初中数学一轮复习【讲通练透】专题11 一元二次方程及其应用（练透） （全国通用）

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从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题11 一元二次方程及其应用
一、单选题
1．（2021·全国九年级课时练习）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】
解：A、，a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；
B、，整理得：-2x+6=0，是一元一次方程，故此选项错误；
C、，是分式方程，故此选项错误；
D、，是一元二次方程，故此选项正确；
故选：D．
2．（2021·全国九年级课时练习）下列各数是方程的根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
分别将，，，代入方程中，如果方程左右两边相等，那么此时的值即为方程的解．
【详解】
解：将，，，代入方程中，
可得当时，左边=右边，
故是方程的根，
故选B．
3．（2021·全国九年级课时练习）已知方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】
若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【详解】
解：∵方程有两个实数根，
∴且，
解得且，
故选D．
4．（2021·全国九年级课时练习）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：∵，
∴一元二次方程有两个相等的实数根．
故选C．
5．（2021·全国九年级课时练习）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为B．化为
C．化为D．化为
【答案】B
【分析】
根据配方的步骤计算即可解题．
【详解】
故B错误．且ACD选项均正确，
故选：B
6．（2021·珠海市九洲中学九年级一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．且
C．且D．或
【答案】C
【分析】
由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式△以及，由此即可求得的范围．
【详解】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
解得：，
方程是一元二次方程，
，
的范围是：且．
故选：．
7．（2021·全国九年级课时练习）已知一个三角形的一边长为5，其他两边的长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．9B．11C．11或13D．9或11
【答案】C
【分析】
首先解一元二次方程，再根据三角形三边关系的性质，分三种情况分析，通过计算即可得到答案．
【详解】
∵，
∴，
当三角形的三边长分别为2，4，5时，其周长为11；
当三角形的三边长分别为4，4，5时，其周长为13；
当三角形的三边长分别为2，2，5时，无法构成三角形；
∴这个三角形的周长是11或13．
故选：C．
8．（2021·全国九年级课时练习）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
设房价定为x元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得．
【详解】
解：设房价定为x元，
根据题意，得
故选A．
9．（2021·全国九年级课时练习）如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽x的值为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】A
【分析】
剩余部分可合成长为（30-x）m，宽为（20-x）m的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为551m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
解：根据题意，得，
整理，得，
解得，
∵当时，，
∴舍去，
∴小路宽x的值为1．
故选A．
10．（2021·全国九年级课时练习）某市2012年有人口100万，2013年人口增长率为，“单独二胎”政策开放后，2014年人口增长率约为，若2013年、2014年人口年平均增长率为x，则（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】
根据题意可得等量关系为：2012年的人口数×（1+增长率）2=2014年的人口数，把相关数值代入即可列出方程．
【详解】
依题意列方程为，
整理得，
∵，
∴．
故选：C
二、填空题
11．（2021·沭阳县怀文中学九年级月考）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年至2020年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为________________．
【答案】
【分析】
根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×（1+增长率）2=2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【详解】
解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2=7500，
故答案为：5000（1+x）2=7500．
12．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）已知关于x的方程x2﹣x﹣＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______．
