初中数学一轮复习【讲通练透】专题26 一次函数与反比例函数（练透） （全国通用）

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从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题26 一次函数与反比例函数
一、单选题
1．（2021·全国九年级课时练习）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由题意利用反比例函数的定义对各选项逐一进行判断即可．
【详解】
解：A、是正比例函数，排除；
B、不是反比例函数，排除；
C、是反比例函数，当选；
D、是一次函数，排除；
故选：C.
2．（2021·北京市第十三中学九年级期中）已知点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数y的图象上，则a与b之间的关系是（ ）
A．a＞bB．a＜bC．a≥bD．a＝b
【答案】B
【分析】
直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】
∵点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数y的图象上，-12<0，
∴每个象限内y随x的增大而增大，
∵1<3，
∴a＜b．
故选B．
3．（2021·哈尔滨风华中学九年级开学考试）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论正确的是（ ）
A．乙前3秒行驶的路程为15米
B．在0到6秒内甲的速度每秒增加6米/秒
C．两车到第2.5秒时行驶的路程相等
D．在0至6秒内甲的速度都大于乙的速度
【答案】B
【分析】
前3s内，乙的速度−时间图象是一条平行于x轴的直线，即速度不变，速度×时间＝路程；
甲是一条过原点的直线，则速度均匀增加；求出两图象的交点坐标，2.5秒时两速度大小相等，2.5s前甲的图象在乙的下方，所以2.5秒前路程不相等；图象在上方的，说明速度大，图在下方的说明速度小．
【详解】
解：A、根据图象可得，乙前3秒的速度不变，为15米/秒，则行驶的路程为15×3＝45米，故A不正确；
B、根据图象得：在0到6秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到36米/秒，则每秒增加36÷6＝6米/秒，故B正确；
C、由于甲的图象是过原点的直线，速度每秒增6米/秒，可得v＝4t（v、t分别表示速度、时间），将v＝15m/s代入v＝4t得t＝2.5s，则t＝2.5s前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第2.5秒时行驶的路程不相等，故C错误；
D、由图象知，在0到2.5秒内甲的速度小于乙的速度，2.5秒时甲、乙速度相等，大于2.5秒时，甲的速度大于乙的速度，故D错误．
故选：B．
4．（2021·建昌县教师进修学校九年级）在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由一次函数y=kx+b中，k决定了直线的倾斜方向，k>0，直线向右上方倾斜；k<0，直线向右下方倾斜；b决定了直线与y轴的交点位置，b>0，直线与y轴交与y轴正半轴；b<0直线与y轴交与y轴负半轴.
【详解】
解：由一次函数图象性质可得：
，
解得：，
故选C.
5．（2021·武汉一初慧泉中学九年级月考）下表反映的是某地区用电量x（千瓦时）与应交电费y（元）之间的关系：
下列说法：①x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数；②用电量每增加1千瓦时，应交电费增加0.55元；③若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元；④若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦时，其中不正确的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】
根据函数的定义判断①，通过表格求出应交电费与电量的变化规律求出每一千瓦时的电费，然后判断②③④三项即可．
【详解】
解：①x与y都是变量，且x是自变量，y随x的变化而变化，故y是x的函数，此项正确；
②从表格可以看出，用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，故此项正确；
③若用电量为8千瓦时，则应交电费元,故此项正确；
④若所交电费为2.75元，则用电量千瓦时，故此项不正确；
故选：D．
6．（2021·武汉一初慧泉中学九年级月考）已知反比例函数，直线交于、两点，则代数式的值是（ ）
A．2B．－2C．4D．－4
【答案】B
【分析】
联立两个函数解析式，得到关于x的一元二次方程，从而得a+m=2，把、代入可得=-2a，=-2m，进而即可求解．
【详解】
联立，，得：，
∴，
∵反比例函数，直线交于、两点，
∴的两个根为：x=a，x=m，
∴a+m=2，
∵，，
∴=-2a，=-2m，
∴=-（a+m）=-2．
故选B．
7．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级）如图：四边形ABCD为菱形，且对角线BD∥x轴，A、C两点在y轴上，E点在BC上，且BE＝2CE，双曲线y＝（x＞0）经过E、B两点，且，则k的值为（ ）
A．3B．C．4D．6
【答案】C
【分析】
