2023-2024学年四川省绵阳市安州区示范学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省绵阳市安州区示范学校九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 蝴蝶曲线B. 阿基米德螺旋线
C. 卡西尼卵形线D. 太极曲线
2.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一个根为x=−1，则下列等式成立的是( )
A. a+b+c=0B. a−b+c=0C. −a−b+c=0D. −a+b+c=0
3.用如图所示的两个可自由转动的转盘进行“配紫色”游戏(红色和蓝色配成紫色)，两个转盘分别被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时指针所指扇形的颜色即为转出的颜色(若指针停在分界线上，则重转)，则配得紫色的概率是( )
A. 16B. 14C. 13D. 12
4.如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=4，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是( )
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
5.如图，已知直线y=23x与双曲线y=kx(k>0)交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k=6；②A点与B点关于原点O中心对称；③关于x的不等式23x−kx<0的解集为x<−3或00)上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8，其中正确结论的个数( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
6.如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E、F，且AB=AC=13，BC=10，则DE的长是( )
A. 13 55
B. 26 55
C. 10 1313
D. 20 1313
7.下列语句中正确的是( )
A. 平分弦的直径垂直于弦B. 三点确定一个圆
C. 三角形的内心到三角形三边的距离相等D. 各边相等的多边形是正多边形
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是( )
A. 对称轴是直线x=12
B. 当−1C. a+c=b
D. a+b>−c
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连接CC′.若∠CC′B′=32°，则∠BCA=( )
A. 13°
B. 28°
C. 32°
D. 45°
10.如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则拱桥的半径OC为( )
A. 4mB. 5mC. 6mD. 8m
11.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是( )
A. 5
B. 5 3
C. 10−5 3
D. 15−5 3
12.如图，在平面直角坐标系中，点A(−3,0)，点B、C在y轴上，且OB=3BC，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′，D是A′B上一点，且A′D=2BD，连接A′C、C′C，若S△A′CC′=7，反比例函数y=kx的图象恰好经过点D，则k的值是( )
A. 6B. 193C. 172D. 10
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.如图，A、B、C为⊙O上三点，若∠AOB=140°，则∠ACB度数为______ °.
14.在平面直角坐标系中，点A(−5,b)关于原点对称的点为B(a,6)，则(a+b)2022=______．
15.将抛物线y=(x−3)2+k先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为y=x2−8x+14，则k的值为______ ．
16.一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”，“2”，“3”，“4”，“5”，“6”，连续抛掷两次该正方体，得到第一次朝上一面的数字是第二次朝上一面的数字的两倍的概率是______ ．
17.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为______ ．
18.如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题14分)
如图，在平面直角坐标系中，A(−4,−2)，B(−2,−2)，C(−1,0)．
(1)将△ABC向右平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点C旋转180°，画出旋转后的△A2B2C，并直接写出点A运动的路径长；
(3)请直接写出△B1C1B2的外心的坐标．
20.(本小题12分)
已知m为实数，关于x的方程为mx2+(m−2)x−1=0．
(1)求证：不论m为何实数，方程总有实数根．
(2)若方程有两实根x1，x2，当x1x2−2x1−2x2=3时，求m的值．
21.(本小题12分)
一个不透明的箱子里装有1个白色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于0.25左右．
(1)请你估计箱子里红色小球的个数；
(2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率(用画树状图或列表的方法)．
22.(本小题12分)
已知反比例函数y=kx(x>0)的图象与一次函数y=−12x+4的图象交于A(2,b)和B(6,n)两点．
(1)求k和n的值；
(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=kx(x>0)图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围；