【答案】k≥0
【分析】
根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可．
【详解】
解：∵关于x的方程x2﹣x﹣＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣）2﹣4×1×（﹣）＞0且k≥0，
+1＞0且k≥0，
解得k≥0，
故答案为：k≥0．
13．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）九年级（1）班部分学生去秋游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去秋游的人数是____人．
【答案】9
【分析】
设同去春游的人数是x人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设同去春游的人数是x人，
依题意，得：x（x﹣1）＝36，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（舍去）．
故答案是：9．
14．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2＋3x＋m2﹣4＝0有一个解是0，则m的值为_____．
【答案】﹣2
【分析】
把x＝0代入方程（m﹣2）x2＋3x＋m2﹣4＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【详解】
解：把x＝0代入方程（m﹣2）x2＋3x＋m2﹣4＝0中，得
m2﹣4＝0，
解得m＝﹣2或2，
当m＝2时，原方程二次项系数m﹣2＝0，舍去，
故答案是：﹣2．
15．（2021·全国九年级课时练习）认真观察下列方程，指出使用何种方法求解比较适当．
（1），应选用________法；
（2），应选用_______法；
（3），应选用__________法；
（4），应选用__________法．
【答案】直接开平方 配方 因式分解 公式
【分析】
（1）将方程的二次项系数化为1得到，用直接开平方法求解；
（2）根据配方法在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边得到完全平方式，右边为常数，选用配方法；
（3）先移项，然后提出公因式，用因式分解法；
（4）二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，选公式法．
【详解】
解：（1）可直接开平方，故选择直接开平方法；
（2）的两边都加上64，易配方得，故选配方法；
（3）方程，移项得，直接提公因式求解即可，故选因式分解法；
（4），二次项系数不为1，不易用配方法和因式分解法，故应选用公式法求解．
故答案为：直接开平方；配方；因式分解；公式
三、解答题
16．（2021·福建省福州杨桥中学九年级开学考试）解方程：．
【答案】
【分析】
根据公式法解一元二次方程即可．
【详解】
解：
．
17．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）解方程：
（1）3x2﹣4x＝1；
（2）（3y﹣2）2＝（2y﹣3）2．
【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）y1＝1，y2＝﹣1
【分析】
（1）由题意先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程；
（2）根据题意先移项得到（3y﹣2）2﹣（2y﹣3）2＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（1）3x2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）（3y﹣2）2﹣（2y﹣3）2＝0，
（3y﹣2＋2y﹣3）（3y﹣2﹣2y＋3）＝0，
3y﹣2＋2y﹣3＝0或3y﹣2﹣2y＋3＝0，
解得y1＝1，y2＝﹣1．
18．（2021·贵阳市第十九中学九年级月考）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．
（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？
【答案】（1）2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．（2）预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩．
【分析】
（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据该省2018年及2020年公共充电桩，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据该省2021年公共充电桩数量=该省2020年公共充电桩数量×增长率，即可求出结论．
【详解】
解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．
（2）2.88×20%=0.576（万个）．
答：预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩．
19．（2021·重庆市育才中学九年级开学考试）中秋来临之际，重百超市看准商机，连续两周进行节日大促销活动，该超市从厂家购进，B两种月饼进行销售，每周都用元购进盒种月饼和盒种月饼．重百超市在第一周销售时，每盒种月饼的售价比每盒种月饼的售价的倍少元，且两种月饼在一周之内全部售完，总盈利为元．
（1）求重百超市在第一周销售种月饼每盒多少元？
（2）重百超市在第二周销售时，受到各种因素的影响，每盒种月饼的售价比第一周种月饼的售价每盒增加了，但种月饼的销售盒数比第一周种月饼的销售盒数下降了；每盒种月饼的售价比第一周种月饼的售价每盒下降了，但种月饼的销售盒数与第一周种月饼的销售盒数相同，结果第二周的总销售额为元，求的值．
