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【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：6.2.3&6.2.4 组合与组合数 讲义
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6.2.3 组合~6.2.4组合数
课程标准
课标解读
1.了解组合、组合数的意义，掌握常见的组合处理方法，会用组合的相关方法解决简单的组合问题.熟练运用组合数的相关公式及性质解决与组合有关的问题.
2.在实际问题中能区分排列与组合的关系，准确选择恰当的方法解决排列组合的相关问题.
通过本节课的学习，要求在掌握组合、组合数的意义基础上，能解决简单的组合问题.并能解决简单的排列组合综合问题.
考点一 组合概念的理解
考点二 组合公式的应用
（一）化简与求值
（二）与组合数有关的方程或不等式
（三）与组合数有关的证明
考点三 简单的组合问题
（一）枚举法在组合问题中的应用
（二）公式法在组合问题中的应用
考点四 有限制条件的组合问题
考点五 与几何图形有关的组合问题
考点六 排列、组合的综合应用
（一）排列组合的综合
（二）分组、分配问题
（1）整体均分
（2）部分均分
（3）不等分
（4）综合
（三）数字排列问题
知识点1 组合及组合数的定义
1．组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.
2．组合数定义及公式
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．其中C＝＝.
3．组合的性质：
性质1：C＝；
性质2：C＝.
【即学即练1】判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
【解析】(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．
【即学即练2】从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是( )
A．10 B．5 C．4 D．1
【解析】组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．故选B
【即学即练3】从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.
【解析】∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝1∶2.
知识点2 排列与组合的关系
定义
计算公式
性质
联系
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A”表示
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (n，m∈N*，且m≤n)
(1)A＝n！；
(2)0！＝1
C＝
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C”表示
C＝ (n，m∈N*，且m≤n)
(1)C＝C＝1；
(2)C＝C；
(3)C＝C＋C
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
注：组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.
关系
组合数C与排列数A间存在的关系
A＝CA
考点一 组合概念的理解
解题方略：
排列、组合辨析切入点
(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．
(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
【例1-1】判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
【解析】(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．
(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．
(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
变式1：以下四个问题中，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列
B．老师在排座次时将甲､乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位分别去往甲､乙两地
【解析】只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.
故选：C.
考点二 组合公式的应用
解题方略：
(1)组合数公式C＝一般用于计算，而组合数公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明．
(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*.
(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：
①C＝C；②C＝C＋C.
（一） 化简与求值
【例2-1】求值：
(1)3C－2C；
(2)C＋C.
【解析】(1)3C－2C＝3×－2×＝148.
(2)∵∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N*，∴n＝10，
∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝466.
变式1：计算：C＋C＋C等于( )
A．120 B．240 C．60 D．480
【解析】C＋C＋C＝＋＋＝120.故选A
（二） 与组合数有关的方程或不等式
【例2-2】【多选】若C>C，则n的可能取值有( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】由C>C得
⇒⇒又n∈N*，则n＝6,7,8,9.
∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．故选ABCD
变式1：解不等式
【解析】在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即有1≤m≤8，m∈N，
原不等式化为：，即，解得，则m=7或8，
所以不等式的解集为.
变式2：不等式的解为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由，得且，
化简整理得，解得，又因为，所以.
故选：C.
【例2-3】已知－＝，求C＋C.
【解析】∵－＝，
∴－＝，
即－
＝，
∴1－＝，
即m2－23m＋42＝0，
解得m＝2或m＝21.
∵0≤m≤5，m∈N*，∴m＝2，
∴C＋C＝C＋C＝C＝84.
（三）与组合数有关的证明
【例2-4】证明：mC＝nC.
证明 mC＝m·
＝
＝n·＝nC.
变式1：证明：C＝C.
证明 C＝·＝＝C.
变式2：证明：
证明 因，
，
所以成立.
考点三 简单的组合问题
解题方略：
1、组合个数的求解策略
(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕．
(2)公式法：利用排列数A与组合数C之间的关系C＝求解．
2、利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．
（一）枚举法在组合问题中的应用
【例3-1】从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．
【解析】先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种．
（二）公式法在组合问题中的应用
【例3-2】某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为( )
A．4 B．8 C．28 D．64
【解析】由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建C＝＝＝28(条)公路．故选C
:
变式1：从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )
A．60种 B．48种 C．30种 D．10种
答案 C
解析 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有C种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有C种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C·C＝30(种)，故选C.
考点四 有限制条件的组合问题
解题方略：
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
【例4-1】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
【解析】(1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是C＝＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝＝35.
【例4-2】200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有( )
A．C·C种 B．CC＋CC种
C．C－C种 D．C－CC种
【解析】至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共CC种抽法，(2)3件次品，2件正品，共CC种抽法，由分类加法计数原理得，抽法共有CC＋CC种．故选B
变式1：已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案共有（ ）种.
A．30 B．40 C．50 D．80
【答案】C
【详解】喜剧片和动作片至少两人观看的情况有：
喜剧片2人且动作片2人，喜剧片3人且动作片2人，喜剧片2人且动作片3人，
当喜剧片2人且动作片2人时，共有种观看方案，
当喜剧片3人且动作片2人时，共有种观看方案，
当喜剧片2人且动作片3人时，共有种观看方案，
所以一共有种观看方案.
故选：C.