作EF垂直于y轴，EG，BH垂直于x轴，设点E横坐标为m，点B横坐标为n，根据BE＝2CE和k的几何意义求出m与n的关系，再通过m表示菱形面积求解．
【详解】
解：作EF垂直于y轴，EG，BH垂直于x轴，设点E横坐标为m，点B横坐标为n，
∴点E坐标为（m，），点B坐标为（n，）．
∵EF∥BD∥x轴，BE＝2CE，
∴，即n＝3m．
∴点B坐标为（3m，），
∵
∴，
∵，
∴SABCD＝3S△EFB＝24．
∴，
∴k＝4．
故选：C．
8．（2021·江苏泰州中学附属初中）在平面直角坐标系中，一次函数 （b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线 分别交于点P、Q，则AP·BP的值是（ ）
A．4B．8C．10D．与b的取值有关
【答案】C
【分析】
如图，过向轴作垂线，垂足分别为，由于点在上，设，代入一次函数解析式，得到关系式，根据，由正切的定义可知，勾股定理求得，结合已知关系式，即可求得答案．
【详解】
如图，过向轴作垂线，垂足分别为，
，
点在上，设，代入得：
，
，
一次函数 （b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，
令，，则，
令，，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选C．
9．（2021·南宁市天桃实验学校九年级）如图，在平面直角坐标系中，若折线与直线交（）有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】
先求出折线的最高点的坐标，然后直线经过最高点时，此时恰好有一个交点，然后分析直线与折线的那部分图像的交点问题即可得到答案.
【详解】
解：∵直线的解析式为，
∴直线经过点（-2，0），
∵折线的解析式为，
∴折线的最高点坐标为（2，1）
∴当直线恰好经过（2，1）时，此时只有一个交点，
∴，
解得，
当时，直线与折线在的那部分图像平行，此时没有交点，
∴当时直线与折线在的那部分图像有一个交点，
∴综上所述或，
故选D.
10．（2021·湖南新田县·九年级期中）如图，…是分别以…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点…均在反比例函数（x＞0）的图象上，则的值为（ ）
A．B．20C．D．
【答案】B
【分析】
作辅助线如图，根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特点依次求出点的纵坐标，找到规律，再求和即可．
【详解】
解：过分别作x轴的垂线，垂足分别为
其斜边的中点在反比例函数上，
∴，即，
∴，
设，则，此时，带入，
解得：，，
同理，
，
……
，
故选：B．
二、填空题
11．（2021·陕西西安·高新一中九年级月考）如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2﹣x1）（y2﹣y1）的值为___．
【答案】16．
【分析】
正比例函数的图象与反比例函数y= 的图象交于的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=-x2，y1=-y2，将（x2-x1）（y2-y1）展开，依此关系即可求解．
【详解】
∵正比例函数的图象与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，关于原点对称，依此可得x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴（x2﹣x1）（y2﹣y1）
＝x2y2﹣x2y1﹣x1y2+x1y1
＝x2y2+x2y2+x1y1+x1y1
＝4×4
＝16．
故答案为：16．
12．（2021·浙江省杭州市上泗中学九年级）如图，在直角坐标系中，第一象限内的点，都在反比例函数的图象上，横坐标分别是和，点在轴的正半轴上，满足．且，则的值是_______________________．
【答案】
【分析】
作AD⊥x轴，BE⊥x轴，由AC丄BC，利用各角之间的关系，先证明，然后利用全等的性质，得到二元一次方程组，即可求出答案．
【详解】
解：如图，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，
设反比例函数为
∵点A，B都在反比例函数的图象上，横坐标分别是3和1，
∴设点，，
∴点，，
点C在x轴的正半轴上，满足AC丄BC，
则设点C为（m，0），
∴，，，；
∵AC丄BC，AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴，，，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
即：，
解得：
故答案为：．
13．（2021·宜兴市实验中学九年级）如图，点在的正半轴上，且于点，将线段绕点逆时针旋转到的位置，且点的坐标为．若反比例函数的图象经过点，则______．
【答案】
【分析】
过点B′作B′D⊥x轴于点D，根据BA⊥OB于点B及图形旋转的性质求出∠B′BD的度数，再由直角三角形的性质得出BD及BB′的长，故可得出点A的坐标，进而可得出结论．
【详解】
解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，
∵BA⊥OB于点B，
∴∠ABD＝90°．
∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，
∴∠ABB′＝60°，
