初中数学一轮复习【讲通练透】专题26 一次函数与反比例函数（讲通） （全国通用）

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从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题26 一次函数与反比例函数
⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；
2.会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；
3.理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.
一、平面直角坐标系
1.平面直角坐标系
平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.
2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点
点P(x,y)在第一象限；
点P(x,y)在第二象限；
点P(x,y)在第三象限；
点P(x,y)在第四象限；
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数；
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数；
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）.
3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等；
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数.
4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.
5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数；
点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数；
点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数.
6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；
（3）点P(x,y)到原点的距离等于.
例1． 已知点A(a，-5)，B(8，b)，根据下列要求确定a，b的值.
(1)A，B两点关于y轴对称；
(2)A，B两点关于原点对称；
(3)AB∥x轴；
(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上．
【答案】
(1)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于y轴对称，则a＝-8且b＝-5．
(2)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于原点对称，则a＝-8且b＝5．
(3)AB∥x轴，则a≠8且b＝-5．
(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上，则a＝-5且b＝8．
二、函数
1.函数的概念
设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.
2.自变量的取值范围
对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.
3．表示方法
⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.
4．画函数图象
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
例2.某地夏天旱情严重．该地10号、15号的人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为( )
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】
解析：设图中直线解析式为y＝kx+b，
将(10，18)，(15，15)代入解析式得
解得 ∴．
由题意知，，解得，∴送水号数应为24．
答案：B
三、几种基本函数（定义→图象→性质）
1.正比例函数及其图象性质
（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．
（2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象：
过（0，0），（1，K）两点的一条直线．
（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质
①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 .
2.一次函数及其图象性质
（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．
（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象
（3）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象的性质
一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和点的一条直线．
①当k>0时，y随x的增大而增大；
②当k<0时，y随x的增大而减小．
3.反比例函数及其图象性质
（1）定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.
三种形式：(k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0).
（2）反比例函数解析式的特征：
①等号左边是函数，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1；
②比例系数；
③自变量的取值为一切非零实数；
④函数的取值是一切非零实数.
（3）反比例函数的图象
①图象的画法：描点法
列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）；
描点（由小到大的顺序）；
连线（从左到右光滑的曲线）.
②反比例函数的图象是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.
③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是和）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.
④反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意点引轴、轴的垂线，所得矩形面积为.
（4）反比例函数性质：
（5）反比例函数解析式的确定：
利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出）
（6）“反比例关系”与“反比例函数”：
成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系.
例3.已知正比例函数（为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象有一个交点的横坐标是2．
（1）求两个函数图象的交点坐标；
（2）若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较的大小．
【答案】
（1）由题意，得，
解得．
所以正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为．
解，得．由，得．
所以两函数图象交点的坐标为（2，2），．
（2）因为反比例函数的图象分别在第一、三象限内，
的值随值的增大而减小，
所以当时，．
当时，．
当时，因为，，所以．
1．（2021·西城·北京八中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ）
