2023年四川省绵阳市中考数学二模试卷（含解析）

2023年四川省绵阳市中考数学二模试卷

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为，将粒芝麻的质量用科学记数法表示约为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各运算中，正确的运算是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，已知直线，直角三角形顶点在直线上，且，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知，如图，垂直平分，交于点，交于点，的周长是，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的方程无解，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.  下面是某校八年级班两组女生的体重单位：：
第组：，，，，，，
第组：，，，，，，
下面关于对这两组数据分析正确的是(    )

A. 平均数、众数、中位数都相同
B. 平均数、众数、中位数都只与部分数据有关
C. 中位数相同，都是
D. 众数、中位数不受极端值影响，平均数受极端值影响

8.  已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  若，，是上三点，是弧的中点，，，则的半径是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  下列四个命题：
一组同旁内角相等的平行四边形是矩形；
对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
顺次连结菱形四边中点得到的四边形是矩形；
等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．
其中真命题共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12.  如图，在矩形中，点为边上一点，将沿翻折得到，的延长线交于点，连接，过点作交于点，连接，分别交，于点、现有以下结论：连接，则垂直平分；四边形是菱形；；若，则其中正确的结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  在实数范围内分解因式： ______ ．

14.  已知一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是          ．

15.  如图，点为线段延长线上一点，正方形和正方形的面积分别为和，则的面积为______．

16.  若关于的不等式组有且只有三个整数解，则的取值范围是______．

17.  如图，菱形中，，，点为的中点，点为对角线上的任意一点，连接，，则的最小值为______ ．
 

18.  在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为，，，四个等级，设学生时间为小时，：，：，：，：根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
本次抽样调查共抽取了______名学生，并将条形统计图补充完整；
本次抽样调查中，学习时间的中位数落在______等级内；
求表示等级的扇形圆心角的度数；
在此次问卷调查中，甲班有人平均每天课外学习时间超过小时，乙班有人平均每天课外学习时间超过小时，若从这人中任选人去参加座谈，试用列表或画树状图的方法求选出的人来自不同班级的概率．

 

21.  本小题分
如图，一座山的一段斜坡的长度为米，且这段斜坡的坡度：沿斜坡从到时，其升高的高度与水平前进的距离之比已知在地面处测得山顶的仰角为，在斜坡处测得山顶的仰角为求山顶到地面的高度是多少米？结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可
 

22.  本小题分
某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：

已知用元购进的餐椅数量与用元购进的餐桌数量相同．
求表中的值；
该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的倍还多张，且餐桌和餐椅的总数量不超过张．若将一半的餐桌成套一张餐桌和四张餐椅配成一套销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，则怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？

23.  本小题分
如图，已知是的直径，是上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．
求证：是的切线；
若的半径为，，求和的长．

