0），S△ABO＝4，求点B所在的反比例函数解析式．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，且AD⊥DE于D，与⊙O交于点F．
（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
（2）连接OF与AC交于点G，当AG＝GC＝k时，求切线CE的长．
25．（14分）定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函数l′的图象记作F1，函数l的图象未翻折的部分记作F2，图象F1和F2合起来记作图象F．
例如：函数l的解析式为y＝x2﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x2+3（x＜1）．
（1）如图，函数l的解析式为y＝﹣x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝ ．
（2）函数l的解析式为y＝﹣，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．
（3）已知函数l的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围；
②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）．
2024年四川省绵阳市安州区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．（3分）下列负数中，最大的数是（ ）
A．﹣πB．﹣3C．﹣D．﹣2
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴这四个负数中最大的是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）国务院新闻办公室2021年4月6日发布《人类减贫的中国实践》白皮书指出，改革开放以来，按照现行贫困标准计算，中国7.7亿农村贫困人口摆脱贫困，6098万贫困人口参加了城乡居民基本养老保险．将6098万用科学记数法表示为（ ）
A．6.098×103B．0.6098×104
C．6.098×107D．6.098×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：6098万＝60980000＝6.098×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图解答即可．
【解答】解：从正面看到的形状是圆的是球，
故选：B．
【点评】此题考查三视图，关键是根据主视图解答．
4．（3分）如图，l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．85°B．95°C．105°D．115°
【分析】首先根据平行线的性质可得出∠1+∠2+∠3＝180°，据此可得出∠3的度数．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝35°，∠2＝50°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝95°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
5．（3分）2023年杭州亚运会期间，吉祥物琼琼、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进x个玩偶，y个钥匙扣，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用总价＝单价×数量，结合购进玩偶和钥匙扣数量间的关系，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣，
∴购进钥匙扣的数量是购进宸宸玩偶数量的2倍，
∴2x＝y；
∵一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，且店家共花费5000元，
∴60x+20y＝5000．
∴根据题意可列出方程组．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（3分）下列图形均为正多边形，恰有3条对称轴的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据正n边形的对称轴有n条进行解题即可．
【解答】解：等边三角形有三条对称轴，
正方形有4条对称轴，
正五边形有5条对称轴，
正六边形有6条对称轴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的性质，熟练掌握正n边形的对称轴有n条是解题的关键．
7．（3分）在某县中小学安全知识竞赛中，参加决赛的6个同学获得的分数分别为（单位：分）：95、97、97、96、98、99，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（ ）
A．众数为95B．极差为3
C．平均数为96D．中位数为97
【分析】根据中位数，众数，平均数，极差的定义求解判断即可．
【解答】解：把这6个同学的成绩从小到大排列为：95、96、97、97、98、99，处在第3名和第4名的成绩为97、97，
∴中位数为97，
∵得分为97的出现了两次，出现的次数最多，
∴众数为97，
∵得分最高为99，得分最低为95，
∴极差为99﹣95＝4，
平均数＝，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了求中位数，众数，平均数和极差，熟知中位数，众数，平均数，极差的定义是解题的关键．
8．（3分）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（ ）
A．B．6C．8D．
【分析】先由等边三角形的性质，得BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，再根据CE＝CD，得∠E＝∠CDE，进而得∠CBD＝∠E＝30°，则BD＝DE＝4，然后在Rt△ABD中，由勾股定理求出AB即可．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是AC边上的中线，
∴BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝2AD，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，
∴60°＝2∠E，
∴∠E＝30°，
∠CBD＝∠E＝30°，
∴BD＝DE＝4，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2，
即（2AD）2﹣AD2＝（4）2，
解得：AD＝4，
∴AB＝2AD＝8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
9．（3分）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．a＝10B．10≤a＜12C．10＜a≤12D．10≤a≤12
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
【解答】解：由6﹣3x＜0得：x＞2，
由2x≤a得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴，解得10≤a＜12，
故选：B．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
