人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案及答案，共16页。

物理中的共点力平衡，用两个力F1和F2拉的效果和用一个力F拉的效果是一样的．

问题：(1)F能不能称为F1和F2的合力呢？
(2)它们之间有什么关系？
知识点 向量法解决平面几何问题的“三步曲”
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则来解决． ( )
(2)若△ABC为直角三角形，则有AB·BC＝0．( )
(3)物理学中的功是一个向量．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
类型1 向量在平面几何中的应用
长度问题
【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
[解] 设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b，
而|BD|＝|a－b|＝a2-2a·b+b2
＝1+4-2a·b＝5-2a·b＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝12，
又|AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以|AC|＝6，即AC＝6．
共线问题
【例2】 (源自北师大版教材)如图，点O是▱ABCD两条对角线的交点，点E，F分别在边CD，AB上，且CEED＝AF FB＝12．求证：点E，O，F在同一直线上．
[证明] 设AB＝m，AD＝n，
由CE ED＝AF FB＝12，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以FO＝FA+AO＝13BA＋12AC
＝－13m＋12(m＋n)＝16m＋12n，
OE＝OC+CE＝12AC＋13CD＝12(m＋n)－13m＝16m＋12n．
所以FO＝OE．又O为FO和OE的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
垂直问题
【例3】 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
[证明] 法一：设AD＝a，AB＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又DE＝DA+AE＝－a＋b2，AF＝AB+BF＝b＋a2，
所以AF·DE＝b+a2·-a+b2＝－12a2－34a·b＋b22＝－12|a|2＋12|b|2＝0．
故AF⊥DE，即AF⊥DE．
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，1)，DE＝(1，－2)．
因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以AF⊥DE，即AF⊥DE．
用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
[跟进训练]
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝12DC．求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
[解] (1)设AB＝a，AC＝b，
则AD＝AB+BD＝AB＋13BC＝AB＋13(AC-AB)＝23AB＋13AC＝23a＋13b．
∴|AD|2＝AD2＝23a+13b2＝49a2＋2×29a·b＋19b2＝49×9＋2×29×3×3×cs 120°＋19×9＝3．
∴AD＝3．
(2)设∠DAC＝θ(0°