24.  本小题分
已知，中，，于，是上一动点，，，与两延长线交于点．
当时，求的度数；
当时，探求与的数量关系，说明理由；
当时，直接用的代数式表示的值．

 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴交于点，已知点，点，且．
求二次函数的解析式；
若点的坐标为，试判断的形状，并说明理由；
在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，
与不能合并，故A错误；
B、按照积的乘方的运算法则可知，，故B正确；
C、按照同底数幂的除法的运算法则可知，，故C错误；
D、根据完全平方公式可知，，故D错误．
综上，只有B正确．
故选：．
分别按照二次根式的加法法则、积的乘方法则、同底数幂顶点除法的法则及完全平方公式分析即可．
本题考查了二次根式的加法运算及整式乘除法的相关运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：直线，
，
又，
，
故选：．
依据直线，即可得到，再根据，即可得到．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
的周长是，
，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
原方程无解，
无解或原分式方程产生增根，无解，
当无解，
，
，
当原分式方程产生增根，无解，
，
，
把代入中得：
，
，
综上所述：的值为或，
故选：．
分两种情况，整式方程无解，原分式方程产生增根，无解．
本题考查了分式方程的解，分两种情况考虑是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：第组数据的平均数为：，中位数是，众数是，
第组数据的平均数为：，中位数是，众数是，
因此选项A不符合题意；
B.平均数和中位数与所有数据有关，因此选项B不符合题意；
C.中位数相同，都是，因此选项C不符合题意；
D.众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是从小到大排列处在中间位置的一个数或两个数的平均数，因此中位数、众数不会受极端值的影响，而平均数是所有数据的平均水平，易受极端值的影响，因此选项D符合题意；
故选：．
分别求出第组，第组的平均数、中位数、众数，再进行判断即可．
本题考查平均数、中位数、众数，理解平均数、中位数、众数的意义是正确判断的前提，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为，即底面圆的半径为，圆锥的高为，
所以圆锥的母线长，
所以这个圆锥的侧面积
故选：．
先利用三视图得到底面圆的半径为，圆锥的高为，再根据勾股定理计算出母线长为，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，解得，
抛物线解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
当时，；当时，，
关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，
抛物线与直线在的范围内有公共点，
．
故选：．
先利用抛物线的对称轴方程求出得到抛物线解析式为，得到抛物线的顶点坐标为，再计算出当或时，，结合函数图象，利用抛物线与直线在的范围内有公共点可确定的范围．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：的优弧上取一点，连接、、、，连接交于点，

，
，
，
是弧的中点，，
是等边三角形，

的半径是．
故选：．
的优弧上取一点，连接、，连接、，，根据圆周角定理求得，根据等边三角形的判定定理知是等边三角形，即可求解．
本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质．解答该题时，利用圆周角定理要注意圆心角与圆周角的定义，只有三个点都在圆上所组成的角才称之为圆周角．
 

11.【答案】 

【解析】解：一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，是真命题；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项命题是假命题；
顺次连结菱形四边中点得到的四边形是矩形，是真命题；
等边三角形既是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项命题是假命题；
故选：．
根据矩形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理、轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，

连接，将沿翻折得到，
垂直平分，故本结论正确；
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
由折叠可知，．
，
，
，即，
，
四边形是菱形，故本结论正确；
，
，
又，
∽，
，
又，
，故本结论正确；
，
可设，，
由可知，，，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，故本结论错误．
故选：．
根据翻折的性质即可判断；
由平行四边形的判定与性质可得，再根据折叠的性质及菱形的判定方法即可判断；
利用相似三角形的判定与性质即可判断；
两次利用相似三角形的判定与性质即可判断．
此题考查的是翻折的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
用提公因式法即可求解．
本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键．
 

14.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
的取值范围是且．
故答案为：且．
由关于的一元二次方程有两个实数根，即可得判别式且，继而可求得的取值范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得同时考查了一元二次方程的定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，，交于，
正方形的面积为，
，，，，，
，
，
正方形的面积为，
，，
在中，
，
，
，
，，三点在一条直线上，
在中，
由勾股定理得，
，
的面积．
故答案为：．
连接，，，交于，由正方形和正方形的面积求出，，证得，，三点在一条直线上，根据三角形的面积公式即可得到答案．
本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，根据正方形和正方形的面积求出，是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
因为不等式组有且只有三个整数解，则解为，，，
所以，
解得，
故答案为：．
解不等式组得出其解集为，根据不等式组有且只有三个整数解得出，解之可得答案．
此题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接交于，连接，

由菱形的对角线互相垂直平分，可得、关于对称，则，
，
即就是的最小值，
，
，
，
是等边三角形，
，
等腰三角形三线合一的性质．
在中，．
的最小值为．
故答案为：．
找出点关于的对称点，连接交于，则就是的最小值，求出即可．
本题主要考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定点的位置是解答本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：直线与双曲线交于点，，
点，点关于原点对称，
，
，
，
，
故答案为：．
根据正比例函数和反比例函数的对称性得到，由，得出，即可得到．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握正比例函数和反比例函数的对称性是本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式