10．（3分）如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形HICB的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根据面积公式求出S1与S2即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAB＝90°，
设正方形ABCD的边长为2a，
∵E为AD的中点，
∴AE＝a，
在Rt△EAB中，由勾股定理得：，
∵EF＝BE，
∴，
∴，
即，
∴，，
即S1＝S2，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质，能熟记正方形的性质是解此题的关键，注意：正方形的每个角都是90°，正方形的四边都相等．
11．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m2﹣4＝0的一个根是3，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．1或0
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若x1，x2是该方程的两个实数根，则，设方程的另一个根为x，则x+3＝2，3x＝m2﹣4，据此求解即可．
【解答】解：设方程的另一个根为x，
∵一元二次方程x2﹣2x+m2﹣4＝0的两个根是3和x，
∴x+3＝2，3x＝m2﹣4，
∴x＝﹣1，m2＝1，
∴m＝±1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB与AD上一点，连接CE，BF，交点为G，且CE⊥BF，连接DG，若DG＝CD，则tan∠DGF的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接DG，作DL⊥CE于点H，交BC于点L，则DL∥BF，由DG＝CD，DH⊥CG得CH＝GH，∠GDL＝∠CDL，则∠DGF＝∠GDL＝∠CDL，由平行线分线段成比例定理可以证明CL＝BL，则CL＝BC＝CD，所以tan∠DGF＝tan∠CDL＝＝，得到问题的答案．
【解答】解：如图，连接DG，作DL⊥CE于点H，交BC于点L，
∵CE⊥BF，
∴DL⊥CE，
∴DL∥BF，
∵DG＝CD，DH⊥CG，
∴CH＝GH，∠GDL＝∠CDL，
∴∠DGF＝∠GDL＝∠CDL，
∴＝＝1，
∴CL＝BL，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠LCD＝90°，
∴CL＝BC＝CD，
∴tan∠DGF＝tan∠CDL＝＝，
∴tan∠DGF的值为，
故选：B．
【点评】此题考查正方形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．（4分）因式分解：a（a﹣2）+1＝ （a﹣1）2 ．
【分析】根据完全平方公式进行分解，即可解答．
【解答】解：a（a﹣2）+1＝a2﹣2a+1
＝（a﹣1）2，
故答案为：（a﹣1）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
14．（4分）在坐标平面内，先将点M（﹣1，2）向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点M'的坐标是 （2，﹣2） ．
【分析】根据平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减可直接计算出B的坐标．
【解答】解：∵点M（﹣1，2）向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点M'，
∴M'（﹣1+3，2﹣4），
即M'（2，﹣2）．
故答案为：（2，﹣2）．
【点评】本题主要考查点坐标的平移变换．关键是熟练掌握点平移的变化规律．
15．（4分）二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴2x﹣1≥0，
解得：x≥．
故答案为：x≥．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
16．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，sin∠ABC＝，BC＝42cm，则高AD为 ．
【分析】先根据等腰三角形的三线合一性质得到BD的长，再利用三角函数的定义求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝42cm，
∴BD＝CD＝BC＝21（cm），
在Rt△ABD中，sin∠ABC＝＝，
∴设AD＝2x，AB＝5x，
∴BD＝＝x（cm），
∴x＝21，
∴x＝
∴AD＝2（cm），
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．
17．（4分）新安街道某段道路改造工程，由甲、乙两个工程队合作30天可完成，若单独施工，甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍．甲工程队单独完成此项工程需要 90 天．
【分析】设乙工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队单独完成此项工程需要2x天，根据甲工程队完成的任务量+乙工程队完成的任务量＝工程总量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队单独完成此项工程需要2x天，
依题意得：+＝1，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意，
则2x＝90．
答：甲工程队单独完成此项工程需要90天．
故答案为：90．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
18．（4分）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如果在旋转的过程中△ABC有一条边与DE平行，那么此时△BCE的面积是 或3 ．
【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当AC∥DE时，如图2，当BC∥DE时，利用含30度角的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图1，当AC∥DE时，过点B作BF⊥EC延长线于点F，
根据题意可知：∠DEC＝60°，∠ACB＝30°，
∵AC∥DE，
∴∠ACF＝∠DEC＝60°，
∴∠BCF＝30°，
∵AB＝2，
∴BC＝AB＝2，
∴BF＝BC＝，
∴△BCE的面积＝CE•BF＝2×＝；
如图2，当BC∥DE时，过点B作BG⊥EC延长线于点G，
∵BC∥DE，
∴∠BCG＝∠DEC＝60°，
∵BC＝AB＝2，
∴BG＝BC＝3，
∴△BCE的面积＝CE•BG＝2×3＝3．
综上所述：△BCE的面积是或3．
故答案为：或3．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质，关键是利用分类讨论思想解决问题．
三．解答题（共7小题，满分90分）
19．（16分）（1）计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；
（2）先化简，再求值：÷，其中x＝﹣1．
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°
＝
＝4﹣1+2﹣
＝5；
（2）÷
＝
＝
＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．（12分）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图）．
