苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.3 三角函数的图象和性质导学案

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知识精讲
一、正弦函数图象
1．正弦函数的图象
2．正弦函数图象的画法
（一）几何法：
（1）利用 ① 画出y=sin x，x∈[0,2π]的图象；
（2）将图象向② 平行移动（每次2π个单位长度）．
（二）五点法：
（1）五个关键点： ③ ，（，1）， ④ ，（，－1）， ⑤
（2）画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点，用光滑的曲线连接；
（3）将所得图象⑥ 平行移动（每次2π个单位长度）．
二、余弦函数图象
1．余弦函数的图象
2．余弦函数图象的画法
（1）要得到y=cs x的图象，只需把y=sin x的图象向 ⑦ 单位长度即可，这是由于csx= ⑧ ．
（2）五个关键点： ⑨ ，（，0）， ⑩ ，（，0）， ⑪
（3）用“五点法”：画余弦曲线y=cs x在[0,2π]上的图象时，选取五个关键点，分别为再用光滑的曲线连接．
三、正切函数图象
四、正余弦函数的性质
1.周期函数
对于函数f（x），如果存在一个 ，使得当x取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f（x）就叫做周期函数，
叫做这个函数的周期．
（2）如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
（3）正弦函数y=sin x（x∈R）和余弦函数y=cs x（x∈R）都是周期函数，最小正周期为 ，2kπ（且k≠0）是它们的周期．
2.正弦函数、余弦函数的性质
五、正切函数的性质
六、函数的图象
1．φ对y=sin（x＋φ），x∈R的图象的影响
y=sin（x＋φ）（φ≠0）的图象可以看作是把正弦曲线y=sin x上所有的点向① （当φ>0时）或向② （当φ<0时）平行移动③ 个单位长度而得到．
2．ω（ω>0）对y=sin（ωx＋φ）的图象的影响
函数y=sin（ωx＋φ）的图象，可以看作是把y=sin（x＋φ）的图象上所有点的横坐标 ④ （当ω>1时）或 ⑤ （当0<ω<1时）到原来的⑥ 倍（纵坐标 ⑦ ）而得到．
3．A（A>0）对y=Asin（ωx＋φ）的图象的影响
函数y=Asin（ωx＋φ）的图象，可以看作是把y=sin（ωx＋φ）图象上所有点的纵坐标 ⑧ （当A>1时）或 缩短 （当0七、图象平移伸缩变换
【探究问题】
1．函数、、的周期分别是多少？
2．要作出的图象，需要求哪几个关键点的坐标？
3．要作出的图象，又需要求哪几个关键点的坐标？
4．由上述探究和思考，你能得到和、图象的关系吗？
5．是否可由的图象得到的图象？
【探究提示】
1．、、；
2．分别令等于、、、、可得函数图象上点的坐标：；
3．分别令等于、、、、可得函数图象上点的坐标：；
请在同一个坐标系内作出函数、、的图象．
4．图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象；图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象；
5．可以，把的图象伸长为原来的4倍，得到的图象．
参考答案
一、①正弦线②左、向右③（0，0）④（π，0）⑤（2π，0）⑥向左、向右
二、⑦左移个⑧⑨（0，1）⑩（π，－1） ⑪（2π，1）
三、1. ①非零常数T，②每一个，③f（x＋T）=f（x），④非零常数T，⑤最小的正数，⑥2π
2. ⑦[－1，1] ⑧奇 ⑨偶 ⑩2π ⑪
⑫⑿⒀⒁
⒂⒃ ⒄
五、① ②③奇 ④ ⑤π
⑥
六、①左 ②右 ③ ④缩短 ⑤伸长 ⑥ ⑦不变⑧伸长 ⑨A ⑩[－A，A] ⑪－A
能力拓展
考法01 正弦函数、余弦函数的图象
例 1
1.图中的曲线对应的函数解析式是（ ）
A． B． C．D．
2．的图象与的交点的个数是 ．
【跟踪训练】1．利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
2．作出函数的图象．
3．用五点法画出下列函数的图象：
（1）；
（2）．
考法02 正切函数图象
正切函数的图象
利用正切线画出正切函数的图象，如图所示．
【说明】除利用正切线画函数的图象外，还可以利用类似于“五点法”的“三点两线法”作简图，这里的三点的坐标分别为，两线是直线和，根据这三点和两条直线，便可以得到函数在一个周期上的简图．画出的图象后，再把图象向左、向右平行移动（每次移动个单位长度），就可得到的图象．正切函数的图象叫做正切曲线．
例 2
利用图象求函数的定义域．
【跟踪训练】
画出函数的简图，并根据图象写出其周期和单调区间．
考法03 三角函数的定义域、值域问题
例 3
求函数的定义域．
【名师点评】（1）求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．
（2）求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
【跟踪训练】
求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
【点评】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了．
考法04 正切函数性质
正切函数的性质
1．周期性
由诱导公式可知，，，，因此是正切函数的一个周期．
一般地，函数的最小正周期．
2．奇偶性
正切函数的定义域为，关于原点对称，由于
，因此正切函数是奇函数．
3．单调性和值域
单位圆中的正切线如图所示．
利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：
由上表可知正切函数在和上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为．此外由其变化趋势可知正切函数的值域为（，）或，因此正切函数没有最值．
【深化拓展】
的周期性
函数及的周期是其对应函数，周期的一半，而函数的图
象是把在轴下方的图象翻折到轴上方，但其周期与的周期相等，均为
例4
求函数的定义域．
【跟踪训练】求下列函数的最小正周期：
（1）；
（2）．
【思路分析】利用周期函数的定义来解，对于正切函数，
若，
则为正切函数的周期．
的最小值为最小正周期．
考法05 五点作图法
用五点法画函数的简图，先作变量代换，令，再用方程思想由取0，，，，来确定对应的值，最后根据的值描点、连线，画出函数的图象．
例 5
作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象．
【跟踪训练】已知函数．
（1）试用“五点法”画出它的图象；
（2）求它的振幅、周期和初相．
【技巧点拨】利用五点法作出函数在一个周期内的图象之后，只需把函数图象向左右两方伸展出一部分即可．如果要作出函数在指定区间内的图象，则要注意函数图象端点的处理．
考法06 图象的变换
例 6
如何由函数的图象得到函数的图象？
【点评】（1）本题用了由函数，的图象变换到函数，的图象的两种方法．第一种方法是先进行相位变换；第二种方法是先进行周期变换．在先进行周期变换时，要注意下一步的变换平移的长度．