变式2：课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
【解析】(1)C－C＝825(种)．
(2)至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，
所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法．
(3)分两类：
第一类女队长当选，有C＝495(种)选法，
第二类女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法，
所以共有495＋295＝790(种)选法．
考点五 与几何图形有关的组合问题
解题方略：
(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．
(2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养．
【例5-1】如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
【解析】(1)方法一 可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(个)．
其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
方法二 可作三角形C－C＝116(个)，
其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
(2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360(个)．
变式1：空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )
A．205 B．110 C．204 D．200
答案 A
【解析】方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为CC＋CC＋CC＋CC＝205.
方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205.
考点六 排列、组合的综合应用
解题方略：
1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．
具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2. 解答排列、组合问题的角度：
解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．[来源:Z&xx&k.Com]
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
3. 有条件的排列问题大致分四种类型．
(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．
(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．
(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．
(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．
4．分组、分配问题的常见类型
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．这类问题有平均分组无序和平均分组有序两种情形；
(2)对于部分均分，即不平均分组中的部分平均分组问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数，这类问题也有无序和有序两种情形；
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数，这类问题也有不平均分组无序和不平均分组有序两种情形．
5．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
（一）排列组合的综合
【例5-1】某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（ ）
A．18种 B．36种 C．60种 D．108种
【答案】D
【详解】首先选出2名男生和1名女生，共有种情况，
再把选出来的人进行全排列，共有种情况.
所以不同的分配方案有种.
故选：D
【例5-2】从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）
(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
(4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
(5)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
【答案】(1)60(2)480(3)180(4)180(5)210
（1）先安排甲、乙2人位置，再从出甲、乙之外的6人中选2人安排他们的位置，则方法数为
（2）先从甲、乙2人中选一人安排其位置，再从出甲、乙之外的6人中选3人安排他们的位置，则方法数为
（3）先把甲、乙2人看作一个元素，再从除甲、乙之外的6人中选2人和甲和乙这个整体来排序，则方法数为
（4）从除甲、乙之外的6人中选2人排序，再让甲和乙来插空，则方法数为
（5）第一步，从除甲、乙之外的6人中选2人
第二步，分甲跑第四棒和甲不跑第四棒
则方法数为
（二）分组、分配问题
（1）整体均分
【例5-3】教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
【解析】先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故将6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90种不同的分派方法．
变式1：12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有 ( )种。
A. B.3 C. D.
【解析】：属于平均分组且排序型，共有种，选A。
变式2：数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )
A.A种 B．CCC34种 C.43种 D．CCC43种
【解析】 法一：首先将12名同学平均分成四组，有种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有A种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有·A·34＝CCC34(种)。故选B。
法二：根据题意可知，第一组分3名同学有C种分法，第二组分3名同学有C种分法，第三组分3名同学有C种分法，第四组分3名同学有C种分法。第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法。根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有CCCC34种。故选B。
变式3：某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】先将四名学生分成两组，共种情况，再分配到6个班中的两个班，故共种方案.故选：B
【例5-4】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
【解析】：法一：将4名学生均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2(种)分法.
故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种).故选A。
法二：属于平均分组且排序型，共有=12种，选A。
法三：根据题意，分3步进行分析：①甲地选一名老师，有种选法；
②甲地选两个学生，有种选法；③剩下的1名教师，2名学生安排到乙地，有1种选法；故不同的安排方案共有种；故选：．
变式1：某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有
A．72种 B．36种 C．24种 D．18种
【解析】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，
3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，
若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村，
若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村，
则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，
故选B.
【例5-5】6个医疗小组驰援甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
【解析】根据题意，分2步进行：
①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有种分组方法；
②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有种情况，
则有种不同的安排方法.
故选：A.
变式1：把6个学生分配到3个班去，每班2人，其中甲必须分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有__________种.
【解析】根据题意，分3步分析：
①、让甲分到一班，只有1种方法；②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，有C32＝3种安排方法；③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，有C32＝3种安排方法；则不同的分法有1×3×3＝9种；
故答案为：9．
【例5-6】将标号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的放法共有( )
A.12种 B.16种 C.18种 D.36种
【解析】：选C 先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有·A＝6(种)情况，所以不同的放法共有3×6＝18(种).
变式1：有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院．每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种
A．252 B．540 C．792 D．684
【解析】：根据题意，分3步进行分析：
①将6名护士分成3组，每组1﹣3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，
若甲乙单独一组，将其他4人分成2组即可，有C42+C43＝7种分组方法，
若甲乙与其他人一组，有2C42＝12种分组方法，
则护士有12+7＝19种分组方法；
②将3名医生分成3组，每组一人，有1种分组方法；
③将分好三组护士、三组医生全排列，安排到三家医院，有A33A33＝36种情况，
则有19×1×36＝684种不同的安排方法，
故选：D．
变式2：随机将6个人（含甲乙两人）平均分成2组，分别去完成2个不同的任务，则甲乙两人在不同任务组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】6个人平均分成2组，分别去完成2个不同的任务共有可能
甲乙两人在不同任务组共有可能：
根据古典概型的计算公式，.故选：D.
变式3：羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题可知：
分别从3名男生、3名女生中选2人 ：
将选中2名女生平均分为两组：；将选中2名男生平均分为两组：；
则选出的人分成两队混合双打的总数为：
和分在一组的数目为所以所求的概率为
故选：B
（2）部分均分
【例5-7】某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为________．
【解析】分两步完成：第一步，将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个学校，其分法有A种，所以满足条件的分配方案有·A＝36种．
变式1：安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
【解析】：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种).
变式2：冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种.
【解析】：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有·A＝150(种).
