苏教版 (2019)必修 第一册8.1 二分法与求方程近似解学案

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知识精讲
一、函数的零点与方程的解
1．函数的零点
对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 ⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有 ．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有 .那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
【想一想】1．函数的零点是点吗？
2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
3．函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0?
eq \a\vs4\al([名师点津])
1．一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立，如函数f(x)＝，易知f(－1)·f(1)＝－1×1<0，但显然f(x)＝在(－1,1)内没有零点．
2．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解c.
3．零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．
4．零点存在定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0.
5．如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
二、用二分法求方程近似解
1．二分法的概念
2．二分法求函数零点近似值的步骤
[想一想]
是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
参考答案
一、1. f(x)＝0 2.零点 公共点 3.连续不断 f(a)·f(b)<0 f(c)＝0
【想一想】1. 不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．
2. 只能判断有无零点，不能判断零点的个数．
3. 不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.
二、1.连续不断 f(a)·f(b)<0 一分为二 逼近零点
【想一想】不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
能力拓展
考法01 求函数的零点
求函数y＝f(x)的零点的方法
(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点．
(2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.
例 1
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－lg3x.
【跟踪训练】1．函数f(x)＝的所有零点构成的集合为( )
A．{1} B．{－1}
C．{－1,1}D．{－1,0,1}
2．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则mn＝________.
考法02 函数零点所在的区间
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
例 2
(链接教材P144T2)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
【跟踪训练】
1．函数f(x)＝ln x－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2)B．(2,3)
C．(3,4)D．(e，＋∞)
2．函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3)B．(1,2)
C．(0,3)D．(0,2)
考法03 判断函数零点的个数
判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法
(1)解方程法：方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数．
(2)定理法：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断．
(3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．
例 3
(1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1D．0
(2)判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
【跟踪训练】
1．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．
2．已知0考法04 二分法概念的理解
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
例4
(链接教材P155T1)下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是( )
【跟踪训练】1．在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4] B．[－2,1]
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
2．用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结果计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001D．|a－b|＝0.001
考法05 用二分法求方程近似解
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
例5
(链接教材P146例2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
[母题探究]
(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？
【跟踪训练】用二分法求方程x2－2x＝1的一个正实数近似解．(精确度0.1)
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
3．若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．（2，＋∞）D．（0，2）
4．函数的零点一定位于区间（ ）
A．B．C．D．
5．函数，则函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
7．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
8．根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
题组B 能力提升练
1．函数满足以下条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在上不是单调函数；④恰有2个零点.则函数的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】显然题设选项的四个函数均为偶函数，但的定义域为，所以选项B错误；
函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，但有3个零点，选项A错误；
函数的定义域是，当时，的图象对称轴为，其图象是开口向下的抛物线，故在，单调递增，在，单调递减，由图得恰有2个零点，选项C正确；
函数的定义域是，在，单调递减，在，单调递增，且有2个零点，选项D正确.故选：CD.
2．定义在上的函数满足，且时，，时，．令，，若函数的零点有个，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数则函数的所有零点之和为___________.
5．若函数有唯一零点，则实数的值为__________.
6．函数的零点，则a=___________.
7．已知函数．
（1）当时，求函数在区间上的取值范围；
（2）用表示m，n中的最小值，设函数，讨论函数零点的个数．
8．已知，函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，对于，使得恰有四个零点，求的取值范围．
题组C 培优拔尖练
1．已知函数，方程有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若函数有6个不同零点，则实数的可能取值是（ ）
A．0B．C．D．
4．已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则的取值范围是__________.
5．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是___________.
6．已知函数
（Ⅰ）若，求在上的最大值；
（Ⅱ）已知函数，若存在实数，使得函数有三个零点，求实数m的取值范围．
课程标准
重难点
理解用二分法求方程的近似解的操作流程；
掌握二分法的概念应用；
掌握用二分法求函数零点的近似解；
理解并掌握用二分法求方程的近似解．
1．了解函数零点与方程的关系
2．能够使用二分法求方程近似解
3. 结合具体连续函数与其图象的特点，了解函数零点存在定理.
条件
(1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上 ．
(2)在区间端点的函数值满足
方法
不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步 ，进而得到零点近似值
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75)
|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
2
3
4
5
6