第10节 不等式证明之满参放缩 讲义-高考数学一轮复习导数从入门到精通

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当要证明的不等式含参，且规定了参数的范围时，可以考虑先使用满参放缩，将含参的不等式转化为不含参的不等式来证明.这一技巧在后续小节诸多问题中会反复用到，是一个必备的基本技能.
典型例题
【例1】当时，证明：.
证法1：当时，，
设，则，，
所以在上单调递增，又，，所以有唯一的零点，且，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，又，所以，两端取对数得：，从而，故
，所以，故，因为，所以，故.
证法2：设，则，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，所以，故，设，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以，
故当时，.
【反思】当要证明的不等式中含参，且规定了参数的范围时，利用满参放缩可以转化为不含参的不等式加以证明.
【例2】若，，证明：.
证明：因为，所以，又，所以，
从而，
设，
则，
所以在上单调递增，又，从而恒成立，
因为，所以.
【例3】已知函数，其中.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值；
（2）当时，证明：.
解：（1）由题意，，且，解得：.
（2）当时，因为，所以，
又，所以，故，
设，则，，
所以在上单调递增，注意到，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，因为，所以；
当时，因为，所以，
又，所以，故，
设，则，，
所以在上单调递增，注意到，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，
因为，所以；
显然，所以当时，恒成立.
【反思】①利用满参放缩时，若是对这种结构进行放缩，一定要判断的正负；②本题分和两段讨论，分别利用的两边来进行放缩，比单边放缩综合性更强.
强化训练
1.当时，证明：对任意的，都有.
证明：因为，所以，设，则
，所以在上单调递减，又，所以，即，因为，所以，故.
2.当时，证明：.
证明：当时，，下面证明，
设，
则，，
所以在R上单调递增，又，所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故，所以，因为，所以.
3.当时，证明：对任意的，都有.
证明：当时，对任意的，都有，下面证明，
设，
则，
所以在上单调递减，又，所以，从而，
又，所以.
4.当时，证明：对任意的，都有.
证明：当时，对任意的，都有，下面证明，
设，则，所以在上单调递增，又，所以，从而，又，所以.