变式3：有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】人数进行分组共有三种情况：；；，
若分组为，共有；
若分组为，共有；
若分组为，共有；
不同分派方法种数为.
故选：A.
变式4：某交通岗共有3人，从周一到周日的7天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有( )种．
A．5 040 B．1 260 C．210 D．630
【解析】：把从周一到周日7天分为3组，第一组选2天，第二组选2天，剩下的3天给第三组，这三组再分给三人，共有·A＝630种，故选D。
变式5：据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有种分法；其中伯爵恰有两人的分法有种分法，
伯爵恰有两人的概率.故选：.
【例5-8】4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种(用数字作答)．
【解析】 4个球分成3组，每组至少1个，即分成小球个数分别为2,1,1的3组，有种，然后将3组球放入4个盒中的3个，分配方法有A种，因此，方法共有×A＝144(种)．
变式1：某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )
A.5 400 B.3 000 C.150 D.1 500
【解析】：选D 分两步：
第一步：从5个培训项目中选取3个，共C种情况；
第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共种情况.故选择情况数为CA＝1 500(种).
变式2：将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________。
【解析】先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有
·A·C＝900种。
【例5-9】某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A不分配到甲班的分配方案种数是________．
【解析】 A的分配方案有2种，若A分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C＋)A＝14；若A分配到的班级再分配一名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是CCA＝24；若A分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外两个班级，分配方法种数是CA＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.
答案 100
变式1：甲乙丙丁4名师范院校的大学生分配至3所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，且甲、乙两人不能分配在同一所学校，则不同分配方法数为（ ）
A．30 B．42 C．50 D．58
【解析】第一步，将甲乙丙丁4名同学分成3组，甲、乙两人不在同一组，有5种分法
第二步,将3组同学分配到3所学校，有种分法
所以共有种分配方法
故选：A
变式2：将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
【解析】5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，所以不同路口的执勤人数为，又甲、乙在同一路口，先选一个人和甲乙组成一组有种选法,剩余两人为两组，然后安排到3个路口共有种不同的安排方法，
故选：A
变式3：为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）
A．24 B．36 C．48 D．64
【解析】当按照进行分配时，则有种不同的方案；
当按照进行分配，则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，
故选：B.
变式4：某村把5个小组的志愿者安排到该村的，，，四个路口值守，其中在，，三个路口各安排一个小组，在路口安排2个小组，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．120种 C．150种 D．240种
【解析】先在5个小组中任选2个，安排到路口，有种安排方法；
将剩下的3个小组安排到，，三个路口，有种安排方法.
由分步计数原理，得共有种不同的安排方法.
故选：A.
变式5：中央提出脱贫攻坚到2020年要实现的两个确保目标：确保农村贫困人口实现脱贫、确保贫困县全部脱贫摘帽.某企业为响应党中央号召，计划将3个不同的项目投资到4个候选贫困县中，每个项目只能投资到一个候选贫困县，且在同一个贫困县投资的项目不超过2个，则该企业不同的投资方案有（ ）
A．16种 B．36种 C．42种 D．60种
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①在一个贫困县两个项目，在另外一个贫困县投资1个项目，剩下两个没有得到投资；
需要将项目分成2个与1个的两组，有3种分法；在4个贫困县当中，选择两个贫困县作为投资对象，有种情况，
此时有种不同的投资方案，
②4个候选贫困县有三个贫困县各获得一个投资的项目，剩下1个没有得到投资
需要在4个贫困县当中，任选3个作为投资对象，有种情况，
则有种方案；
故选：D.
变式6：把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有（ ）
A．90种 B．120种 C．180种 D．240种
【解析】分两步：先从6张电影票中任选2张给甲，乙两人，有种分法；
再分配剩余的4张，而每人最多两张，所以每人各得两张，有种分法，
由分步原理得，共有种分法．
故选：A
变式7：把、、、四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具,且、两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【解析】由题意、两件玩具不能分给同一个人，因此分法为故选：B
变式8：为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【解析】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家
看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，
先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和
其余二个看成三个元素的全排列共有：种；
又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，
所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种，
所以不同的分配方法种数有：
故选：C
变式9：淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科.若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有（ ）（同一半天如果有两科考试不计顺序）
A． B． C． D．
【解析】先考虑将六科分为四组，科目数分别为、、、进行全排，排法种数为.接下来考虑语文、数学、物理三科中有两科放在同一个半天考的排法，可在这三科中选两科放一组，其余四科分为三组，科目数分别为、、，排法种数为.综上所述，共有.
故选：A.
（3）不等分
【例5-10】若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
【解析】将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种分法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种分法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C种分法．
根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种分法．
再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，
故共有60×6＝360种不同的分法．
变式1：从进入决赛的名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种。(用数字作答)
【解析】：属于非平均分组，共有种。
（4）综合
【例5-11】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．
【解析】 (1)无序不均匀分组问题，先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下的3本全选有C种方法，故共有CCC＝60种．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360种．
(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15种．
(4)有序均匀分组问题，在第(3)题基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝CCC＝90种．
(5)无序部分均匀分组问题，共有＝15种．
(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝90种．
(7)直接分配问题．甲选1本有C种方法，乙从余下5本中选1本有C种方法，余下4本留给丙有C种方法，共有CCC＝30种．
（三）数字排列问题
【例5-11】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）.
