高中数学讲义——放缩法证明数列不等式

这是一份高中数学讲义——放缩法证明数列不等式，共18页。学案主要包含了基础知识，典型例题等内容，欢迎下载使用。
在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧
1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：
（1）传递性：若，则（此性质为放缩法的基础，即若要证明，但无法直接证明，则可寻找一个中间量，使得，从而将问题转化为只需证明即可 ）
（2）若，则，此性质可推广到多项求和：
若，则:
（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若，则，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数
注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同
2、放缩的技巧与方法：
（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：
① 等差数列求和公式：，（关于的一次函数或常值函数）
② 等比数列求和公式：，（关于的指数类函数）
③ 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式
④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项
（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：
① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）
③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。
（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：
① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）
② 等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数，即可猜想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为 。
注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响
（4）与数列中的项相关的不等式问题：
① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明
3、常见的放缩变形：
（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。
注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：
（2），从而有：
注：对于还可放缩为：
（3）分子分母同加常数：
此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。
（4）

可推广为：

二、典型例题：
例1：已知数列的前项和为，若，且
（1）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式
（2）设，数列的前项和为，求证：
解：（1）


即

即
，由令可得：

，验证符合上式

（2） 由（1）得：
可知当时，


不等式得证
例2：设数列满足：，设为数列的前项和，已知，
（1）求数列的通项公式
（2）求证：对任意的且，有
解：（1） 为公比是的等比数列

在中，令，


是公比为的等比数列

（2）证明：
例3：已知正项数列的前项和为，且
（1）求证：数列是等差数列
（2）记数列，证明：
解：（1）

为等差数列
（2）思路：先利用（1）可求出的公式进而求出，则，考虑进行放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。
解：令代入可得：
即
由为等差数列可得：

考虑先证
时
时，
再证
综上所述：
小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩：
例4：已知数列满足
（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式
（2）设，求证：
解：（1）
是公比为的等比数列
（2）思路：，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：），若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有，故分子分母通乘以，再进行放缩调整为裂项相消形式。
解：
而
所以


小炼有话说：（1）本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进行构造，在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。
（2）在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本题中才会有放缩的情况），对于较少项数要进行验证。
例：已知数列的前项和，且
（1）求
（2）求数列的前项和
（3）设数列的前项和，且满足，求证：
解：（1）在中，令可得：
（2） ①
②
① ②可得：

是公差为6的等差数列
（3）由（2）可得：

例6：已知数列满足
（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由
（2）设，数列的前项和为，求证：对任意的
解：（1）

为公比是的等比数列
（2）思路：首先由（1）可求出的通项公式，对于可发现为奇数时，，为偶数时，，结合通项公式可将其写成，从而求出，无法直接求和，所以考虑对通项公式进行放缩，可联想到等比数列，进而，求和后与所证不等式右端常数比较后再进行调整（需前两项不动）即可。
解：，由（1）可得：


而

当时，

因为为正项数列

例7：已知数列满足：，且
（1）求数列的通项公式
（2）证明：对于一切正整数，均有
解：（1）
设即
为公比是的等比数列
而

（2）思路：所证不等式可化简为：，由于是连乘形式，所以考虑放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为，所以结合不等号方向，将分子向该形式转化：，再根据右边的值对左边放缩的程度进行调整即可。
证明：所证不等式为：
等价于证明：
设

即不等式得证
小炼有话说：（1）对于一侧是连乘形式的表达式，在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。
（2）本题中用到了分式放缩的常用方法：通过分子分母加上相同的数达到放缩目的，但要注意不等号的方向（建议验证），常用的放缩公式为：（分子小与分母），（分子大于分母）
例8：已知函数
（1）若函数在处切线斜率为，，已知，求证：
（2）在（1）的条件下，求证：
解：（1）
整理后可得：

下面用数学归纳法证明：
当时，成立
假设成立，则时

时，不等式成立
（2）
由（1）可知
例9：已知数列的各项均为正值，对，，且
（1）求数列的通项公式
（2）当且时，证明对，都有成立
解：（1）
由可得：
为公比是的等比数列


（2）思路：所证不等式为：左边含有两个变量，考虑通过消元简化所证不等式。设，则只需证明：，易知为递增数列。所以只需证明，即，左边共项，结合的特点可考虑将项分为3组：
，再求和即证不等式
解：所证不等式由（1）可得：
只需证：
设


为递增数列
只需证
而
例10：数列是公差不为零的等差数列，，数列满足：
（1）当时，求证：
（2）当且时，为等比数列
① 求
② 当取最小值时，求证：
解：（1）由可得：

两式相除可得：
（2）① 思路：本题的突破口在于既在等差数列中，又在等比数列中，从而在两个不同风格的数列中均能够用进行表示，然后便得到与的关系式，抓住的特点即可求出的值
为等差数列

另一方面，为等比数列



可视为以为首项，为公比的等比数列前项和


能够被6整除 且
或
经检验：或均符合题意
② 思路：所证不等式两侧均为数列求和的形式，所以先观察两侧是否有能直接求和的式子，从而化简一侧的表达式，由（1）和（2）①可知，，，所以对于右侧，显然无法直接找到求和方法。而对于，虽然没有通项公式，但可对向可求和的方式进行变形，得到，从而可想到利用裂项相消的方式进行求和，得到。对于右侧只能考虑进行放缩，针对的特点可向等比数列靠拢，结合不等号方向可得：。所以。于是所证的不等式就变为只需证明，即证明，考虑对进行放缩，抓住这个特点，由已知可得为递增数列，则，但右侧为，无法直接放缩证明，所以要对的放缩进行调整，计算出可得，进而，但此时只能证明时，不等式成立。对于有限的项，逐次验证即可。
由（1）可得：





当时，


只需证明：即可
即证明：
由可知为递增数列

由可得：

时，
时，
当时，可知成立
得证
时，
成立
当时，
当时，，

综上所述：恒成立