∴∠B′BD＝90°−60°＝30°．
∵点B′的坐标为（1，1），
∴OD＝ B′D＝1，
∴BB′＝2B′D＝2，BD＝
∴，AB＝BB′＝2，
∴，
∴．
故答案为：．
14．（2021·山东济宁学院附属中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与双曲线y＝相交于A、B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP、BC，若△PBC的面积是30，则C点的坐标为__________________．
【答案】（8，）
【分析】
设C点坐标为（a，），根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组求得A点坐标为（2，3），B点坐标为（-2，-3），再利用待定系数法确定直线BC的解析式，直线AC的解析式，于是利用y轴上点的坐标特征得到D、P点坐标，然后利用S△PBC=S△PBD+S△CPD得到关于a的方程，求出a的值即可得到C点坐标．
【详解】
解：BC交y轴于D，如图，
设C点坐标为（a，），
解方程组得或，
∴A点坐标为（2，3），B点坐标为（-2，-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（-2，-3）、C（a，）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为，
当x=0时，，
∴D点坐标为（0，-3）
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（2，3）、C（a，）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为，
当x=0时，，
∴P点坐标为（0，+3），
∵S△PBC=S△PBD+S△CPD，
∴×2×6+×a×6=30，解得a=8，
∴C点坐标为（8，）．
故答案为：（8，）．
15．（2021·厦门海沧实验中学九年级开学考试）设函数与的图象的交点坐标为，则的值为___________．
【答案】或．
【分析】
由两函数的交点坐标为，代入反比例解析式，求出mn的值，代入一次函数解析式，得出，联立两函数解析式，求得的值，进而求得代数式的值．
【详解】
两函数的交点坐标为
即
解得
当时，原式
当时，原式
故答案为：或．
三、解答题
16．（2021·全国九年级专题练习）已知点A（0，2）和点B（0，－2），点P在函数的图象上，如果△PAB的面积是6，求P点的坐标．
【答案】或
【分析】
由已知的点A、B的坐标，可求得AB＝4，再由△PAB的面积是6，可知P点到轴的距离为3，因此可求P的横坐标为±3，由于点P在的图象上，则由横坐标为±3可求其纵坐标．
【详解】
解：如图所示，不妨设点P的坐标为，过P作PC⊥轴于点C．
∵A(0，2)、B(0，－2)，
∴AB＝4．
又∵且，
∴，
∴，
∴．
又∵在曲线上，
∴当时，；
当时．
∴P的坐标为或．
17．（2021·广西贺州市·九年级期中）若反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的图象都经过点（﹣2，﹣1），且当x＝1时，这两个函数值相等．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式．
【答案】（1）；（2）y＝x+1
【分析】
（1）先把点（-2，-1）代入y=，求出反比例函数解析式；
（2）把x=1代入求出y的值，把点（-2，-1）和x=1时y的值代入一次函数解析式即可求出一次函数的解析式．
【详解】
解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点（-2，-1），
∴-1=，
解得：m=2，
∴反比例函数的解析式：y=；
（2）当x=1时，y==2，
∴一次函数y=kx+b的图象经过点（1，2）（-2，-1），
∴，解得，
∴一次函数的解析式：y=x+1．
18．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与直线yx+6交于点A，直线y＝﹣x﹣1与x轴交于点B，直线yx+6与x、y轴分别交于点D、C．
（1）求点A的坐标；
（2）求△ABD的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）联立方程组求解即可；
（2）分别求出点B和点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】
（1）联立方程组，
将①代入②中得：，
解得：，
把代入①中得：，
∴；
（2）当时，，
∴，即，
当时，
∴,即D（-8,0）
∵点B、D在x轴上，
∴，
∴．
19．（2021·重庆实验外国语学校）如图，直线与双曲线的图象分别交于点，点，与轴交于点，过点作线段垂直轴于点，，连接，．
（1）直线与双曲线的解析式；
（2）求的面积；
（3）在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）3；（3）存在，或．
【分析】
（1）由题意利用待定系数法代入A、C即可求出直线的解析式，继而代入A求出双曲线的解析式；
（2）根据题意联立直线的解析式和双曲线的解析式求出交点B，进而以OC为公共底边求出ΔAOC和ΔCOB 的面积，相加即可得出ΔAOB 的面积；
（3）根据题意设直线与y轴的交点为E ，以及AF=AE时，可知P在E、F点上满足条件，进而结合三角形等底等高以及中位线性质进行分析计算可得.