【解析】当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；
当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，
根据分类计数原理得到共有个．
故答案为：．
变式1：用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．600个 B．540个 C．480个 D．420个
【解析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是个奇数个偶数，或个偶数个奇数，
若为个奇数个偶数，则偶数一定排在个位，从个偶数中选一个排在个位有种，
再在个奇数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；
若为个偶数个奇数，则奇数不排在个位，从个奇数中选一个排在前三位有种，
再在个偶数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；
综上可得一共有个数字；
故选：A
变式2：有四张卡片，正面和背面依次分别印有数字“1，0，2，4”和“3，5，0，7”，一小朋友把这四张卡片排成四位整数，则他能排出的四位整数的个数为_________.
【解析】当四位整数中无0出现时，则必有5和2，其中1和3二选一，4和7二选一，四个数再进行全排列，故共有种选择；
当四位整数中出现一个0时，可能是从5和0种选取的，也可能是从2和0种选择的，有种，0可能的位置在个位，十位或百位，从3个位置选择一个，有种，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，加上另一个非0数，三个数进行全排列，有种，故共有种选择；
当四位整数中出现两个0时，两个0的位置有种选择，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，这两个数再进行全排列，有种，共有=24种，
综上：96+144+24=264种选择
故答案为：264
变式3：从1，3，5，7中任取两个数，从0，2，4，6中任取两个数，组成没有重复数字的四位数．
(1)可以组成多少个四位偶数？
(2)可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？（所有结果均用数值表示）
【解析】（1）当0在末位时，共有个四位偶数，
当末位为2，4，6，且0不在首位时，共有个四位偶数，
则可以组成个四位偶数．
（2）当0在首位时，有种，
则两个奇数数字相邻的四位数共有个．
变式4：从0，1，2，3，4五个数字中任取四个数字组成无重复数字的四位数．
(1)一共可以组成多少个？
(2)其中偶数有多少个？
【解析】（1）从0，1，2，3，4五个数字中任取四个数字组成无重复数字的四位数，
则千位数字除0外有4种选法，百位、十位、个位数字共有种选法．
所以组成的四位数共有（个）；
（2）从0，1，2，3，4五个数字中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中的偶数分两类．
一类：个位为0：有；
二类：个位为2或4：有，
所以组成的四位数中是偶数的共有（个）．
题组A 基础过关练
1、【多选】给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法
C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种
D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积
【解析】对于A，从3名同学中选出2名同学后，分配到两个乡镇涉及顺序问题，是排列问题；
对于B，从7人中选出4人观看不涉及顺序问题，是组合问题；
对于C，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题；
对于D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题.
故选：BCD
2、C＋C的值为( )
A．72 B．36 C．30 D．42
【解析】C＋C＝C＋C＝＋＝15＋21＝36.故选B
3、已知则＝______.
【答案】5
【详解】由可得x＝2x（舍去）或x＋2x＝n，所以，
所以，即，
化简得，
即，解得n＝15（n＝0舍去），所以x＝5,
故答案为:5
4、判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．
(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？
(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？
【解析】(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A＝90.
(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为C＝＝45.
(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为C＝＝45.
(4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为C＝＝120.
(5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为A＝720.
5、把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
A．A种 B．C种
C．CA种 D．30种
【解析】三张票没区别，从10人中选3人，即C.故选B
6、在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为( )
A．4×13手 B．134手
C．A手 D．C手
【解析】本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到C手不同的牌．故选D
7、有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是________．(用数字作答)
【解析】由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有C＝＝＝10(种)不同方法．
8、从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有( )
A．60种 B．36种 C．10种 D．6种
【解析】甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有C＝＝6(种)不同的选法．故选D
9、某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )
A．210种 B．420种 C．56种 D．22种
【解析】由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CC＋CC＝210(种)．故选A
题组B 能力提升练
10、某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)
(1)图中有________个矩形；
(2)从A点走向B点最短的走法有________种．
答案 (1)210 (2)210
【解析】(1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形C·C＝·＝210(个)．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C·C＝·＝210(种)走法．
11、平面内有10个点，其中任意3个点不共线．
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？
(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？
(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？
【解析】(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合数，共有C＝＝＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．
(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列数，共有A＝10×9＝90(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条．
(3)所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C＝＝＝120(个)．
12、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．
【解析】可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C·A＝240(种)选法；②甲、丙同不去，有A＝360(种)选法，所以共有600种不同的选派方案．
13、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
【解析】可以分三类：
第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有CC种选法；
第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有CC种选法；
第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有CC种选法．
根据分类加法计数原理，一共有CC＋CC＋CC＝42(种)不同的选法．
题组C 培优拔尖练
14、某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
问：全部赛程共需比赛多少场？
【解析】(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C＝2×＝30(场)．
(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)．
(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．
15、按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90.
【详解】（1）先从6本书中选1本，有种分配方法；
再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法
剩余的就是2本书，有种分配方法
所以总共有种分配方法．
（2）由（1）可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有
种．
（3）从6本书中选择2本书，有种分配方法；
再从剩余4本书中选择2本书，有种分配方法；
剩余的就是2本书，有种分配方法;
所以有种分配方法．
但是，该过程有重复．假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是．则所有情况为，，，，，．
所以分配方式共有种
（4）由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为
种
（5）从6本书中选4本书的方法有种
从剩余2本书中选1本书有种
因为在最后两本书选择中发生重复了
所以总共有种
（6）由（5）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即
种．
6.2.3 组合~6.2.4组合数
课程标准
课标解读
1.了解组合、组合数的意义，掌握常见的组合处理方法，会用组合的相关方法解决简单的组合问题.熟练运用组合数的相关公式及性质解决与组合有关的问题.