【答案】（1）重百超市在第一周销售B种月饼每盒50元，则销售A种月饼每盒为90元；（2）m=20
【分析】
（1）设重百超市在第一周销售B种月饼每盒x元，则销售A种月饼每盒为（2x-10）元，然后根据题意可列方程求解；
（2）由（1）及题意可知第二周A种月饼销售价为元，销量为盒，而B种月饼销售额为元，进而根据题意可列方程求解．
【详解】
解：（1）设重百超市在第一周销售B种月饼每盒x元，则销售A种月饼每盒为（2x-10）元，由题意得：
，
解得：，
∴销售A种月饼每盒为2×50-10=90（元）；
答：重百超市在第一周销售B种月饼每盒50元，则销售A种月饼每盒为90元；
（2）由（1）及题意得：
，
化简得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴m=20．
20．（2021·西安高新一中实验中学九年级开学考试）解方程：（1）
（2）
（3）
【答案】（1）原方程无解；（2），；（3），．
【分析】
（1） 方程两边都乘以公分母得，解方程得检验分母为零即可；
（2）因式分解得分别解每一个一元一次方程即可；
（3）先因式分解在分别解每一个一元一次方程即可．
【详解】
解：（1） ，
方程两边都乘以得，
整理得，
解得，
当时，，
∴时原方程的增根，
∴原方程无解；
（2），
因式分解得，
当，解得，
当，解得；
∴方程的解为，；
（3），
，
，
，
当，解得，
当，解得．
∴方程的解为，．
21．（2021·广州市黄埔华南师范大学附属初级中学）已知：关于的方程有两个不相等的实数根，．
（1）求实数的取值范围．
（2）若方程的两个实数根，满足，求出符合条件的的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据根的判别式大于零求解即可；
（2）根据根与系数的关系及根的定义得出关于m的方程求解即可；
【详解】
解：（1）由题意知，即
∴；
（2）由根与系数关系得：，，
∵
∴，
∴，
解得， ，
∵，
∴．
22．（2021·陕西九年级月考）用一块长8dm，宽6dm的矩形薄钢片制作成一个无盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．
（1）若要做成的盒子的底面积为15dm2时，求截去的小正方形的边长；
（2）当这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5：6时，求截去的小正方形的边长．
【答案】（1）dm；（2）1dm．
【分析】
（1）设截去的小正方形的边长为xdm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2x）dm，宽（6﹣2x）dm的长方形，根据做成的盒子的底面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出截去的小正方形的边长；
（2）设截去的小正方形的边长为ydm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2y）dm，宽（6﹣2y）dm的长方形，根据这个无盖的长方体盒子的侧面积与底面积之比为5：6，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出截去的小正方形的边长．
【详解】
解：（1）设截去的小正方形的边长为xdm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2x）dm，宽（6﹣2x）dm的长方形，
依题意得：（8﹣2x）（6﹣2x）＝15，
整理得：4x2﹣28x+33＝0，
解得：x1＝，x2＝，
当x＝时，6﹣2x＝6﹣2×＝3，符合题意，
当x＝时，6﹣2x＝6﹣2×＝﹣5，不合题意，舍去，
答：截去的小正方形的边长为dm．
（2）设截去的小正方形的边长为ydm，则做成的盒子的底面为长（8﹣2y）dm，宽（6﹣2y）dm的长方形，
依题意得：2×[（8﹣2y）y+（6﹣2y）y]：（8﹣2y）（6﹣2y）＝5：6，
整理得：17y2﹣77y+60＝0，
解得：y1＝，y2＝1，
当y＝时，6﹣2y＝6﹣2×＝﹣，不合题意，舍去，
当y＝1时，6﹣2y＝6﹣2×1＝4，符合题意，
答：截去的小正方形的边长为1dm．
23．（2021·宁波市海曙外国语学校九年级开学考试）某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量与销售单价基本满足一次函数关系，并且当销售单价为26元时，每天销售量28台；当销售单价为32元时，每天销售量16台，设台灯的销售单价为x（元），每天的销售量为y（台）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
（3）若该商场每天想获得150元的利润，在保证销售量尽可能大的前提下，应将销售单价定为多少元？
【答案】（1）y=-2x+80；（2）单价定为30元时，每天的利润最大，最大利润是200元；（3）25元
【分析】
（1）设y=kx+b，根据题意，利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可；
（2）根据题意结合销量×每本的利润=w，进而利用二次函数增减性求出答案；
（3）根据题意结合销量×每本的利润=150，进而求出答案．
【详解】
解：（1）设y=kx+b，
由题意，
解得：，
∴y=-2x+80．
（2）设每天的利润为W，
W=（x-20）（-2x+80）
=-2x2+120x-1600
=-2（x-30）2+200，
此时当x=30时，w最大=200，
答：当销售单价定为30元时，每天的利润最大，最大利润是200元．
（3）根据题意得（x-20）（-2x+80）=150，
整理得：x2-60x+875=0，
（x-25）（x-35）=0，
解得：x1=25，x2=35，
∵销售量尽可能大，
∴x=25
答：每本纪念册的销售单价是25元．