【详解】
解：（1），
，
，
，
，
，
直线经过、，
，解得，
直线的解析式为；
双曲线经过点，
．
双曲线的解析式为．
（2）由题意可得得或，
，
．
（3）存在，理由如下，
设直线与轴的交点为，则，
，，
OE是ΔACD的中位线，则有，
，
，
，
（三角形等底等高），
在直线上点，使得，则在E的横坐标为0，
此时有；
当AF=AE时，，即在F点时满足条件，
此时过F作，
∵，
∴，,
即在F的横坐标为4，
此时有P．
综上所述或P．
20．（2021·福建三明一中）如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（千米）之间的函数关系图象．
（1）根据图象，写出射线BC的函数关系式并写出定义域；
（2）某人乘坐2.5千米，应付 元；某人乘坐13千米，应付 元；
（3）若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？
【答案】（1）y=1.4x+2.8，x≥3；（2）7，21；（3）20千米
【分析】
（1）根据图象，得到B（3，7），C（8，14），设射线BC的函数关系式为：y=kx+b，把点B和点C的坐标代入，用待定系数法求出k和b的值即可得到射线BC的函数关系式，由图象可知定义域；
（2）根据图象可知，当x=2.5时，位于函数图象AB上，从而得到答案；根据图象可知，当x=13时，位于函数图象BC上，结合（1）的答案，把x=13代入即可；
（3）根据y=30.8可知，位于函数图象BC上，把y=30.8代入（1）求出的函数解析式中，即可得到答案．
【详解】
解：（1）设射线BC的函数关系式为：y=kx+b，
把B（3，7），C（8，14）代入得：
，
解得：，
即射线BC的函数解析式为：y=1.4x+2.8，
定义域为：x≥3，
（2）根据图象可知：
当x=2.5时，位于函数图象AB上，
此时y=7，
∴应付7元，
根据图象可知：
当x=13时，位于函数图象BC上，
把x=13代入y=1.4x+2.8得：
y=1.4×13+2.8=21，
∴应付21元；
（3）根据y=30.8可知：位于函数图象BC上，
把y=30.8代入y=1.4x+2.8得：
1.4x+2.8=30.8，
解得：x=20，
答：出租车行驶了20千米．
21．（2021·北京市第十三中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x﹣3与双曲线交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值；
（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标 ．
【答案】（1）k＝﹣5，a＝﹣2.5，b＝﹣5；（2）（0，1）或（0，﹣7）．
【分析】
（1）根据直线y＝﹣2x﹣3过点M（a，2），N（1，b），代入求解即可得到a、b的值，从而可以求出k；
（2）设直线y＝﹣2x﹣3与y轴交于点C，则C（0，-3）OC＝3，根据题意得：S△MPN＝S△MPC+S△CPNPC×2.5PC×1＝7，由此求解即可．
【详解】
解：（1）∵直线y＝﹣2x﹣3过点M（a，2），N（1，b），
∴﹣2a﹣3＝2，b＝﹣2﹣3，
∴a＝﹣2.5，b＝﹣5．
∵双曲线过点N（1，﹣5），
∴k＝﹣5；
（2）如图，设直线y＝﹣2x﹣3与y轴交于点C．
∵y＝﹣2x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
即C（0，﹣3），OC＝3．
根据题意得：S△MPN＝S△MPC+S△CPNPC×2.5PC×1＝7，
解得：PC＝4，
∵C（0，﹣3），
∴P（0，﹣3+4）或（0，﹣3﹣4），即P（0，1）或（0，﹣7）．