2.在实际问题中能区分排列与组合的关系，准确选择恰当的方法解决排列组合的相关问题.
通过本节课的学习，要求在掌握组合、组合数的意义基础上，能解决简单的组合问题.并能解决简单的排列组合综合问题.
考点一 组合概念的理解
考点二 组合公式的应用
（一）化简与求值
（二）与组合数有关的方程或不等式
（三）与组合数有关的证明
考点三 简单的组合问题
（一）枚举法在组合问题中的应用
（二）公式法在组合问题中的应用
考点四 有限制条件的组合问题
考点五 与几何图形有关的组合问题
考点六 排列、组合的综合应用
（一）排列组合的综合
（二）分组、分配问题
（1）整体均分
（2）部分均分
（3）不等分
（4）综合
（三）数字排列问题
知识点1 组合及组合数的定义
1．组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.
2．组合数定义及公式
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．其中C＝＝.
3．组合的性质：
性质1：C＝；
性质2：C＝.
【即学即练1】判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
【解析】(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．
【即学即练2】从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是( )
A．10 B．5 C．4 D．1
【解析】组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．故选B
【即学即练3】从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.
【解析】∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝1∶2.
知识点2 排列与组合的关系
定义
计算公式
性质
联系
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A”表示
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (n，m∈N*，且m≤n)
(1)A＝n！；
(2)0！＝1
C＝
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C”表示
C＝ (n，m∈N*，且m≤n)
(1)C＝C＝1；
(2)C＝C；
(3)C＝C＋C
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
注：组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.
关系
组合数C与排列数A间存在的关系
A＝CA
考点一 组合概念的理解
解题方略：
排列、组合辨析切入点
(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．
(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
【例1-1】判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
【解析】(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．
(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．
(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
变式1：以下四个问题中，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列
B．老师在排座次时将甲､乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位分别去往甲､乙两地
【解析】只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.
故选：C.
考点二 组合公式的应用
解题方略：
(1)组合数公式C＝一般用于计算，而组合数公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明．
(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*.
(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：
①C＝C；②C＝C＋C.
（一） 化简与求值
【例2-1】求值：
(1)3C－2C；
(2)C＋C.
【解析】(1)3C－2C＝3×－2×＝148.
(2)∵∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N*，∴n＝10，
∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝466.
变式1：计算：C＋C＋C等于( )
A．120 B．240 C．60 D．480
【解析】C＋C＋C＝＋＋＝120.故选A
（二） 与组合数有关的方程或不等式
【例2-2】【多选】若C>C，则n的可能取值有( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】由C>C得
⇒⇒又n∈N*，则n＝6,7,8,9.
∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．故选ABCD
变式1：解不等式
【解析】在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即有1≤m≤8，m∈N，
原不等式化为：，即，解得，则m=7或8，
所以不等式的解集为.
变式2：不等式的解为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由，得且，
化简整理得，解得，又因为，所以.
故选：C.
【例2-3】已知－＝，求C＋C.
【解析】∵－＝，
∴－＝，
即－
＝，
∴1－＝，
即m2－23m＋42＝0，
解得m＝2或m＝21.
∵0≤m≤5，m∈N*，∴m＝2，
∴C＋C＝C＋C＝C＝84.
（三）与组合数有关的证明
【例2-4】证明：mC＝nC.
证明 mC＝m·
＝
＝n·＝nC.
变式1：证明：C＝C.
证明 C＝·＝＝C.
变式2：证明：
证明 因，
，
所以成立.
考点三 简单的组合问题
解题方略：
1、组合个数的求解策略
(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕．
(2)公式法：利用排列数A与组合数C之间的关系C＝求解．
2、利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．
（一）枚举法在组合问题中的应用
【例3-1】从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．
【解析】先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种．
（二）公式法在组合问题中的应用
【例3-2】某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为( )
A．4 B．8 C．28 D．64
【解析】由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建C＝＝＝28(条)公路．故选C
:
变式1：从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )
A．60种 B．48种 C．30种 D．10种
答案 C
解析 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有C种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有C种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C·C＝30(种)，故选C.
考点四 有限制条件的组合问题
解题方略：
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
【例4-1】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
【解析】(1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是C＝＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝＝35.
【例4-2】200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有( )
A．C·C种 B．CC＋CC种
C．C－C种 D．C－CC种
【解析】至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共CC种抽法，(2)3件次品，2件正品，共CC种抽法，由分类加法计数原理得，抽法共有CC＋CC种．故选B
变式1：已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案共有（ ）种.
A．30 B．40 C．50 D．80
【答案】C
【详解】喜剧片和动作片至少两人观看的情况有：
喜剧片2人且动作片2人，喜剧片3人且动作片2人，喜剧片2人且动作片3人，
当喜剧片2人且动作片2人时，共有种观看方案，
当喜剧片3人且动作片2人时，共有种观看方案，
当喜剧片2人且动作片3人时，共有种观看方案，
所以一共有种观看方案.
故选：C.
变式2：课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
【解析】(1)C－C＝825(种)．
(2)至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，
所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法．
(3)分两类：
第一类女队长当选，有C＝495(种)选法，
第二类女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法，
所以共有495＋295＝790(种)选法．
考点五 与几何图形有关的组合问题
解题方略：
(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．
(2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养．
【例5-1】如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
【解析】(1)方法一 可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(个)．
其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
方法二 可作三角形C－C＝116(个)，
其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
(2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360(个)．
变式1：空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )
A．205 B．110 C．204 D．200
答案 A
【解析】方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为CC＋CC＋CC＋CC＝205.