(3)直接写出关于x的不等式kx(x>0)>−12x+4的解集______ ．
23.(本小题12分)
某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元.经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利w(元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
24.(本小题14分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．
(1)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E.(不写作法，保留作图痕迹)，连接BE交AD于F点，并证明：AF×DF=BF×EF；
(2)若⊙O的半径等于4，且⊙O与AC相切于A点，求劣弧AD的长度和阴影部分的面积(结果保留π)．
25.(本小题14分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c的顶点D坐标为(1,4)，且与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点F横坐标为m，
①用含有m的代数式表示点E的横坐标为______(直接填空)；
②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；
③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；
(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.【答案】B
【解析】解：把x=−1代入方程ax2+bx+c=0得a−b+c=0．
故选：B．
把x=−1代入方程即可得到正确答案．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.【答案】B
【解析】解：依据题意列表如下：
由表可知一共有12种等可能的情况，其中能配成紫色得有3种，
∴配得紫色的概率P=312=14，
故选：B．
根据题意列表得到所有等可能的情况数，然后找出配成紫色的情况数，最后用概率公式求解即可．
本题主要考查列表法或画树状图求随机事件的概率，掌握列表求概率的方法是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PB=PA=4，
∵CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，
∴CA=CE，DB=DE，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=4+4=8．
则△PCD的周长是8．
故选：B．
根据切线长定理即可得结论．
本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．
5.【答案】A
【解析】解：①∵直线y=23x与双曲线y=kx(k>0)交于A、B两点，A点的横坐标为3，
∴点A的纵坐标为：y=23×3=2，
∴点A(3,2)，
∴k=3×2=6，故①正确；
②∵直线y=23x与双曲线y=kx(k>0)是中心对称图形，
∴A点与B点关于原点O中心对称，故②正确；
③∵直线y=23x与双曲线y=kx(k>0)交于A、B两点，
∴B(−3,−2)，
∴关于x的不等式23x−kx<0的解集为：x<−3或0④过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点C的纵坐标为6，
∴把y=6代入y=6x得：x=1，
∴点C(1,6)，
∴S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC−S△AOE=S梯形AEDC=12×(2+6)×(3−1)=8，故④正确；
故选：A．
①由A点横坐标为3，代入正比例函数，可求得点A的坐标，继而求得k值；
②根据直线和双曲线的性质即可判断；
③结合图象，即可求得关于x的不等式23x−kx<0的解集；
④过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E，可得S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC−S△AOE=S梯形AEDC，由点C的纵坐标为6，可求得点C的坐标，继而求得答案．
此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及一次函数的性质等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握数形结合思想的应用．
6.【答案】D
【解析】解：连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，
∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE=BD，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∴点A、O、E共线，
即AE⊥BC，
∴BE=CE=5，
在Rt△ABE中，AE= 132−52=12，
∵BD=BE=5，
∴AD=8，
设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，AO=12−r，
在Rt△AOD中，r2+82=(12−r)2，解得r=103，
在Rt△BOE中，OB= 52+(103)25=5 133，
∵BE=BD，OE=OD，
∴OB垂直平分DE，
∴DH=EH，OB⊥DE，
∵12HE⋅OB=12OE⋅BE，
∴HE=OE⋅BEOB=5×1035 133=10 1313，
∴DE=2EH=20 1313．
故选：D．
连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，利用切线的性质和切线长定理得到OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE=BD，再根据等腰三角形的性质判断点A、O、E共线，BE=CE=3，利用勾股定理计算出AE=4，则AD=2，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，AO=4−r，利用勾股定理得到r2+22=(4−r)2，解得r=32，于是可计算出OB=3 52，然后证明OB垂直平分DE，接着利用面积法求出HE，从而得到DE的长．