请根据图表信息解答下列问题：
（1）a＝ 20 ，b＝ 10 ；
（2）求扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角的度数；
（3）在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表法或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．
【分析】（1）先求出调查的学生总数，将调查的学生总数乘以20%即可求出b的值，将调查的学生总数减去其他三个项目的人数即可求出a的值；
（2）将“B”项目所在调查人数的比例乘以360°即可求出所对应的扇形圆心角的度数；
（3）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽中的2名学生来自不同班级的结果，再利用概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵调查的学生总数为：5÷10%＝50（人），
∴b＝50×20%＝10，
a＝50﹣（5+15+10）＝20，
故答案为：20，10；
（2）∵＝108°，
∴扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角的度数为108°；
（3）将七（1）的三人用A，B，C表示，七（2）的两人用D，E表示，列表如下：
∵共有20种等可能的结果，其中抽中的2名学生来自不同班级有12种可能的结果，
∴P（抽中的2名学生来自不同班级）＝．
【点评】本题考查统计表，扇形统计图，列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
21．（12分）某公司开发出一款新的节能产品．已知该产品的成本价为8元/件，该产品在正式投放市场前，通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为13元/件．工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图所示的图象，图中的折线ABC表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数解析式，并求出日销售利润不超过1950元的天数共有多少？
【分析】（1）分为1≤x≤10和10≤x≤30两段，分别设直线解析式，用待定系数法求出解析式；
（2）根据“利润＝（售价﹣成本价）×数量”先用含x的代数式表达出利润w，再求出利润为1950时的x的值，最后求出天数．
【解答】解：（1）当1≤x≤10时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
则，得，
即当1≤x≤10时，y与x的函数关系式为y＝﹣30x+480，
当10＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
则，得，
即当10＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝21x﹣30，
由上可得，．
（2）由题意可得，
当1≤x≤10时，w＝（13﹣8）y＝5y＝5×（﹣30x+480）＝﹣150x+2400，
当10＜x≤30时，w＝（13﹣8）y＝5y＝5×（21x﹣30）＝105x﹣150，
即．
当﹣150x+2400＝1950时，得x＝3，
当105x﹣150＝1950时，得x＝20，
∵20﹣3+1＝18，
∴日销售利润不超过1950元的共有18天．
【点评】本题以销售问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的应用，值得注意的是，本题的函数是分段函数，在表示解析式的时候要记得标注自变量x的取值范围．
22．（12分）如图，平行四边形ABCD内一点E，满足ED⊥AD于D，延长DE交BC于F，且∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45°，找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．
【分析】延长DE，交BC于F，由平行四边形的性质可得到∠BFE＝∠DFC＝90°，由已知可推EF＝FC，已知∠EBC＝∠EDC，则可以利用AAS来判定△BEF≌△DCF，从而得到CD＝BE．
【解答】解：CD＝BE．
证明：如图，延长DE交BC于F，
∵AD∥BC，ED⊥AD，
∴DF⊥BC，
∴∠BFE＝∠DFC＝90°，
又∵∠ECB＝45°，
∴∠FEC＝∠ECB＝45°，
∴FE＝FC，
∵∠EBC＝∠EDC，
∴△BEF≌△DCF（AAS），
∴CD＝BE．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．（12分）如图，在△AOB中，AB＝OB，点B在反比例函数的图象上，点A的坐标为（4，0），S△ABO＝4，求点B所在的反比例函数解析式．
【分析】利用反比例函数中k值的几何意义，求出三角形OBM的面积就可推导出k值，写出解析式．
【解答】解：设点B所在的反比例函数解析式为：y＝（x＞0），
过点B作BM⊥OA，垂足为M，
∵AB＝OB，BM⊥OA，
∴OM＝AM，
∴S△OBM＝S△AOB＝2；
∵S△OBM＝‖k‖＝2，且图象在第四象限，
∴k＝﹣4．
∴点B所在的反比例函数解析式为：y＝﹣（x＞0）
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，本题的关键是求点B所在的反比例函数的关系式．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，且AD⊥DE于D，与⊙O交于点F．
（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
（2）连接OF与AC交于点G，当AG＝GC＝k时，求切线CE的长．
【分析】（1）AC为∠DAE的角平分线，理由为：连接OC，FC，由DE为圆的切线，得到OC与DE垂直，利用同位角相等两直线平行得到AD与OC平行，利用两直线平行内错角相等，以及等边对等角得到∠1＝∠2，即可得证；
（2）根据题意得到AG＝GC＝k，易证△AOF是等边三角形，∠DAO＝∠AOF＝60°，∠1＝30°，∠COE＝60°，设⊙O的半径为r，在Rt△AOG中，由勾股定理可求出AB的长度，在Rt△ADE中，∠E＝30°，
所以AE＝2AD＝2k，从而可求出CE的长度．
【解答】解：（1）AC是∠DAE的平分线，理由为：
证明：连接OC、FC，
∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC＝∠OCE＝90°，
∴AD∥OC，
∴∠2＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠ACO，
∴∠1＝∠2，
∴AC是∠DAE的平分线；
（2）∵AG＝CG＝k，OA＝OC，
∴AC⊥OG，即AG⊥OF，
又∠1＝∠2，
∴∠AFG＝∠AOG，
∴AF＝AO，
又AO＝OF，
∴AF＝AO＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠DAO＝∠AOF＝60°，
∴∠1＝30°，∠COE＝60°，
又∠OCE＝90°，∠E＝30°，
设⊙O的半径为r，在Rt△AOG中，
∵∠1＝30°，
∴OG＝r，
又AG＝k，由勾股定理有：AG2+OG2＝AO2，
∴k2+（）2＝r2，
解得：r＝k，
∴AB＝k，
同理，在Rt△ADC中，AC＝2k，
∵∠2＝30°，
∴DC＝AC＝k，
∴AD＝k，
在Rt△ADE中，∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝2k，