故答案为：（0，1）或（0，﹣7）．
22．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+4交x轴、y轴分别于点A、点B，且△ABO的面积为8．
（1）如图1，求k的值；
（2）如图2，点P是第一象限直线AB上的一个动点，连接PO，将线段OP绕点O顺时针旋转90°至线段OC，设点P的横坐标为t，△AOC的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点B作直线BM⊥OP，交x轴于点M，垂足为点N，∠PMB＝2∠OPB，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）令即可求得点的坐标，根据函数图像以及△ABO的面积为8求得点的坐标，将的坐标代入直线解析式即可求得的值；
（2）过点，，分别引轴的垂线，垂足分别为，证明，进而求得，根据三角形面积公式即可求得S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，在上截取，连接，证明，，分别根据（2）的条件求得，根相似三角形对应边成比例，求得的值，进而求得的坐标．
【详解】
（1）如图1，
直线交x轴、y轴分别于点A、点B，
令，解得，
△ABO的面积为8．
点在的负半轴
将代入
即
解得
（2）过点，，分别引轴的垂线，垂足分别为
将线段OP绕点O顺时针旋转90°至线段OC，
，
点P是第一象限直线AB上的一个动点，点P的横坐标为t，

（3）如图，在（2）的条件下，在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得（舍）
，
，
23．（2021·浙江诸暨市暨阳初级中学）如图，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，作矩形ABCD，其中点C，点D在第一象限，且满足AB∶BC＝2∶1．连接BD．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若点E是线段AB（与端点A不重合）上的一个动点，过E作EF∥AD，交BD于点F，作直线AF．
①过点B作BG⊥AF，垂足为G，当BE＝BG时，求线段AE的长度．
②若点P是线段AD上的一个动点，连结PF，将△DFP沿PF所在直线翻折，使得点D的对应点落在线段BD或线段AB上．直接写出线段AE长的取值范围．
【答案】（1）A（6，0），B（0，8）；（2）①4；②或
【分析】
（1）分别令中x=0、y=0，求出与之对应的y、x值，由此即可得出点A，点B的坐标；
（2）由题意证，得出AF＝AD，设BE＝x，EF＝0.5x，AE＝10－x，即可求出线段AE的长度； 在线段AB上时：（考虑以F为圆心的圆与AB相交的情况），分情况讨论即可．
【详解】
（1）令中x=0，则y=8，
；
令中y=0，则x=6，
；
（2）①由BE＝BG，
，
，
∠BDA＝∠BFE＝∠BFG＝∠AFD，可得：AF＝AD，
，
，
又 AB∶BC＝2∶1，
，
，
设BE＝x，EF＝0.5x，AE＝10－x，
在Rt△AEF中：，
可得x＝6，AE＝4；
②当在BD上时，
当P与A重合时，AE最长，
即时，AE最长，
，
，
，
，
，
，
当时，可把翻折到BD上；
当在线段AB上时：
当DP＝P时，与A重合，
PF为AD中垂线，PF为中位线，
AE＝5，
（若此时E再上移，以F为圆心，FD为半径作圆，与AB不会有交点，所以）；
当FE＝FD时：与 E重合，
设则，
，
由，得：，
，
，即，
当在AB上时，．
综上，或．
用电量x（千瓦时）
1
2
3
4
…
应交电费y（元）
0.55
1.1
1.65
2.2
…