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
7.【答案】C
【解析】解：A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
B、不在同一平面上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
C、三角形的内心到三角形三边的距离相等，正确，符合题意；
D、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故原命题错误，不符合题意；
故选：C．
根据垂径定理、确定圆的条件、三角形的内心的性质及正方形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
考查了垂径定理、确定圆的条件、三角形的内心的性质及正方形的定义，属于基础性知识，比较简单．
8.【答案】D
【解析】解：A、对称轴是直线x=−1+22=12，故选项A不符合题意；
B、由函数图象知，当−1∴当−1C、由图可知，当x=−1时，y=a−b+c=0，
∴a+c=b，故选项C不符合题意；
D、由图可知，当x=1时，y=a+b+c<0，
∴a+b<−c，故选项D符合题意．
故选D．
本题考查二次函数的性质，以及二次函数图象与系数的关系．
9.【答案】A
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，
∴AC=AC′，∠CAC′=90°，∠AB′C′=∠B，
∴∠ACC′=45°，
∵∠AB′C′=∠ACC′+∠CC′B′，
∴∠AB′C′=45°+32°=77°，
∴∠B=77°，
∴∠BCA=13°，
故选：A．
由题意可得AC=AC′，∠CAC′=90°，∠AB′C′=∠B，可得∠ACC′=45°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求∠AB′C′=∠B=∠ACC′+∠CC′B′=77°，即可得∠BCA的度数．
本题考查了旋转的性质．等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接BO，
由题意可得：AD=BD=4m，设⊙O的半径OC=xm，
则DO=(8−x)m，
由勾股定理可得：x2=(8−x)2+42，
解得：x=5．
故选：B．
连接OA，设OB=OC=x，则OD=8−x，根据垂径定理得出BD，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．
此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．
11.【答案】D
【解析】解：过点B作BM⊥ED于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴∠ABC=30°，BC=10·tan60°=10 3，
∵AB/​/CF，
∴∠BCM=∠ABC，
∴BM=BC·sin30°=10 3×12=5 3，
CM=BC·cs30°=10 3× 32=15，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，
∴MD=BM=5 3，
∴CD=CM−MD=15−5 3．
故选：D．
过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．
本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
12.【答案】D
【解析】解：如图，过点A′作A′E⊥BC′，交BC′的延长线与点E，
则∠AOB=∠E=90°，
∵A(−3,0)，
∴OA=3，
由旋转可知，∠CBC′=90°，AB=A′B，∠ABO=∠A′BE，BC′=BC，
∴BC′//x轴，△AOB≌△A′EB(AAS)，
∴AO=A′E=3，OB=EB，
∵OB=3BC，设BC=m，
∴OB=EB=3m，
∴BC′=m，C′E=2m，
∴S△A′CC′=S梯形A′EBC−S△BCC′−S△A′EC′=7，
∴12⋅(A′E+BC)⋅BE−12⋅BC⋅BC′−12⋅A′E⋅C′E=7，
即12⋅(3+m)⋅3m−12⋅m⋅m−12×3×2m=7，
解得m=2，m=−72(舍去)，
∴BC′=2，BE=6，
过点D作DF⊥BE于点F，
∴DF//A′E，
∴BDA′B=DFA′E=BFBE，
∵A′D=2BD，
∴A′B=3BD，
∴BDA′B=DFA′E=BFBE=13，
∴BDA′B=DF3=BF6=13，
∴DF=1，BF=2，
∴D(2,5)，
∴k=10．
故选：D．
过点A′作A′E⊥BC′，交BC′的延长线与点E，易证△AOB≌△A′EB(AAS)，则AO=A′E=3，OB=EB；设BC=m，则OB=EB=3m，BC′=m，C′E=2m，因为S△A′CC′=S梯形A′EBC−S△BCC′−S△A′EC′=7，所以12⋅(3+m)⋅3m−12⋅m⋅m−12×3×2m=7，解得m=2，所以BC′=2，BE=6.过点D作DF⊥BE于点F，因为A′D=2BD，所以A′B=3BD，DF=1，BF=2，可得D(2,5)，则k=10．
本题属于反比例函数与几何综合，主要考查反比例函数的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等内容；正确作出辅助线求出点A′的坐标是解答本题的关键．
13.【答案】70
【解析】解：∵∠AOB=140°，
∴∠ACB=12∠AOB=70°．
故答案为：70．
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得∠ACB的度数．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】【分析】