∴OE＝AE﹣r＝k，
∴CE＝OE＝2k；
另解：∠1＝∠E＝30°，
∴CE＝CA＝AG+CG＝2k．
【点评】本题考查角平分线的性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，需要学生灵活运用所学知识．
25．（14分）定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函数l′的图象记作F1，函数l的图象未翻折的部分记作F2，图象F1和F2合起来记作图象F．
例如：函数l的解析式为y＝x2﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x2+3（x＜1）．
（1）如图，函数l的解析式为y＝﹣x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝ y＝x﹣4（x＜﹣1） ．
（2）函数l的解析式为y＝﹣，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．
（3）已知函数l的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围；
②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）．
【分析】（1）运用“相关函数”的定义结合待定系数法解答即可；
（2）先写出图象F的解析式，再分别将y＝﹣2代入，解得x值，即可得出该点的横坐标；
（3）①先根据“相关函数”的定义得出图象F的解析式，再运用二次函数图象和性质分类讨论：当F2经过点（m，2）时，当F1经过点（m，2）时，当F1经过点A（0，2）时，当F1经过点B（6，2）时，综合得出结论即可；
②由n的最小值始终保持不变，结合抛物线对称轴为直线x＝2，可得出m≤2，再由m﹣2≤x≤5，结合二次函数增减性列不等式求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，将函数l的解析式为y＝﹣x+2的图象沿直线y＝﹣1翻折，设所得函数l′的解析式为y＝kx+b，
在y＝﹣x+2（x＜﹣1）取两点（﹣2，3），（﹣4，4），可得到这两点关于直线y＝﹣1的对称点（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6），
把（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6）分别代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴函数l′的解析式为y＝x﹣4（x＜﹣1）．
（2）根据题意，可得图象F的解析式为：y＝，
当y＝﹣2时，＝﹣2，＝﹣2，
解得：x＝，x＝﹣，
∴该点的横坐标为或﹣；
（3）①根据题意，得图象F的解析式为：y＝，
当F2经过点（m，2）或当y＝2时，x2﹣4x+3＝2，
解得：m＝x＝2±；
当F1经过点（m，2）或当y＝2时，﹣（m﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝1或5；
当F1经过点A（0，2）时，﹣（﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝；
当F1经过点B（6，2）时，﹣（6﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝；
随着m的增大，图象F2的左端点先落在AB上（两个交点），F1的端点落在AB上（一个交点），图象F1经过点A（两个交点），图象F2的左端点再次落在AB上（一个交点），图象F1的端点落在AB上（无交点），图象F1经过点B（一个交点），
∴m的取值范围为：2﹣＜m≤1，＜m≤2+或5＜m≤．
②∵n的最小值始终保持不变，
∴m≤2，
∵m﹣2≤x≤5，
∴﹣（m﹣2﹣2）2+2m+1≥﹣1，整理得：（m﹣5）2﹣11≤0，
令（m﹣5）2﹣11＝0，
解得：m1＝5﹣，m2＝5+，
∴5﹣≤m≤2．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了新定义在函数中的应用、抛物线的图象与线段的交点个数问题、二次函数的图象与性质、一元二次方程等知识点，数形结合、分类讨论、读懂定义并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
项目
A
B
C
D
人数/人
5
15
a
b
项目
A
B
C
D
人数/人
5
15
a
b
A
B
C
D
E
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）
A．﹣πB．﹣3C．﹣D．﹣2
2．（3分）国务院新闻办公室2021年4月6日发布《人类减贫的中国实践》白皮书指出，改革开放以来，按照现行贫困标准计算，中国7.7亿农村贫困人口摆脱贫困，6098万贫困人口参加了城乡居民基本养老保险．将6098万用科学记数法表示为（ ）
A．6.098×103B．0.6098×104
C．6.098×107D．6.098×108
3．（3分）下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图，l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．85°B．95°C．105°D．115°
5．（3分）2023年杭州亚运会期间，吉祥物琼琼、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进x个玩偶，y个钥匙扣，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）下列图形均为正多边形，恰有3条对称轴的图形是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）在某县中小学安全知识竞赛中，参加决赛的6个同学获得的分数分别为（单位：分）：95、97、97、96、98、99，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（ ）
A．众数为95B．极差为3
C．平均数为96D．中位数为97
8．（3分）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（ ）
A．B．6C．8D．
9．（3分）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．a＝10B．10≤a＜12C．10＜a≤12D．10≤a≤12
10．（3分）如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形HICB的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定
11．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m2﹣4＝0的一个根是3，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．1或0
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB与AD上一点，连接CE，BF，交点为G，且CE⊥BF，连接DG，若DG＝CD，则tan∠DGF的值为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．（4分）因式分解：a（a﹣2）+1＝ ．
14．（4分）在坐标平面内，先将点M（﹣1，2）向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点M'的坐标是 ．
