初中数学一轮复习【讲通练透】专题22 四边形（讲通） （全国通用）

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从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题22 四边形
1.掌握平行四边形、菱形、矩形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.
2.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.
3.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.
一、四边形的相关概念
1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；
(2)推论：多边形的外角和是360°；
(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；
(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.
4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°； (2)推论：四边形的外角和是360°.
例1.一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C.
【解析】∵一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为360°，
∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7，
则这个多边形的边数是7，故选C．
二、平行四边形的定义、性质与判定
1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2．性质：
(1)平行四边形的对边平行且相等；
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．
3．判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．两条平行线间的距离：
定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．
性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．
5．平行四边形的面积：
1.平行四边形的面积=底×高；
2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
例2．如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．
【答案】证明：连接ME，FN，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，
∴四边形EMFN为平行四边形，
∴EN∥MF．
三、矩形的定义、性质与判定
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：
① 边的性质：对边平行且相等．
② 角的性质：四个角都是直角．
③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．
④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．
点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．
3．矩形的判定
判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．
判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．
四、菱形的定义、性质与判定
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质
①菱形的四条边都相等;
②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
注意：菱形也具有平行四边形的一切性质.
3.菱形的判定
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②四条边都相等的四边形是菱形;
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
4.菱形的面积
①对角线乘积的一半(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);
②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a²·sinx
5.菱形的周长
菱形周长=边长×4用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，
则C=4a
例3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.
(1)判断四边形EHFG的形状；
(2)在什么情况下，四边形EHFG为菱形？
【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，AB=CD，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF，
∴四边形FGEH是平行四边形；
（2）当平行四边形ABCD是矩形时，平行四边形EHFG是菱形．
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∵E是AB中点，F是CD中点，
∴BE=CF，
在△EBC与△FCB中，
∵，
∴△EBC≌△FCB，
∴CE=BF，
∠ECB=∠FBC，
BH=CH，EH=FH，平行四边形EHFG是菱形.
五、梯形
1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.
(2)不平行的两边叫做梯形的腰.
(3)梯形的四个角都叫做底角.
2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.
3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
4.等腰梯形的性质：
(1)等腰梯形的两腰相等； (2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等.
5.等腰梯形的判定方法：
(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；
(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.
6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
7.面积公式： S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).
六、平面图形
1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.
2.平面图形镶嵌的条件：
(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.
(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：
①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；
②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.
1．（2021·泉州市东海中学）在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，得到中点四边形EFGH．当AC＝BD时，则四边形EFGH是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】C
【分析】
根据三角形中位线定理，可判断四边形四边相等，根据菱形的判定可得答案．
【详解】
如图，
，
当AC＝BD时，，
则四边形EFGH是菱形．
故选C．
2．（2021·黑龙江九年级期末）如图，矩形中把矩形沿直线折叠，点落在点处，交于点．若，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】
根据平行线的性质和翻转变换的性质得到，，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：，
，又，
，
，
，
，，
，
，
故选：C．
3．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．四条边相等的四边形是矩形
D．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可．
【详解】
解：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，A是假命题；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，B是假命题；
对角线相等且平分的四边形是矩形，C是假命题；
对角线互相平分的四边形是平行四边形是真命题，
故选：D．
4．（2021·深圳市罗湖区翠园初级中学）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当AC垂直平分BD时，它是正方形
【答案】D
【分析】
根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【详解】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项正确，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项正确，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项正确，不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC垂直平分BD，
∴四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
5．（2021·沙坪坝·重庆八中九年级月考）如图，四边形是菱形，点E，F分别在，边上，添加以下条件不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由四边形是菱形可得，，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
【详解】
解：由四边形是菱形可得：，，
A、添加，可用证明，故不符合题意；
B、添加可转化为，可用证明，故不符合题意；
C、添加，不能证明，故符合题意；
D、添加，可用证明，故不符合题意；
故选：C．
6．（2021·重庆实验外国语学校九年级开学考试）下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形两组对边分别平行
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质逐一判断即可．
【详解】
A. 平行四边形两组对边分别平行,故该选项正确，不符合题意；
B. 平行四边形的对角线互相平分,故该选项正确，不符合题意；
C. 平行四边形的对角相等，邻角互补,故该选项不正确，符合题意；
D. 平行四边形的两组对边分别平行且相等,故该选项正确，不符合题意．
故选C．
7．（2020·浙江杭州市·九年级）若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段．这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别________．
【答案】12，18
【分析】
首先根据梯形的中位线定理，得到梯形的上、下底的和；再根据三角形的中位线定理得到梯形的上、下底的比，最后分别求得梯形的上、下底的长．
【详解】
解：∵梯形的中位线长为15，
∴梯形的上底与下底的和为30．
又∵一条对角线把中位线分成两条线段比是3：2，
∴根据三角形的中位线定理，得下底：上底=3：2．
∴梯形的上、下底分别是12，18．
故答案为：12，18．
8．（2021·沈阳市第四十三中学九年级月考）如图，在△ABC中，∠A＝50°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB、CD为边作平行四边形BCDE，则∠E的度数为_____．
【答案】65°
【分析】
根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．
【详解】
解：在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，
∴∠C=（180°-50°）÷2=65°，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠E=∠C=65°．
故答案为：65°．
9．（2021·济南市章丘区实验中学九年级月考）已知：如图，平行四边形中，，交于点，于点，于点．
求证：．
【答案】见解析．
【分析】
根据平行四边形的性质与垂线定义证明即可．
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵于点，于点，
∴，
在和中，
∵，
∴≌，
∴．
10．（2019·宁波市慈湖中学九年级）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，若点M为线段AD上任意一点(M与A、D不重合)．问：当点M在什么位置时，MB＝MC，请说明理由．
【答案】当点M是AD的中点时，MB＝MC，理由见解析.
【解析】
【分析】
先根据已知条件在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，知道这是一个等腰梯形，然后作出辅助线，通过证明三角形全等，可知MB＝MC，得出点M在AD的中点上．
【详解】
当点M是AD的中点时，MB＝MC．
理由如下：如图，连接MB、MC，
∵在梯形ABCD中，AB＝DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，从而∠A＝∠D．
∵点M是AD的中点，
∴MA＝MD．
又∵AB＝DC，
∴△MAB≌△MDC．
∴MB＝MC．