直接利用两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标的符号相反，得出a，b的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案即可．
【解答】
解：∵点A(−5,b)关于原点对称的点为B(a,6)，
∴a=5，b=−6，
则(a+b)2022=(5−6)2022=1．
故答案为：1．
【点评】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，正确得出a，b的值是解题关键．
15.【答案】−4
【解析】解：将抛物线y=(x−3)2+k先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式为：y=(x−3−1)2+k+2，
∵得到的抛物线的函数表达式为y=x2−8x+14，
∴(x−3−1)2+k+2=x2−8x+14，
解得k=−4．
故答案为：−4．
根据二次函数图象平移的法则解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
16.【答案】112
【解析】解：表如下：(其中“第一次朝上一面的数字是第二次朝上一面的数字的两倍”的情况用2表示，其他情况用0表示)
则总的等可能性有36种，其中其中“第一次朝上一面的数字是第二次朝上一面的数字的两倍”的情况有3种，
即所求概率为：3÷36=112，
故答案为：112．
采用列表法列举即可求解．
本题考查了采用列表法或者树状图法求解概率的知识，正确画出列表或者树状图是解答本题的关键．
17.【答案】1m
【解析】解：根据题意得：(18−2x)(15−x)=224，
整理得：x2−24x+23=0，
解得：x1=1，x2=23(不符合题意，舍去)，
即图中x的值为1m，
故答案为：1m．
由题意：剩余绿地的面积为224m2，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18.【答案】8≤AB≤10
【解析】解：当AB是大圆直径时AB的值最大，最大值为10．
当AB与小圆相切时AB最小．
∵小圆的半径为3，大圆半径为5，
∴AB=2× 52−32=8．
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10．
故答案：8≤AB≤10．
根据已知条件和图形分析可得当AB是大圆直径时AB的值最大，从而可得AB的最大值；进一步分析可得当AB与小圆相切的时，AB最小，利用勾股定理可得AB的最小值；若大圆的弦AB与小圆有公共点，即AB与小圆相切或相交，再结合上面分析即可解答．
本题考查了判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔dr．
19.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C即为所求，点A运动的路径长为：12×π×2 13= 13π；
(3)如图所示，△B1C1B2的外心P的坐标为(32,0)．

【解析】(1)依据平移的方向、平移的距离即可得到平移后的△A1B1C1；
(2)依据△ABC绕点C旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C，再根据弧长计算公式即可得出点A运动的路径长；
(3)依据△B1C1B2为直角三角形，其外心为斜边的中点，据此可得结论．
本题考查了作图−旋转变换：旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
20.【答案】(1)证明：当m=0时，已经方程为−2x−1=0，有实数根x=−12；
当m≠0时，已经方程是一元二次方程，△=(m−2)2−4m×(−1)=m2+4>0，该方程有两个不等实根；
综上，不论m为何实数，方程总有实数根；
(2)由根与系数的关系可得，
x1+x2=−m−2m，x1x2=−1m，
∵x1x2−2x1−2x2=3，
∴x1x2−2(x1+x2)=3，
∴−1m+2(m−2)m=3，
解得m=−5，
经检验，m=−5是原分式方程的解，
即m的值是−5．
【解析】(1)根据题意，利用分类讨论的方法和根的判别式，可以证明结论成立；
(2)根据根与系数的关系和x1x2−2x1−2x2=3，可以求得m的值．
本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
21.【答案】解：(1)∵摸到白色小球的频率稳定于0.25左右，
∴摸到白色小球的概率是0.25，
设红色小球的个数为x，由题意，得：11+x=0.25，
解得：x=3，
经检验x=3是原方程的解；
∴箱子里红色小球的个数为3；
(2)画出树状图，如下：

共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为616=38．
【解析】(1)根据摸到白色小球的频率稳定于0.25左右，得到摸到白色小球的概率是0.25，设红色小球的个数为x，根据概率公式进行计算即可；
(2)画出树状图，求出概率即可．
本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键．
22.【答案】06
【解析】解：(1)当x=6时，n=−12×6+4=1，
∴点B的坐标为(6,1)．
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象过点B(6,1)，
∴k=6×1=6．
(2)∵k=6>0，
∴当x>0时，y随x值增大而减小，
∴当2≤x≤6时，1≤y≤3；
(3)由图象可知，不等式kx(x>0)>−12x+4的解集是06，
故答案为06．
(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
(2)由k=6>0结合反比例函数的性质，即可求出：当2≤x≤6时，1≤y≤3；
(3)根据图象即可求得．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是：(1)利用一次(反比例)函数图象上点的坐标特征，求出n、k的值；(2)利用一次函数的性质找出当x>0时，y随x值增大而减小；(3)找出第一象限反比例函数图象在直线上方时的x的取值．
23.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，由所给函数图象可知：
36=12k+b34=13k+b，