15．（4分）二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
16．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，sin∠ABC＝，BC＝42cm，则高AD为 ．
17．（4分）新安街道某段道路改造工程，由甲、乙两个工程队合作30天可完成，若单独施工，甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍．甲工程队单独完成此项工程需要 天．
18．（4分）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如果在旋转的过程中△ABC有一条边与DE平行，那么此时△BCE的面积是 ．
三．解答题（共7小题，满分90分）
19．（16分）（1）计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；
（2）先化简，再求值：÷，其中x＝﹣1．
20．（12分）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图）．
请根据图表信息解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）求扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角的度数；
（3）在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表法或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．
21．（12分）某公司开发出一款新的节能产品．已知该产品的成本价为8元/件，该产品在正式投放市场前，通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为13元/件．工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图所示的图象，图中的折线ABC表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数解析式，并求出日销售利润不超过1950元的天数共有多少？
22．（12分）如图，平行四边形ABCD内一点E，满足ED⊥AD于D，延长DE交BC于F，且∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45°，找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．
23．（12分）如图，在△AOB中，AB＝OB，点B在反比例函数的图象上，点A的坐标为（4，0），S△ABO＝4，求点B所在的反比例函数解析式．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，且AD⊥DE于D，与⊙O交于点F．
（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
（2）连接OF与AC交于点G，当AG＝GC＝k时，求切线CE的长．
25．（14分）定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函数l′的图象记作F1，函数l的图象未翻折的部分记作F2，图象F1和F2合起来记作图象F．
例如：函数l的解析式为y＝x2﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x2+3（x＜1）．
（1）如图，函数l的解析式为y＝﹣x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝ ．
（2）函数l的解析式为y＝﹣，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．
（3）已知函数l的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围；
②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）．
2024年四川省绵阳市安州区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．（3分）下列负数中，最大的数是（ ）
A．﹣πB．﹣3C．﹣D．﹣2
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴这四个负数中最大的是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）国务院新闻办公室2021年4月6日发布《人类减贫的中国实践》白皮书指出，改革开放以来，按照现行贫困标准计算，中国7.7亿农村贫困人口摆脱贫困，6098万贫困人口参加了城乡居民基本养老保险．将6098万用科学记数法表示为（ ）
A．6.098×103B．0.6098×104
C．6.098×107D．6.098×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：6098万＝60980000＝6.098×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图解答即可．
【解答】解：从正面看到的形状是圆的是球，
故选：B．
【点评】此题考查三视图，关键是根据主视图解答．
4．（3分）如图，l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ ）
A．85°B．95°C．105°D．115°
【分析】首先根据平行线的性质可得出∠1+∠2+∠3＝180°，据此可得出∠3的度数．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1+∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝35°，∠2＝50°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝95°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
5．（3分）2023年杭州亚运会期间，吉祥物琼琼、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进x个玩偶，y个钥匙扣，则下列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用总价＝单价×数量，结合购进玩偶和钥匙扣数量间的关系，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣，
∴购进钥匙扣的数量是购进宸宸玩偶数量的2倍，
∴2x＝y；
∵一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，且店家共花费5000元，
∴60x+20y＝5000．
∴根据题意可列出方程组．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（3分）下列图形均为正多边形，恰有3条对称轴的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据正n边形的对称轴有n条进行解题即可．
【解答】解：等边三角形有三条对称轴，
正方形有4条对称轴，
正五边形有5条对称轴，
正六边形有6条对称轴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的性质，熟练掌握正n边形的对称轴有n条是解题的关键．