方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205.
考点六 排列、组合的综合应用
解题方略：
1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．
具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2. 解答排列、组合问题的角度：
解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．[来源:Z&xx&k.Com]
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
3. 有条件的排列问题大致分四种类型．
(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．
(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．
(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．
(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．
4．分组、分配问题的常见类型
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．这类问题有平均分组无序和平均分组有序两种情形；
(2)对于部分均分，即不平均分组中的部分平均分组问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数，这类问题也有无序和有序两种情形；
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数，这类问题也有不平均分组无序和不平均分组有序两种情形．
5．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
（一）排列组合的综合
【例5-1】某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（ ）
A．18种 B．36种 C．60种 D．108种
【答案】D
【详解】首先选出2名男生和1名女生，共有种情况，
再把选出来的人进行全排列，共有种情况.
所以不同的分配方案有种.
故选：D
【例5-2】从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）
(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
(4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
(5)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
【答案】(1)60(2)480(3)180(4)180(5)210
（1）先安排甲、乙2人位置，再从出甲、乙之外的6人中选2人安排他们的位置，则方法数为
（2）先从甲、乙2人中选一人安排其位置，再从出甲、乙之外的6人中选3人安排他们的位置，则方法数为
（3）先把甲、乙2人看作一个元素，再从除甲、乙之外的6人中选2人和甲和乙这个整体来排序，则方法数为
（4）从除甲、乙之外的6人中选2人排序，再让甲和乙来插空，则方法数为
（5）第一步，从除甲、乙之外的6人中选2人
第二步，分甲跑第四棒和甲不跑第四棒
则方法数为
（二）分组、分配问题
（1）整体均分
【例5-3】教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
【解析】先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故将6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90种不同的分派方法．
变式1：12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有 ( )种。
A. B.3 C. D.
【解析】：属于平均分组且排序型，共有种，选A。
变式2：数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )
A.A种 B．CCC34种 C.43种 D．CCC43种
【解析】 法一：首先将12名同学平均分成四组，有种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有A种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有·A·34＝CCC34(种)。故选B。
法二：根据题意可知，第一组分3名同学有C种分法，第二组分3名同学有C种分法，第三组分3名同学有C种分法，第四组分3名同学有C种分法。第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法。根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有CCCC34种。故选B。
变式3：某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】先将四名学生分成两组，共种情况，再分配到6个班中的两个班，故共种方案.故选：B
【例5-4】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
【解析】：法一：将4名学生均分为2个小组共有＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2(种)分法.
故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种).故选A。
法二：属于平均分组且排序型，共有=12种，选A。
法三：根据题意，分3步进行分析：①甲地选一名老师，有种选法；
②甲地选两个学生，有种选法；③剩下的1名教师，2名学生安排到乙地，有1种选法；故不同的安排方案共有种；故选：．
变式1：某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有
A．72种 B．36种 C．24种 D．18种
【解析】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，
3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，
若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村，
若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村，
则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，
故选B.
【例5-5】6个医疗小组驰援甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
【解析】根据题意，分2步进行：
①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有种分组方法；
②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有种情况，
则有种不同的安排方法.
故选：A.
变式1：把6个学生分配到3个班去，每班2人，其中甲必须分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有__________种.
【解析】根据题意，分3步分析：
①、让甲分到一班，只有1种方法；②、再从除了甲、乙、丙之外的3个人种任意选出2个人，分到三班，有C32＝3种安排方法；③、最后再把剩下的3个人选出2个人分到二班，剩余的一个分到一班，有C32＝3种安排方法；则不同的分法有1×3×3＝9种；
故答案为：9．
【例5-6】将标号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的放法共有( )
A.12种 B.16种 C.18种 D.36种
【解析】：选C 先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有·A＝6(种)情况，所以不同的放法共有3×6＝18(种).
变式1：有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院．每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种
A．252 B．540 C．792 D．684
【解析】：根据题意，分3步进行分析：
①将6名护士分成3组，每组1﹣3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，
若甲乙单独一组，将其他4人分成2组即可，有C42+C43＝7种分组方法，
若甲乙与其他人一组，有2C42＝12种分组方法，
则护士有12+7＝19种分组方法；
②将3名医生分成3组，每组一人，有1种分组方法；
③将分好三组护士、三组医生全排列，安排到三家医院，有A33A33＝36种情况，
则有19×1×36＝684种不同的安排方法，
故选：D．
变式2：随机将6个人（含甲乙两人）平均分成2组，分别去完成2个不同的任务，则甲乙两人在不同任务组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】6个人平均分成2组，分别去完成2个不同的任务共有可能
甲乙两人在不同任务组共有可能：
根据古典概型的计算公式，.故选：D.
变式3：羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题可知：
分别从3名男生、3名女生中选2人 ：
将选中2名女生平均分为两组：；将选中2名男生平均分为两组：；
则选出的人分成两队混合双打的总数为：
和分在一组的数目为所以所求的概率为
故选：B
（2）部分均分
【例5-7】某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为________．
【解析】分两步完成：第一步，将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个学校，其分法有A种，所以满足条件的分配方案有·A＝36种．
变式1：安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
【解析】：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种).
变式2：冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种.
【解析】：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有·A＝150(种).
变式3：有6名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】人数进行分组共有三种情况：；；，
若分组为，共有；
若分组为，共有；
若分组为，共有；
不同分派方法种数为.
