第26节 指对共生式技巧之切线放缩 讲义——高考数学一轮复习导数从入门到精通

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当要证明的不等式中既含有，又含有时，一般我们形象地称之为指对共生式，这类问题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双函数、同构等技巧.这一小节先给大家介绍切线放缩的技巧，常用的切线放缩有：
（1）；（2）；（3）；（4）.
在证明不等式的过程中，可通过上述常见的切线放缩，将或放缩掉，再来证明不等式，这是指对共生式一种可以考虑的方向.
注意：解题中若要用不等式、、等进行放缩，需要先给出证明.由于本节会反复用到这些不等式，为了避免繁琐的重复论证，本节所给的答案中，以上不等式直接用易证代替.
典型例题
【例l】证明：.
【解析】证法1：易证，设，则，
所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，从而，故.
证法2：易证，故，
设，则，
所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，
故
所以，从而，故.
证法3：一方面，，所以，
另一方面，，显然当时，，所以，故.
变式 对任意的，证明：.
【解析】证法1：易证，当且仅当时取等号，所以当时，，令，则
所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，即，又，所以.
证法2：易证，当且仅当时取等号，所以，
设，则，，故在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，且，当时，，当时，，从而在上单调递减，在上单调递增，
故，又，所以，
从而
令，则，且，易得，所以，故，从而，故，所以.
证法3：易证，当且仅当时取等号，所以当时，，
另一方面，，所以，
而，所以，从而，故.
【反思】看到指对共生结构，可以考虑运用切线放缩把指数放掉，也可以考虑把对数放掉，当然，如果条件允许，两个都放掉就更简单了.
【例2】已知函数.
（1）若在上单调递减，求实数a取值范围；
（2）若，求的最大值.
【解析】（1）由题意，在上恒成立，从而，设，则，所以在上单调递增，故，因为恒成立，所以，故实数a的取值范围为.
（2）解法1：当时，，，
设，则，所以在上单调递减，
又，，所以在上有唯一的零点，
当时，，所以，故在上单调递增，
当时，，所以，故在上单调递减，
从而，又，所以，两边取对数得：，故，即的最大值为.
解法2：设，则，所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故，所以，故，当时，

当且仅当时等号成立，设，则，故在上单调递增，结合，知在上有零点，即方程有实根，所以.
【反思】①我们不只要学会运用这一切线放缩，它的变形也要会运用；②若要利用切线放缩求最值，一定要验证等号能取到.
强化训练
1.函数的最大值为_______.
【解析】解法1：由题意，，所以，，
从而在上，在上，故.
解法2：易证，所以，当且仅当时取等号，故.
【答案】1
2.函数的最大值为_______.
【解析】由题意，，，
设，则，所以在上单调递减，
又，，所以在上有唯一的零点，
且当时，，所以，当时，，所以，
从而在上单调递增，在上单调递减，
故①，
因为，所以，两端取对数得：，从而，代入式①得：，故.
解法2：由题意，，
易证，当且仅当时取等号，所以，
从而，当且仅当时取等号，
容易验证该等号能成立，所以.
【答案】
3.函数的最小值为_______.
【解析】由题意，，易证，所以，故，从而，，所以在上，在上，故.
解法2：由题意，
易证，当且仅当时取等号，所以
从而，当且仅当时取等号，此时，故.
【答案】0
4.证明：.
【解析】证法1：易证，所以，下面证明，设，，
则，，
所以在上单调递增，
又，，所以在上有唯一零点，且，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，又，所以，
从而，因为，所以，从而，故，所以，从而.
证法2：易证，所以，下面证明，
当时，；
当时，
，
设，则，
所以，，故在上单调递减，在上单调递增，从而，故，所以，
综上所述，不等式对任意的恒成立，所以.
5.不等式对任意的恒成立，则实数a取值范围为（ ）.
A.B.C.D.
【解析】当时，，
因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
从而，因为恒成立，所以.
【答案】D
6.已知函数f，其中e为自然对数的底数，.
（1）若函数在上是增函数，求a的取值范围；
（2）若，求证：.
【解析】（1）由题意，，因为在上增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，从而，显然函数在上是增函数，所以，从而，因为，所以，故实数a的取值范围是.
（2）解法1：当时，，所以在上单调递增，
又，且当时，，所以有唯一的零点，当时，，当时，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故①，
因为，所以，两边取对数得：，
代入式①可得，所以.
解法2：易证，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，
所以当时，
，
取等条件是，且，即，即.
7.已知函数，其中
（1）若，求a的取值集合；
（2）证明：.
【解析】（1）由题意，，，
当时，，所以在上单调递增，
结合可得当时，，不合题意；
当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，从而，故若恒成立，则①，设，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以②，由①②可得只能，且，所以a的取值集合为.
（2）证法1：易证当时，，所以，
设，，
则，，
所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，所以，
又，所以.
证法2：易证，所以，
易证当时，，所以，
而，所以，
从而，故.
8.（2013·新课标II卷）已知函数①
（1）设是的极值点，求m并讨论的单调性；
（2）当时，证明：
【解析】（1）由题意，，，
因为是的极值点，所以，解得：，
故，
令，则，所以在上单调递增，
又，所以当时，，故；当时，，故，
从而在上单调递减，在上单调递增.
（2）证法1：当时，，
令，，则，
令，则，所以在上单调递增，
结合，知存在唯一的使且，
当时，，所以，当时，，所以，
从而在上单调递减，在上单调递增，故①，因为，所以，两边取对数得：，
代入①得：，所以，即，
因为当时，，所以.
证法2：当时，，下面先证，
令，则，所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故，
所以，从而，当且仅当时等号成立，
再证，令，则，
所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以，故，当且仅当时等号成立，
综上所述，有，且两个等号不能同时成立，所以，故，因为当时，，所以.
9.设函数，其中
（1）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若，证明：
【解析】（1）解法1：由题意，，且恒成立，所以，
令，则，
当时，，，所以，故在上单调递增，
当时，，，所以，故在上单调递减，
从而，因为恒成立，所以，故实数a的取值范围是.
解法2：由题意，，且恒成立，所以，
易证，，所以，且当时，，
所以，因为恒成立，所以，故实数a的取值范围是.
（2）证法1：当时，，
下面证明，只需证，
当时，显然，所以不等式成立，下面证明当时该不等式也成立，令，则，
令，则，，
所以在上单调递增，又，所以当时，，从而在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，且，当时，，所以，当时，，所以，从而在上单调递减，在上单调递增，故①，
又，所以，
代入式①得：，
由可得，，所以，从而，
综上所述，对任意的，都有，所以，
又当时，，所以.
证法2：当时，，
易证，所以，令，
则，
易证，所以，从而，故在上单调递增，
又，所以恒成立，因为，所以.
10.已知函数，，其中e为自然对数的底数.
（1）若恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a取（1）中的最大值，证明：.
【解析】解法1：由题意，，
设，则，所以在上单调递增，从而，因为恒成立，所以，故实数a的取值范围是.
解法2：由题意，，，
当时，恒成立，所以在上单调递增，从而，
因为，所以，解得：；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，不合题意，
综上所述，实数a的取值范围是.
解法3：由题意，，
易证，所以，当且仅当时取等号，
从而，
又当时，，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，故实数a的取值范围是.
（2）证法1：由题意，，，所以，
易证l，所以当时，，
下面证明，只需证，即证，
设，则，
所以，或，
从而在上单调递诚，在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以，即当时，，所以，因为，所以，故成立.
证法2：设，则，所以在上为减函数，
又，所以恒成立，从而，故，
所以
设，则，
所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故，
所以，故.