7．（3分）在某县中小学安全知识竞赛中，参加决赛的6个同学获得的分数分别为（单位：分）：95、97、97、96、98、99，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（ ）
A．众数为95B．极差为3
C．平均数为96D．中位数为97
【分析】根据中位数，众数，平均数，极差的定义求解判断即可．
【解答】解：把这6个同学的成绩从小到大排列为：95、96、97、97、98、99，处在第3名和第4名的成绩为97、97，
∴中位数为97，
∵得分为97的出现了两次，出现的次数最多，
∴众数为97，
∵得分最高为99，得分最低为95，
∴极差为99﹣95＝4，
平均数＝，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了求中位数，众数，平均数和极差，熟知中位数，众数，平均数，极差的定义是解题的关键．
8．（3分）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（ ）
A．B．6C．8D．
【分析】先由等边三角形的性质，得BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，再根据CE＝CD，得∠E＝∠CDE，进而得∠CBD＝∠E＝30°，则BD＝DE＝4，然后在Rt△ABD中，由勾股定理求出AB即可．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是AC边上的中线，
∴BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝2AD，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，
∴60°＝2∠E，
∴∠E＝30°，
∠CBD＝∠E＝30°，
∴BD＝DE＝4，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2，
即（2AD）2﹣AD2＝（4）2，
解得：AD＝4，
∴AB＝2AD＝8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
9．（3分）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ）
A．a＝10B．10≤a＜12C．10＜a≤12D．10≤a≤12
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于a的不等式求解即可．
【解答】解：由6﹣3x＜0得：x＞2，
由2x≤a得：，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
∴，解得10≤a＜12，
故选：B．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
10．（3分）如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形HICB的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根据面积公式求出S1与S2即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAB＝90°，
设正方形ABCD的边长为2a，
∵E为AD的中点，
∴AE＝a，
在Rt△EAB中，由勾股定理得：，
∵EF＝BE，
∴，
∴，
即，
∴，，
即S1＝S2，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质，能熟记正方形的性质是解此题的关键，注意：正方形的每个角都是90°，正方形的四边都相等．
11．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m2﹣4＝0的一个根是3，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．1或0
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若x1，x2是该方程的两个实数根，则，设方程的另一个根为x，则x+3＝2，3x＝m2﹣4，据此求解即可．
【解答】解：设方程的另一个根为x，
∵一元二次方程x2﹣2x+m2﹣4＝0的两个根是3和x，
∴x+3＝2，3x＝m2﹣4，
∴x＝﹣1，m2＝1，
∴m＝±1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB与AD上一点，连接CE，BF，交点为G，且CE⊥BF，连接DG，若DG＝CD，则tan∠DGF的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接DG，作DL⊥CE于点H，交BC于点L，则DL∥BF，由DG＝CD，DH⊥CG得CH＝GH，∠GDL＝∠CDL，则∠DGF＝∠GDL＝∠CDL，由平行线分线段成比例定理可以证明CL＝BL，则CL＝BC＝CD，所以tan∠DGF＝tan∠CDL＝＝，得到问题的答案．
【解答】解：如图，连接DG，作DL⊥CE于点H，交BC于点L，
∵CE⊥BF，
∴DL⊥CE，
∴DL∥BF，
∵DG＝CD，DH⊥CG，
∴CH＝GH，∠GDL＝∠CDL，
∴∠DGF＝∠GDL＝∠CDL，
∴＝＝1，
∴CL＝BL，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠LCD＝90°，
∴CL＝BC＝CD，
∴tan∠DGF＝tan∠CDL＝＝，
∴tan∠DGF的值为，
故选：B．
【点评】此题考查正方形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．（4分）因式分解：a（a﹣2）+1＝ （a﹣1）2 ．
【分析】根据完全平方公式进行分解，即可解答．
【解答】解：a（a﹣2）+1＝a2﹣2a+1
＝（a﹣1）2，
故答案为：（a﹣1）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
14．（4分）在坐标平面内，先将点M（﹣1，2）向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点M'的坐标是 （2，﹣2） ．
【分析】根据平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减可直接计算出B的坐标．
【解答】解：∵点M（﹣1，2）向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点M'，
∴M'（﹣1+3，2﹣4），
即M'（2，﹣2）．
故答案为：（2，﹣2）．
【点评】本题主要考查点坐标的平移变换．关键是熟练掌握点平移的变化规律．
15．（4分）二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴2x﹣1≥0，
解得：x≥．
故答案为：x≥．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
16．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，sin∠ABC＝，BC＝42cm，则高AD为 ．
【分析】先根据等腰三角形的三线合一性质得到BD的长，再利用三角函数的定义求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝42cm，
∴BD＝CD＝BC＝21（cm），
在Rt△ABD中，sin∠ABC＝＝，
∴设AD＝2x，AB＝5x，
∴BD＝＝x（cm），
∴x＝21，
∴x＝
∴AD＝2（cm），
