高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案，共17页。
在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？
知识点 平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角．
(1)数量积的坐标表示：a·b＝x1x2＋y1y2．
(2)向量模的公式：|a|＝x12+y12．
(3)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2-x12+y2-y12．
(4)向量的夹角公式：
cs θ＝a·bab＝x1x2+y1y2x12+y12x22+y22．
(5)向量垂直的充要条件：
若a与b都是非零向量，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．
已知向量a＝(x，y)，则与a共线的单位向量的坐标是什么？
[提示] 设与a共线的单位向量为±1aa＝±xa，ya＝±xx2+y2，yx2+y2．
1．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝________．
23 [因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝23．]
2．已知a＝(3，1)，b＝(－3，1)，则|a|＝________，|b|＝________，a，b的夹角θ＝________．
[答案] 2 2 120°
类型1 平面向量数量积的坐标运算
【例1】 (1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．10 B．－10
C．3 D．－3
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，AF＝2FD，则BE·CF＝________．
(1)B (2)23 [(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．故选B．
(2)建立平面直角坐标系如图所示，
则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，
因为AF＝2FD，
所以F43，2．
所以BE＝(2，1)，
CF＝43，2－(2，0)＝-23，2，
所以BE·CF＝(2，1)·-23，2
＝2×-23＋1×2＝23．]
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
[跟进训练]
1．(1)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则AB·AD＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．无法确定
(2)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影向量长度为________．
(1)C (2)322 [(1)以B为原点，以BA，BC的方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图．
则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)．
所以AB＝(－2，0)，AD＝(－2，y)，
得AB·AD＝(－2，0)·(－2，y)＝4．
(2)由已知得AB＝(2，1)，CD＝(5，5)，因此AB在CD方向上的投影向量长度为AB·CDCD＝1552＝322．]
类型2 向量模的坐标表示
【例2】 若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：
(1)向量a的模；
(2)与a平行的单位向量的坐标；
(3)与a垂直的单位向量的坐标．
[解] (1)∵a＝AB＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝42+-32＝5．
(2)与a平行的单位向量是±aa＝±15(4，－3)，
即坐标为45，-35或-45，35．
(3)设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴mn＝34．
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1，
解得m=35，n=45 或m=-35，n=-45，
∴e＝35，45或e＝-35，-45．
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2+y2．
[跟进训练]
2．已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)．
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|．
[解] (1)a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)，
|a－2b|＝72+32＝58．
(2)a·b＝(3，5)·(－2，1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，
∴c＝a－(a·b)·b＝(3，5)＋(－2，1)＝(1，6)，
∴|c|＝1+62＝37．
类型3 向量的夹角与垂直问题
【例3】 (源自湘教版教材)已知a＝(3，1)，b＝-32，k，求k为何值时：
(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为钝角．
[解] (1)因为a∥b，
所以3k－1×-32＝0，解得k＝－12．
(2)因为a⊥b，
所以3×-32＋1×k＝0，解得k＝92．
(3)因为π2＜〈a，b〉＜π，所以cs 〈a，b〉＜0，
则由向量夹角余弦公式可得
3×-32＋1×k＝－92＋k＜0，
解得k＜92．
由(1)知，k＝－12时，a∥b，即a，b共线，此时〈a，b〉＝π．
所以k＜92且k≠－12时，a，b的夹角为钝角．
利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝x2+y2计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cs θ＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22求夹角余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cs θ求θ的值．
[跟进训练]
3．已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
[解] (1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
AB＝(1，1)，AD＝(－3，3)，
所以AB·AD＝1×(－3)＋1×3＝0，所以AB⊥AD，即AB⊥AD．
(2)因为AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，
所以AB＝DC，设点C的坐标为(x，y)，
则由AB＝(1，1)，DC＝(x＋1，y－4)，
得x+1=1，y-4=1，解得x=0，y=5，
所以点C的坐标为(0，5)，从而AC＝(－2，4)，BD＝(－4，2)，
且|AC|＝25，|BD|＝25，AC·BD＝8＋8＝16．
设AC与BD的夹角为θ，
则cs θ＝AC·BDACBD＝1620＝45，
所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为45．
1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则a-b＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
D [因为a－b＝2，1－-2，4＝4，-3，
所以a-b＝42+-32＝5．
故选D．]
2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A．π6B．π4
C．π3D．π2
B [a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝32+-12＝10，|b|＝12+-22＝5，
设a与b的夹角为θ，则cs θ＝a·bab＝510×5＝22．
又0≤θ≤π，∴θ＝π4．]
3．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________．
4 [a＋2b＝(1，5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4．]
4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则n＝________．
±3 [由题意2a－b＝(3，n)，
∵2a－b与b垂直，
∴3×(－1)＋n2＝0，
∴n2＝3，∴n＝±3．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
已知非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
1．如何求向量a与b的夹角θ的余弦值cs θ？
[提示] cs θ＝a·bab＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22．
2．向量a与b的夹角θ的范围与向量数量积的坐标运算的关系是什么？
[提示] (1)当θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0；
(2)当θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0；
(3)当θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2