（2）若此问题改为“如何由的图象得到函数的图象”．请同学们自己叙述一下变换过程．
【跟踪训练】
将函数依次进行怎样的变换可得到的图象？
【思路分析】先相位变换，再周期变换，再振幅变换，最后平移即可．
考法07 根据图象确定函数的解析式
例 7
已知函数（其中，，）一个周期的图象如图所示，求函数的解析式．
【解题技巧】求的值是本类问题的难点，正确选择恰当的点构造相应的方程是解决问题的关键．
【跟踪训练】
若函数（其中，，）在其一个周期内的图象上有一个最高点和一个最低点，求这个函数的解析式．
考法08 函数性质的应用
例8
已知函数，（其中，，）的周期为，且图象上的一个最低点为．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最值．
【跟踪训练】已知函数（，，），且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点．
（1）求；
（2）计算…+．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值不可能是（ ）
A．B．C．1D．
2．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象可以由函数向左平移个单位得到
C．的图象关于直线对称
D．的单调递增区间为
3．函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）
A．(0，0)B．(，0)
C．(，0)D．以上选项都不对
4．要得到函数的图象，可以将函数的图象上各点（ ）
A．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位长度
B．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位长度
C．纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位长度
5．点是函数（，）的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ）
A．的最小正周期是
B．的值为2
C．的初相为
D．在上单调递增
6．函数的周期､振幅､初相分别是（ ）
A．，2，B．，，
C．，2，D．，2，
7．若要得到一个关于原点对称的函数图像，可以将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
8．函数在区间内单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题组B 能力提升练
1．为得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
D．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
2．设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
3．分别对函数的图象进行如下变换：
①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标变为原来倍，得到的图象；
②先将其上各点的横坐标变为原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到的图象，
以下结论正确的是（ ）
A．
B．为图象的一个对称中心
C．直线为函数图象的一条对称轴
D．的图象向右平移个单位长度可得的图象
4．写出一个值域为的周期函数______.（不能用分段函数形式）
5．若函数的图象与直线y＝a有交点，则实数a的取值范围是 _______.
6．已知函数.
（1）用“五点法”作出在上的简图.
（2）由图象写出在上的单调区间.
7．已知函数图象经过点，，且在区间上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的值域．
8．如图是函数（，，）的部分图象．
（1）求函数的表达式；
（2）若函数满足方程（），求在内所有实数根之和．
题组C 培优拔尖练
1．已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是_______
2．函数()的值域有6个实数组成，则非零整数的值是_________.
3．函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
① ；
② 是函数的周期；
③ 函数在区间上单调递增；
④ 函数所有零点之和为.
其中，正确结论的序号是___________.
4．已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴.
（1）求函数的解析式
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与n的值.
5．已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，______；
（1）①的一条对称轴且；
②的一个对称中心，且在上单调递减；
③向左平移个单位得到的图象关于轴对称且
从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；
（2）在（1）的情况下，令，，若存在使得成立，求实数的取值范围.
6．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式.
（2）求的最大值.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（4）对于第（3）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.
课程标准
重难点
理解正弦函数、余弦函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系．通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象．
理解周期函数与最小正周期的意义，会求三角函数的最小正周期．
理解正弦函数、余弦函数奇偶性、单调性、最大值与最小值的概念．
会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值．
函数
y=sin x
y=cs x
定义域
R
值域
①
图象
奇偶性
② 函数
③ 函数
周期性
最小正周期：T=④
单调性
在⑤ （k∈Z）上递增；
在⑥ （k∈Z）上递减
在⑦ （k∈Z）上递增；
在⑧ （k∈Z）上递减
最值
当x=⑨ 时，ymin=－1；
当x=⑩ 时，ymax=1
当x=⑪ 时，ymin=－1；
当x=⑫ 时，ymax=1
对称轴
x=＋kπ，k∈Z
x=kπ，k∈Z
对称
中心
（kπ，0），k∈Z
（＋kπ，0），k∈Z
定义域
①
值域
②
奇偶性
③ 函数
单调性
在④ 上单调递增
周期性
最小正周期为T＝⑤
对称性
对称中心⑥
角
→0→
→→
正切线
→0→
→0→
增函数
增函数