故选：A.
变式4：某交通岗共有3人，从周一到周日的7天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有( )种．
A．5 040 B．1 260 C．210 D．630
【解析】：把从周一到周日7天分为3组，第一组选2天，第二组选2天，剩下的3天给第三组，这三组再分给三人，共有·A＝630种，故选D。
变式5：据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有种分法；其中伯爵恰有两人的分法有种分法，
伯爵恰有两人的概率.故选：.
【例5-8】4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种(用数字作答)．
【解析】 4个球分成3组，每组至少1个，即分成小球个数分别为2,1,1的3组，有种，然后将3组球放入4个盒中的3个，分配方法有A种，因此，方法共有×A＝144(种)．
变式1：某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )
A.5 400 B.3 000 C.150 D.1 500
【解析】：选D 分两步：
第一步：从5个培训项目中选取3个，共C种情况；
第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共种情况.故选择情况数为CA＝1 500(种).
变式2：将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________。
【解析】先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有
·A·C＝900种。
【例5-9】某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A不分配到甲班的分配方案种数是________．
【解析】 A的分配方案有2种，若A分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C＋)A＝14；若A分配到的班级再分配一名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是CCA＝24；若A分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外两个班级，分配方法种数是CA＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.
答案 100
变式1：甲乙丙丁4名师范院校的大学生分配至3所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，且甲、乙两人不能分配在同一所学校，则不同分配方法数为（ ）
A．30 B．42 C．50 D．58
【解析】第一步，将甲乙丙丁4名同学分成3组，甲、乙两人不在同一组，有5种分法
第二步,将3组同学分配到3所学校，有种分法
所以共有种分配方法
故选：A
变式2：将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
【解析】5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，所以不同路口的执勤人数为，又甲、乙在同一路口，先选一个人和甲乙组成一组有种选法,剩余两人为两组，然后安排到3个路口共有种不同的安排方法，
故选：A
变式3：为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）
A．24 B．36 C．48 D．64
【解析】当按照进行分配时，则有种不同的方案；
当按照进行分配，则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，
故选：B.
变式4：某村把5个小组的志愿者安排到该村的，，，四个路口值守，其中在，，三个路口各安排一个小组，在路口安排2个小组，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．120种 C．150种 D．240种
【解析】先在5个小组中任选2个，安排到路口，有种安排方法；
将剩下的3个小组安排到，，三个路口，有种安排方法.
由分步计数原理，得共有种不同的安排方法.
故选：A.
变式5：中央提出脱贫攻坚到2020年要实现的两个确保目标：确保农村贫困人口实现脱贫、确保贫困县全部脱贫摘帽.某企业为响应党中央号召，计划将3个不同的项目投资到4个候选贫困县中，每个项目只能投资到一个候选贫困县，且在同一个贫困县投资的项目不超过2个，则该企业不同的投资方案有（ ）
A．16种 B．36种 C．42种 D．60种
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①在一个贫困县两个项目，在另外一个贫困县投资1个项目，剩下两个没有得到投资；
需要将项目分成2个与1个的两组，有3种分法；在4个贫困县当中，选择两个贫困县作为投资对象，有种情况，
此时有种不同的投资方案，
②4个候选贫困县有三个贫困县各获得一个投资的项目，剩下1个没有得到投资
需要在4个贫困县当中，任选3个作为投资对象，有种情况，
则有种方案；
故选：D.
变式6：把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有（ ）
A．90种 B．120种 C．180种 D．240种
【解析】分两步：先从6张电影票中任选2张给甲，乙两人，有种分法；
再分配剩余的4张，而每人最多两张，所以每人各得两张，有种分法，
由分步原理得，共有种分法．
故选：A
变式7：把、、、四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具,且、两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【解析】由题意、两件玩具不能分给同一个人，因此分法为故选：B
变式8：为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【解析】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家
看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，
先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和
其余二个看成三个元素的全排列共有：种；
又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，
所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有种，
所以不同的分配方法种数有：
故选：C
变式9：淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科.若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有（ ）（同一半天如果有两科考试不计顺序）
A． B． C． D．
【解析】先考虑将六科分为四组，科目数分别为、、、进行全排，排法种数为.接下来考虑语文、数学、物理三科中有两科放在同一个半天考的排法，可在这三科中选两科放一组，其余四科分为三组，科目数分别为、、，排法种数为.综上所述，共有.
故选：A.
（3）不等分
【例5-10】若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
【解析】将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种分法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种分法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C种分法．
根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种分法．
再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，
故共有60×6＝360种不同的分法．
变式1：从进入决赛的名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种。(用数字作答)
【解析】：属于非平均分组，共有种。
（4）综合
【例5-11】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．
【解析】 (1)无序不均匀分组问题，先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下的3本全选有C种方法，故共有CCC＝60种．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360种．
(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15种．
(4)有序均匀分组问题，在第(3)题基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝CCC＝90种．
(5)无序部分均匀分组问题，共有＝15种．
(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题基础上再分配给3个人，共有分配方式·A＝90种．
(7)直接分配问题．甲选1本有C种方法，乙从余下5本中选1本有C种方法，余下4本留给丙有C种方法，共有CCC＝30种．
（三）数字排列问题
【例5-11】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）.