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．
17．（4分）新安街道某段道路改造工程，由甲、乙两个工程队合作30天可完成，若单独施工，甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍．甲工程队单独完成此项工程需要 90 天．
【分析】设乙工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队单独完成此项工程需要2x天，根据甲工程队完成的任务量+乙工程队完成的任务量＝工程总量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队单独完成此项工程需要2x天，
依题意得：+＝1，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意，
则2x＝90．
答：甲工程队单独完成此项工程需要90天．
故答案为：90．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
18．（4分）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如果在旋转的过程中△ABC有一条边与DE平行，那么此时△BCE的面积是 或3 ．
【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当AC∥DE时，如图2，当BC∥DE时，利用含30度角的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图1，当AC∥DE时，过点B作BF⊥EC延长线于点F，
根据题意可知：∠DEC＝60°，∠ACB＝30°，
∵AC∥DE，
∴∠ACF＝∠DEC＝60°，
∴∠BCF＝30°，
∵AB＝2，
∴BC＝AB＝2，
∴BF＝BC＝，
∴△BCE的面积＝CE•BF＝2×＝；
如图2，当BC∥DE时，过点B作BG⊥EC延长线于点G，
∵BC∥DE，
∴∠BCG＝∠DEC＝60°，
∵BC＝AB＝2，
∴BG＝BC＝3，
∴△BCE的面积＝CE•BG＝2×3＝3．
综上所述：△BCE的面积是或3．
故答案为：或3．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质，关键是利用分类讨论思想解决问题．
三．解答题（共7小题，满分90分）
19．（16分）（1）计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；
（2）先化简，再求值：÷，其中x＝﹣1．
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°
＝
＝4﹣1+2﹣
＝5；
（2）÷
＝
＝
＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．（12分）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图）．
请根据图表信息解答下列问题：
（1）a＝ 20 ，b＝ 10 ；
（2）求扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角的度数；
（3）在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表法或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．
【分析】（1）先求出调查的学生总数，将调查的学生总数乘以20%即可求出b的值，将调查的学生总数减去其他三个项目的人数即可求出a的值；
（2）将“B”项目所在调查人数的比例乘以360°即可求出所对应的扇形圆心角的度数；
（3）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽中的2名学生来自不同班级的结果，再利用概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵调查的学生总数为：5÷10%＝50（人），
∴b＝50×20%＝10，
a＝50﹣（5+15+10）＝20，
故答案为：20，10；
（2）∵＝108°，
∴扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角的度数为108°；
（3）将七（1）的三人用A，B，C表示，七（2）的两人用D，E表示，列表如下：
∵共有20种等可能的结果，其中抽中的2名学生来自不同班级有12种可能的结果，
∴P（抽中的2名学生来自不同班级）＝．
【点评】本题考查统计表，扇形统计图，列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
21．（12分）某公司开发出一款新的节能产品．已知该产品的成本价为8元/件，该产品在正式投放市场前，通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为13元/件．工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成如图所示的图象，图中的折线ABC表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数解析式，并求出日销售利润不超过1950元的天数共有多少？
【分析】（1）分为1≤x≤10和10≤x≤30两段，分别设直线解析式，用待定系数法求出解析式；
（2）根据“利润＝（售价﹣成本价）×数量”先用含x的代数式表达出利润w，再求出利润为1950时的x的值，最后求出天数．
【解答】解：（1）当1≤x≤10时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
则，得，
即当1≤x≤10时，y与x的函数关系式为y＝﹣30x+480，
当10＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
则，得，
即当10＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝21x﹣30，
由上可得，．
（2）由题意可得，
当1≤x≤10时，w＝（13﹣8）y＝5y＝5×（﹣30x+480）＝﹣150x+2400，
当10＜x≤30时，w＝（13﹣8）y＝5y＝5×（21x﹣30）＝105x﹣150，
即．
当﹣150x+2400＝1950时，得x＝3，
当105x﹣150＝1950时，得x＝20，
∵20﹣3+1＝18，
∴日销售利润不超过1950元的共有18天．
【点评】本题以销售问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的应用，值得注意的是，本题的函数是分段函数，在表示解析式的时候要记得标注自变量x的取值范围．
22．（12分）如图，平行四边形ABCD内一点E，满足ED⊥AD于D，延长DE交BC于F，且∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45°，找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．
【分析】延长DE，交BC于F，由平行四边形的性质可得到∠BFE＝∠DFC＝90°，由已知可推EF＝FC，已知∠EBC＝∠EDC，则可以利用AAS来判定△BEF≌△DCF，从而得到CD＝BE．
【解答】解：CD＝BE．
证明：如图，延长DE交BC于F，
∵AD∥BC，ED⊥AD，
∴DF⊥BC，
∴∠BFE＝∠DFC＝90°，
又∵∠ECB＝45°，
∴∠FEC＝∠ECB＝45°，
∴FE＝FC，
∵∠EBC＝∠EDC，
∴△BEF≌△DCF（AAS），