，
，代入上式得：．
原式值为． 

【解析】直接利用计算公式进行计算即可；
直接利用分式混合运算法则进行计算即可．
本题考查计算，需要熟悉各项计算规则，包含负指数幂，二次根式化简，特殊角三角函数值及分式的混合运算，熟悉各项运算规则是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：人，，补全条形统计图如下：
将调查的名学生的课外学习实践活动时间从小到大排列后，
处在中间位置的两个数的均为“等级”，因此中位数是级，
故答案为：；
，
答：表示等级的扇形圆心角的度数为；
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有种等可能出现的结果，其中人中来自不同班级的有种，
所以，选出的人来自不同班级的概率为．
根据频数、频率、总数之间的关系可求出调查总人数，进而求出级人数，即可补全条形统计图；
根据中位数的意义求解即可；
样本中级占调查人数的，因此相应的圆心角的度数为的，计算即可得出答案；
用列表法表示所有可能出现的结果情况，从中找出人来自不同班级的情况，即可求出相应的概率．
本题考查扇形统计图，条形统计图以及用列表法或树状图法求随机事件发生的概率，理解频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提，列出所有可能出现的结果情况是求相应概率的关键．
 

21.【答案】解：作于设．

：：，
在中，，
，，
在中，，
，
又，，
，，
在中，，
，
．
答：山顶到地面的高度是米 

【解析】作于设在中，根据，构建方程即可解决问题；
本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
 

22.【答案】解：根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
；
由可知，，
设购进的餐桌为张，则餐椅为张，
根据题意，得：，
解得：，
设利润为元，
根据题意，得：，
是关于的一次函数，且，
随的增大而增大，
当时，有最大值，
此时，
答：购进餐桌张，餐椅张时获得最大利润，最大利润为元． 

【解析】根据“用元购进的餐椅数量与用元购进的餐桌数量相同”列出分式方程，求解即可；
设购进的餐桌为张，则餐椅为张，根据“餐桌和餐椅的总数量不超过张”列一元一次不等式，求出取值范围，再设利润为元，表示出与的一次函数，然后根据函数增减性即可求出最大利润．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
即，
是的切线；
解：，，，
，
；
，
，
，
，
，
∽，
，即，
设，则，
是的直径，
，即，
解得，
． 

【解析】由得，由得，进而得便可；
由勾股定理求得，便可得，证明∽得到：，再由勾股定理求得．
本题考查了切线的判定、圆周角定理、三角形相似的判定和性质、勾股定理等，解题的关键是证明相似三角形．
 

24.【答案】解：，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，是等腰直角三角形，
、、、四点共圆，，
，
，
是等腰直角三角形，
；
，理由如下：
过点作交的延长线于，如图所示：
则，
，
，
，
同得：、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
即，
；
过点作交的延长线于，如图所示：
同得：，∽，∽，
，，，
，
，
，
． 

【解析】证明、、、四点共圆，，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，即可得出
过点作交的延长线于，证出，由含角的直角三角形的性质得出，得出，证出，证明∽，得出，得出，证出，即可得出结论；
过点作交的延长线于，同得，∽，∽，得出，，，证出，，即可得出答案．
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
，
在中，，，，
，
点的坐标是，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为，即；

是直角三角形，
理由：，
，
在中，，
，
，
是直角三角形；

在抛物线的对称轴上存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
抛物线的解析式是，
抛物线对称轴为直线．
设点坐标为．
点，点，
．
．
．
当时，．
．
解得：．
故点；
当时，．
，
解得：．
故点；
当时，有．
．
解得：，．
或
综上所述，存在，点的坐标为或或或 

【解析】利用勾股定理得到的长，设抛物线交点式，然后把点坐标代入求出即可；
根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
设点坐标为，分三类讨论：当时；当时；当时，分别建立勾股定理方程求解点坐标即可．
本题是二次函数的综合题，考查了勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式，分类讨论的数学思想，难度不大．第问特别注意分类讨论思想的运用．做到不重不漏．