【解析】当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；
当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，
根据分类计数原理得到共有个．
故答案为：．
变式1：用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．600个 B．540个 C．480个 D．420个
【解析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是个奇数个偶数，或个偶数个奇数，
若为个奇数个偶数，则偶数一定排在个位，从个偶数中选一个排在个位有种，
再在个奇数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；
若为个偶数个奇数，则奇数不排在个位，从个奇数中选一个排在前三位有种，
再在个偶数中选出个排在其余三个数位，有种排法，故有个数字；
综上可得一共有个数字；
故选：A
变式2：有四张卡片，正面和背面依次分别印有数字“1，0，2，4”和“3，5，0，7”，一小朋友把这四张卡片排成四位整数，则他能排出的四位整数的个数为_________.
【解析】当四位整数中无0出现时，则必有5和2，其中1和3二选一，4和7二选一，四个数再进行全排列，故共有种选择；
当四位整数中出现一个0时，可能是从5和0种选取的，也可能是从2和0种选择的，有种，0可能的位置在个位，十位或百位，从3个位置选择一个，有种，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，加上另一个非0数，三个数进行全排列，有种，故共有种选择；
当四位整数中出现两个0时，两个0的位置有种选择，另外1和3二选一，4和7二选一，有种，这两个数再进行全排列，有种，共有=24种，
综上：96+144+24=264种选择
故答案为：264
变式3：从1，3，5，7中任取两个数，从0，2，4，6中任取两个数，组成没有重复数字的四位数．
(1)可以组成多少个四位偶数？
(2)可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？（所有结果均用数值表示）
【解析】（1）当0在末位时，共有个四位偶数，
当末位为2，4，6，且0不在首位时，共有个四位偶数，
则可以组成个四位偶数．
（2）当0在首位时，有种，
则两个奇数数字相邻的四位数共有个．
变式4：从0，1，2，3，4五个数字中任取四个数字组成无重复数字的四位数．
(1)一共可以组成多少个？
(2)其中偶数有多少个？
【解析】（1）从0，1，2，3，4五个数字中任取四个数字组成无重复数字的四位数，
则千位数字除0外有4种选法，百位、十位、个位数字共有种选法．
所以组成的四位数共有（个）；
（2）从0，1，2，3，4五个数字中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中的偶数分两类．
一类：个位为0：有；
二类：个位为2或4：有，
所以组成的四位数中是偶数的共有（个）．
题组A 基础过关练
1、【多选】给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法
C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种
D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积
【解析】对于A，从3名同学中选出2名同学后，分配到两个乡镇涉及顺序问题，是排列问题；
对于B，从7人中选出4人观看不涉及顺序问题，是组合问题；
对于C，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题；
对于D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题.
故选：BCD
2、C＋C的值为( )
A．72 B．36 C．30 D．42
【解析】C＋C＝C＋C＝＋＝15＋21＝36.故选B
3、已知则＝______.
【答案】5
【详解】由可得x＝2x（舍去）或x＋2x＝n，所以，
所以，即，
化简得，
即，解得n＝15（n＝0舍去），所以x＝5,
故答案为:5
4、判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．
(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？
(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？
【解析】(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A＝90.
(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为C＝＝45.
(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为C＝＝45.
(4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为C＝＝120.
(5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为A＝720.
5、把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
A．A种 B．C种
C．CA种 D．30种
【解析】三张票没区别，从10人中选3人，即C.故选B
6、在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为( )
A．4×13手 B．134手
C．A手 D．C手
【解析】本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到C手不同的牌．故选D
7、有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，则不同方法的种数是________．(用数字作答)
【解析】由于选出的人无角色差异，所以是组合问题，共有C＝＝＝10(种)不同方法．
8、从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有( )
A．60种 B．36种 C．10种 D．6种
【解析】甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有C＝＝6(种)不同的选法．故选D
9、某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )
A．210种 B．420种 C．56种 D．22种
【解析】由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CC＋CC＝210(种)．故选A
题组B 能力提升练
10、某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)
(1)图中有________个矩形；
(2)从A点走向B点最短的走法有________种．
答案 (1)210 (2)210
【解析】(1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形C·C＝·＝210(个)．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C·C＝·＝210(种)走法．
11、平面内有10个点，其中任意3个点不共线．
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？
(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？
(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？
【解析】(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合数，共有C＝＝＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．
(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列数，共有A＝10×9＝90(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的有向线段共有90条．
(3)所求三角形的个数，即为从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C＝＝＝120(个)．
12、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．
【解析】可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C·A＝240(种)选法；②甲、丙同不去，有A＝360(种)选法，所以共有600种不同的选派方案．
13、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
【解析】可以分三类：
第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有CC种选法；
第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有CC种选法；
第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有CC种选法．
根据分类加法计数原理，一共有CC＋CC＋CC＝42(种)不同的选法．
题组C 培优拔尖练
14、某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
问：全部赛程共需比赛多少场？
【解析】(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C＝2×＝30(场)．
(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)．
(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．
15、按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90.
【详解】（1）先从6本书中选1本，有种分配方法；
再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法
剩余的就是2本书，有种分配方法
所以总共有种分配方法．
（2）由（1）可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有
种．
（3）从6本书中选择2本书，有种分配方法；
再从剩余4本书中选择2本书，有种分配方法；
剩余的就是2本书，有种分配方法;
所以有种分配方法．
但是，该过程有重复．假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是．则所有情况为，，，，，．
所以分配方式共有种
（4）由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为
种
（5）从6本书中选4本书的方法有种
从剩余2本书中选1本书有种
因为在最后两本书选择中发生重复了
所以总共有种
（6）由（5）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即
种．
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