∴CD＝BE．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．（12分）如图，在△AOB中，AB＝OB，点B在反比例函数的图象上，点A的坐标为（4，0），S△ABO＝4，求点B所在的反比例函数解析式．
【分析】利用反比例函数中k值的几何意义，求出三角形OBM的面积就可推导出k值，写出解析式．
【解答】解：设点B所在的反比例函数解析式为：y＝（x＞0），
过点B作BM⊥OA，垂足为M，
∵AB＝OB，BM⊥OA，
∴OM＝AM，
∴S△OBM＝S△AOB＝2；
∵S△OBM＝‖k‖＝2，且图象在第四象限，
∴k＝﹣4．
∴点B所在的反比例函数解析式为：y＝﹣（x＞0）
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，本题的关键是求点B所在的反比例函数的关系式．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，且AD⊥DE于D，与⊙O交于点F．
（1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
（2）连接OF与AC交于点G，当AG＝GC＝k时，求切线CE的长．
【分析】（1）AC为∠DAE的角平分线，理由为：连接OC，FC，由DE为圆的切线，得到OC与DE垂直，利用同位角相等两直线平行得到AD与OC平行，利用两直线平行内错角相等，以及等边对等角得到∠1＝∠2，即可得证；
（2）根据题意得到AG＝GC＝k，易证△AOF是等边三角形，∠DAO＝∠AOF＝60°，∠1＝30°，∠COE＝60°，设⊙O的半径为r，在Rt△AOG中，由勾股定理可求出AB的长度，在Rt△ADE中，∠E＝30°，
所以AE＝2AD＝2k，从而可求出CE的长度．
【解答】解：（1）AC是∠DAE的平分线，理由为：
证明：连接OC、FC，
∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC＝∠OCE＝90°，
∴AD∥OC，
∴∠2＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠ACO，
∴∠1＝∠2，
∴AC是∠DAE的平分线；
（2）∵AG＝CG＝k，OA＝OC，
∴AC⊥OG，即AG⊥OF，
又∠1＝∠2，
∴∠AFG＝∠AOG，
∴AF＝AO，
又AO＝OF，
∴AF＝AO＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠DAO＝∠AOF＝60°，
∴∠1＝30°，∠COE＝60°，
又∠OCE＝90°，∠E＝30°，
设⊙O的半径为r，在Rt△AOG中，
∵∠1＝30°，
∴OG＝r，
又AG＝k，由勾股定理有：AG2+OG2＝AO2，
∴k2+（）2＝r2，
解得：r＝k，
∴AB＝k，
同理，在Rt△ADC中，AC＝2k，
∵∠2＝30°，
∴DC＝AC＝k，
∴AD＝k，
在Rt△ADE中，∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝2k，
∴OE＝AE﹣r＝k，
∴CE＝OE＝2k；
另解：∠1＝∠E＝30°，
∴CE＝CA＝AG+CG＝2k．
【点评】本题考查角平分线的性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，需要学生灵活运用所学知识．
25．（14分）定义：点P（m，m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图象位于直线x＝m左侧部分，以直线y＝m为对称轴翻折，得到新的函数l′的图象，我们称函数l′的函数是函数l的相关函数，函数l′的图象记作F1，函数l的图象未翻折的部分记作F2，图象F1和F2合起来记作图象F．
例如：函数l的解析式为y＝x2﹣1，当m＝1时，它的相关函数l′的解析式为y＝﹣x2+3（x＜1）．
（1）如图，函数l的解析式为y＝﹣x+2，当m＝﹣1时，它的相关函数l′的解析式为y＝ y＝x﹣4（x＜﹣1） ．
（2）函数l的解析式为y＝﹣，当m＝0时，图象F上某点的纵坐标为﹣2，求该点的横坐标．
（3）已知函数l的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①已知点A、B的坐标分别为（0，2）、（6，2），图象F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围；
②若点C（x，n）是图象F上任意一点，当m﹣2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）．
【分析】（1）运用“相关函数”的定义结合待定系数法解答即可；
（2）先写出图象F的解析式，再分别将y＝﹣2代入，解得x值，即可得出该点的横坐标；
（3）①先根据“相关函数”的定义得出图象F的解析式，再运用二次函数图象和性质分类讨论：当F2经过点（m，2）时，当F1经过点（m，2）时，当F1经过点A（0，2）时，当F1经过点B（6，2）时，综合得出结论即可；
②由n的最小值始终保持不变，结合抛物线对称轴为直线x＝2，可得出m≤2，再由m﹣2≤x≤5，结合二次函数增减性列不等式求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，将函数l的解析式为y＝﹣x+2的图象沿直线y＝﹣1翻折，设所得函数l′的解析式为y＝kx+b，
在y＝﹣x+2（x＜﹣1）取两点（﹣2，3），（﹣4，4），可得到这两点关于直线y＝﹣1的对称点（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6），
把（﹣2，﹣5）和（﹣4，﹣6）分别代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴函数l′的解析式为y＝x﹣4（x＜﹣1）．
（2）根据题意，可得图象F的解析式为：y＝，
当y＝﹣2时，＝﹣2，＝﹣2，
解得：x＝，x＝﹣，
∴该点的横坐标为或﹣；
（3）①根据题意，得图象F的解析式为：y＝，
当F2经过点（m，2）或当y＝2时，x2﹣4x+3＝2，
解得：m＝x＝2±；
当F1经过点（m，2）或当y＝2时，﹣（m﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝1或5；
当F1经过点A（0，2）时，﹣（﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝；
当F1经过点B（6，2）时，﹣（6﹣2）2+2m+1＝2，
解得：m＝；
随着m的增大，图象F2的左端点先落在AB上（两个交点），F1的端点落在AB上（一个交点），图象F1经过点A（两个交点），图象F2的左端点再次落在AB上（一个交点），图象F1的端点落在AB上（无交点），图象F1经过点B（一个交点），
∴m的取值范围为：2﹣＜m≤1，＜m≤2+或5＜m≤．
②∵n的最小值始终保持不变，
∴m≤2，
∵m﹣2≤x≤5，
∴﹣（m﹣2﹣2）2+2m+1≥﹣1，整理得：（m﹣5）2﹣11≤0，
令（m﹣5）2﹣11＝0，
解得：m1＝5﹣，m2＝5+，
∴5﹣≤m≤2．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了新定义在函数中的应用、抛物线的图象与线段的交点个数问题、二次函数的图象与性质、一元二次方程等知识点，数形结合、分类讨论、读懂定义并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
项目
A
B
C
D
人数/人
5
15
a
b
项目
A
B
C
D
人数/人
5
15
a
b
A
B
C
D
E
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）
