第33节 切割线放缩 讲义-高考数学一轮复习导数从入门到精通

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函数的凸性与切割线放缩：
1.下凸函数：如图1所示，对于函数，若在其图象上任取两点，，除端点外，线段始终在函数的图象的上方，在的图象上任取点C，函数在点C处的切线除切点外，始终在图象的下方，我们称为下凸函数，满足的函数为下凸函数，对于下凸函数，可利用切割线进行放缩，，当时，.
2.上凸函数：如图2所示，对于函数，若在其图象上任取两点，，除端点外，线段AB始终在函数的图象的下方，在的图象上任取点C，函数在点C处的切线除切点外，始终在图象的上方，我们称为上凸函数，满足的函数为上凸函数.对于上凸函数，可利用切割线进行放缩，，当时，.
典型例题
【例1】己知函数
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若方程有两个不同的实根，，证明：.
【解析】（1）由题意，，所以，
又，所以在处的切线方程为.
（2）设，则，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，所以①，
设，则，
所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故，所以②，由题意，方程有两个不同的实根，，所以，不妨设，
由和不等式①可得，所以，
由和不等式②可得，所以，
从而.
【例2】已知函数.
（1）证明：存在唯一的极小值点；
（2）若关于x的方程有两个不相等的实根，，证明：.
【解析】（1）由题意，，，
所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以在上有1个零点，
而当时，显然，所以在上没有零点，故有且仅有1个零点，设为，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，从而存在唯一的极小值点.
（2）设，则，所以，
从而，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，从而恒成立，当且仅当时取等号，
故当时，，即，所以①，
则，，所以在上单调递增，
又，，所以在上有1个零点，记作，
当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，又，所以恒成立，即，故②，
因为方程有2个实根，，显然，所以，
不妨设，因为，所以必有，且，
由和不等式①可得，所以，
由和不等式②可得，所以，
从而，由可得，
故，
另一方面，要证，只需证，因为，所以，结合在上单调递增知要证，只需证，
又，所以只需证，即证，
设，
则，
，
因为当时，易证，，从而，所以，故在上单调递减，又，所以恒成立，故在上单调递增，显然，所以恒成立，
从而，故成立，
综上所述，.
【反思】本题的求解过程有重要的图形背景.
强化训练
1.已知函数.
（1）证明：；
（2）若方程有两个不相等的实根，，证明：.
【解析】（1）设，则，
，
所以，，故在上单调递增，在上单调递减，从而，所以，故.
（2）设，则，
所以，
从而，，故在上单调递增，在上单调递减，所以，故恒成立，从而，
因为方程有两个不相等的实根，，不妨设，则，
所以，故，，所以，
故.
2．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设曲线与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为，证明：对任意的实数x，；
（3）若方程有两个不相等的实数根，，且，证明：.
【解析】（1）由题意，，所以，，
故的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）令可得：或，，
从而曲线在点P处的切线方程为，故，
令，则，
所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以，从而.
（3）设，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以①，
因为有两个不相等的实数根，，且，所以，
又由不等式①可得，所以，故，
另一方面，由（2）可得恒成立，所以，
又，，所以，从而，
所以.
3．已知函数
（1）求函数的最小值；
（2）若方程有两个不相等的实根，，证明：.
【解析】（1）由题意，，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故
（2）由题意，，不妨设，由（1）可得
要证，只需证，因为，，且在上单调递增，所以要证，只需证，又，所以只需证，即证，
设
则
所以在上单调递减，又，所以，
因为，所以，即，从而
因为当时，，所以，从而，故，设，则，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，所以，
从而，故，所以
综上所述，不等式成立.