第19讲 7.5 正态分布 -（人教A版选择性必修三）（学生及教师版）

7.5 正态分布知识点1 正态曲线与正态分布1．连续型随机变量除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.2．正态的曲线的定义我们称f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．3．正态分布的定义若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．注：1、正态曲线f(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)，x∈R中的参数μ，σ有何意义？μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态密度函数由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R.2、若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1.3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.【即学即练1】已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝ ，方差σ2＝ .【解析】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是eq \f(1,2\r(π))，所以μ＝20，eq \f(1,\r(2π)·σ)＝eq \f(1,2\r(π))，解得σ＝eq \r(2)，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝(eq \r(2))2＝2.【即学即练2】【多选】一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　)A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙总体的平均数不相同【解析】由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选BCD【即学即练3】在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？【解析】∵成绩服从正态分布N(80,52)，∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.∴成绩在[75,85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80,85]内的同学占全班同学的34.135%.设该班有x名同学，则x×34.135%＝17，解得x≈50.∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在[70,90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.即有50×2.275%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人．知识点3　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．【即学即练4】已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　)(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.45%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【解析】P(3