A．34B．25C．16D．20
【答案】D
【分析】
作轴于．只要证明，推出，，由，，推出，，推出，再利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】
解：作轴于．
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，
，
正方形的面积，
故选：D．
2．（2020·江西九年级期末）在平面直角坐标系中，若点E关于M的对称点为F，则点M是线段EF的中点．如图，已知A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，P3关于A的对称点为P4，…，则点P2019的坐标是（ ）
A．（4，0）B．（﹣2，2）C．（2，﹣4）D．（﹣4，2）
【答案】A
【分析】
根据题意可得前6个点的坐标，即可发现规律，6个点一组为一个循环，根据2019÷6＝336…3，进而可得点P2019的坐标．
【详解】
∵A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），
点P（0，2）关于点A的对称点P1，
∴1＝，﹣1＝，
解得x＝2，y＝﹣4，
所以点P1 （2，﹣4）；
同理：P1关于点B的对称点P2，
所以P2 （﹣4，2）
P2关于点C的对称点P3，
所以P3 （4，0），
P4（﹣2，﹣2），
P5（0，0），
P6 （0，2），
…，
发现规律：
每6个点一组为一个循环，
∴2019÷6＝336…3，
所以P2019与P3重合，
所以点P2019的坐标是（4，0）．
故选：A．
3.（2021·重庆市育才中学）如图，已知平面直角坐标系中的，点，，坐标系内存在直线：将分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【分析】
连接AC、BD，交于点E，然后由题意易得点E为AC的中点，然后根据中点坐标公式可得，进而可得直线必过点E，则有，然后求出直线与x、y轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式可求解．
【详解】
解：连接AC、BD，交于点E，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴点E为AC的中点，
∵点，，
∴由中点坐标公式可得，即，
∵直线：将分成面积相等的两部分，
∴直线必过点E，
把点代入直线解析式得：2k+b=2，
解得：b=2-2k，
∴，
∴当x=0时，则y=2k-2，当y=0时，则有，
∴直线与x、y轴的交点坐标分别为，
∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
∴，
解得：，
故选C．
4．（2021·苏州高新区实验初级中学九年级月考）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】
根据得出，然后分和分别对应图像求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
当时：，
由图得：，
当时，，
有图得：(舍去)，
∴，
故选：A．
5．（2021·常熟市第一中学九年级开学考试）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）
A．（，3）B．C．（，）D．
【答案】A
【分析】
分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H，根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是，构造方程求即可．
【详解】
解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H，
∵四边形是平行四边形
，
四边形是矩形
CH=AF
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点
∴ 即反比例函数解析式为
∴设点C坐标为
∵
∴
∴
∴
∴
∴，点B坐标为
∵平行四边形的面积是
∴
解得（舍去）
∴点B坐标为
故应选：A
6．（2021·广西南宁市·南宁十四中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为，若将向下平移个单位长度，，两点同时落在反比例函数图象上，则的值为______．
【答案】
【分析】
作轴，交BC于点F，轴于点D，由等腰三角形三线合一性质解得，由勾股定理解得AF=3，继而求出B与C点坐标，再表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．
【详解】
解：如图，作轴，交BC于点F，轴于点D，
∵，，点A，
∴，
将ΔABC向下平移m个单位长度，
∴A，，
∵A,C两点同时落在反比例函数图象上，
∴，
，
故答案为：．
7．（2021·西城·北京八中）若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则函数的图象位于第___________象限．
【答案】二、四
【分析】
根据一次函数的性质得到，，则，然后根据反比例函数的性质进行判断．
【详解】
解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，，
∴，
反比例函数的图象位于第二、四象限内．
故答案为：二、四．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质：的图象为双曲线，当，图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小；当，图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大．也考查了一次函数的性质．
8．（2021·河南九年级期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式和的值；
（2）根据图象直接写出不等式的的取值范围；
（3）求的面积．
【答案】（1），2；（2）或；（3）8
【分析】
（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值；
（2）根据一次函数和反比例函数的图象即可直接求解；
（3）利用待定系数法求得一次函数的解析式，设直线与轴相交于点，然后根据即可求解．
【详解】
解：（1）在的图象上，
，
反比例函数的解析式是．
又∵在的图象上，
；
（2）由图像可知：当或时，；
（3），在函数的图象上，
，
解得：，
则一次函数的解析式是，
设直线与轴相交于点，则的坐标是．
∴
．
9．（2021·辽宁九年级期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中A（﹣2，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）或．
【分析】
（1）将A（﹣2，1）分别代入一次函数、反比例函数的解析式中，即可解题；
（2）令y=0，解得一次函数图象与x轴交点C的坐标，联立，即解得，再根据结合三角形面积公式解题；
（3）由图象解题，据一次函数图象位于反比例函数图象的上方解题．
【详解】
解：（1）将A（﹣2，1）代入一次函数中得，
将A（﹣2，1）代入反比例函数的解析式中得，
；
（2）连接AO，BO，
令y=0，解得
，
联立即
；
（3）由图象可知，要使一次函数值大于反比例函数值，即一次函数图象位于反比例函数图象的上方，
一次函数与反比例函数图象交于，
当一次函数值大于反比例函数值时，
即或
． 反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图像

性质
①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k>0时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限.在每个象限内，y
随x 的增大而减小.
①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k<0时，函数图像的两个分支分别
在第二、四象限.在每个象限内，y
随x 的增大而增大.