解得：k=−2b=60，
故y与x的函数关系式为y=−2x+60；
(2)根据题意得：
(x−10)(−2x+60)=192，
解得：x1=18，x2=22
又∵10≤x≤19，
∴x=18，
答：销售单价应为18元．
(3)w=(x−10)(−2x+60)=−2x2+80x−600=−2(x−20)2+200
∵a=−2<0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x=20，
∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，
∴当x=19时，w有最大值，W最大=198．
答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，然后用待定系数法求函数解析式；
(2)依据利润=单件利润×销售量列出方程，解答即可；
(3)根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式．
24.【答案】解：(1)作∠ABC的角平分线交AD于点E．
∴点E为所求的劣弧AD的中点．
证明：连接DE，
∵AE=AE，BD=BD，
∴∠ABF=∠ADE，∠BAF=∠FED．
∴△BFA∽△DFE．
∴BFAF=DFEF．
即AF×DF=BF×EF．
(2)连接OD，
∵⊙O与AC相切，OA为半径，
∴BA⊥AC．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB=45°．
∴∠AOD=90°．
∴劣弧AD的长度=90×π×4180=2π．
S阴影=S扇AOD−S△AOD
=90×π×42360−12×4×4
=4π−8．
【解析】本题主要考查了与圆有关计算，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式及扇形的面积公式是解决本题的关键．
(1)连接DE，先说明△BFA∽△DFE，再利用相似三角形的性质得结论；
(2)连接OD，先求出∠AOD的度数，再利用弧长公式、扇形的面积公式及三角形的面积公式计算即可．
25.【答案】2−m
【解析】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c的顶点D坐标为(1,4)，
∴y=−(x−1)2+4=−x2+2x−1+4=−x2+2x+3，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；
(2)①当y=0时，−x2+2x+3=0，解得x1=−1，x2=3，则A(−1,0)，B(3,0)，
∴1设E点的横坐标为t，
∵m−1=1−t，
∴t=2−m，
∴点E的横坐标为2−m；
故答案为：2−m；
②设F(m,−m2+2m+3)(1∵矩形EFGH为正方形，
∴FG=FE，
即−m2+2m+3=m−(2−m)，
整理得m2=5，
解得m1=− 5(舍去)，m2= 5，
∴G点坐标为( 5,0)；
③过点D作DM⊥x轴于M，
∵EG⊥AD，
而DM⊥x轴，
∴∠1=∠4，
∴Rt△GEH∽Rt△DAM，
∴EHAM=GHDM，即EH2=GH4
∴GH=2EH，
即2m−2=2(−m2+2m+3)，
整理得m2−m−4=0，解得m1=1− 172(舍去)，m2=1+ 172，
∴G点坐标为(1+ 172,0)；
(3)设AD交EF于Q，如图，
∵FP⊥AD，
∴∠DPF=90°，
∵△DFP与△DAM相似
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
而FP⊥DQ，
∴△FDQ为等腰三角形，
∴FD=FQ，
设直线AD的解析式为y=px+q，
把A(−1,0)，D(1,4)代入得−p+q=0p+q=4，
解得p=2q=2，
∴直线AD的解析式为y=2x+2，
当y=−m2+2m+3时，2x+2=−m2+2m+3，解得x=−12m2+m+12，则Q(−12m2+m+12,−m2+2m+3)，
∴FQ=m−(−12m2+m+12)=12m2−12=12(m+1)(m−1)，
而DF2=(m−1)2+(−m2+2m+3−4)2=(m−1)2+(m−1)4，
∴(m−1)2+(m−1)4=[12(m+1)(m−1)]2，
而m≠1，
∴1+(m−1)2=14(m+1)2，
整理得3m2−10m+7=0，解得m1=1(舍去)，m2=73，
∴F点坐标为(73,209).
(1)根据顶点D坐标为(1,4)可得二次函数的顶点式，即可求解；
(2)①先解方程−x2+2x+3=0得A(−1,0)，B(3,0)，则1②设F(m,−m2+2m+3)(1③先证明Rt△GEH∽Rt△DAM，利用相似比得到GH=2EH，从而得到即m−2=2(−m2+2m+3)，然后解方程求出m即可得到G点坐标；
(3)AD交EF于Q，如图，利用△DFP与△DAM相似得到∠1=∠3，再利用等角的余角相等得到∠1=∠2，所以∠2=∠3，于是可判断△FDQ为等腰三角形，即FD=FQ，接着利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=2x+2，从而可表示出Q(−12m2+m+12,−m2+2m+3)，则FQ=12(m+1)(m−1)，而利用两点间的距离公式得到DF2=(m−1)2+(m−1)4，于是得到方程(m−1)2+(m−1)4=[12(m+1)(m−1)]2，然后解方程求出m即可得到F点坐标．
本题是二次函数综合题：，查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、正方形的性质和等腰三角形的判定与性质，会利用待定系数法求函数解析式，会利用相似比计算线段的长，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式是解题的关键．销售单价x/元
…
12
13
14
…
每天销售数量y/件
…
36
34
32
…
红
绿
红
蓝
白
白红
白绿
白红
白蓝
红
红红
红绿
红红
红蓝
蓝
蓝红
蓝绿
蓝红
蓝蓝
1
2
3
4
5
6
1
0
2
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
3
0
0
0
0
0
2
4
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0