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初中人教版9.1.1 不等式及其解集同步测试题
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这是一份初中人教版9.1.1 不等式及其解集同步测试题，文件包含必刷基础题91不等式原卷版-2023-2024学年七年级数学下册同步必刷题闯关练人教版docx、必刷基础题91不等式解析版-2023-2024学年七年级数学下册同步必刷题闯关练人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
9.1 不等式
知识点1：不等式的定义
【典例分析01】（2020秋•娄底期末）下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+y＜2，③2x＝3，④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【思路引导】根据不等式的定义进行判断．
【完整解答】解：不等式有：①3＞0，②4x+y＜2，⑤x+2≤3．
故选：B．
【考察注意点】本题考查了不等式的定义：表示不等关系的式子，叫做不等式，常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．
【变式训练01】（2021春•西城区校级期中）2020年，一直活跃在全球公众视线中的新冠疫苗，成为人类对抗新冠疫情的“关键先生”．然而，研发只是迈出了第一步，疫苗运输的第一关考验，在于温度．作为生物制品，疫苗对温度极其敏感．一般来说，疫苗冷链按照温度的不同，有如下分类：
我国研制的新型冠状病毒灭活疫苗，冷链运输和储存需要在2℃﹣8℃范围内，属于以下哪种冷链运输（ ）
A．深度冷链B．冻链C．冷藏链D．普通运输
【思路引导】直接根据不等式的定义，观察表中t的范围可得答案．
【完整解答】解：根据表中t的取值范围可得，冷链运输和储存需要在2℃﹣8℃范围内，属于冷藏链运输．
故选：C．
【考察注意点】此题考查的是不等式的概念，掌握不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式是解决此题关键．
【变式训练02】（2021春•东坡区校级月考）如图，用关于x的不等式表示公共部分是 ﹣1≤x≤1 ．
【思路引导】根据不等式的解集的意义，结合图形分析即可解答．
【完整解答】解：如上图，用关于x的不等式表示公共部分是：﹣1≤x≤1，
故答案为：﹣1≤x≤1．
【考察注意点】本题考查了不等式的解集的意义，结合图形找公共部分是解题的关键．
【变式训练03】（2021春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人 ．
【思路引导】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【完整解答】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
故答案为：租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
【考察注意点】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．
【变式训练04】（2019春•宛城区期中）（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，“|a|”≤2可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2；则：
①“|a|＞2”可理解为 数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2 ．
②请列举3个不同的整数a，使不等式|a|＜2成立．列举的a的值是 0 、 1 、 ﹣1 ．
我们定义：形如“|x|≤m”、“|x|≥m”、“|x|＞m”、“|x|＜m”（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
（2）【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式|x|≤3的解集是﹣3≤x≤3；绝对值不等式|x|＞4的解集是x＜﹣4或x＞4．
则，①不等式|x|＜5的解集是 ﹣5＜x＜5 ；
②不等式||≥3的解集是 x≥6或x≤﹣6 ．
（3）【灵活运用】不等式|﹣x+4|≤1的解集是 3≤x≤5 ．
【思路引导】（1）①由题可知|a|＞2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
②使不等式|a|＜2成立的整数a有0，1，﹣1；
（2）①根据题意可求|x|＜5的解集为﹣5＜x＜5；
②根据题意可求x≥3或x≤﹣3，解得x≥6或x≤﹣6；
（3）根据题意可求﹣1≤﹣x+4≤1，解得3≤x≤5．
【完整解答】解：（1）①由题意可知|a|＞2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2，
故答案为数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
②使不等式|a|＜2成立的整数a有0，1，﹣1，
故答案为0，1，﹣1；
（2）①根据题意可求|x|＜5的解集为﹣5＜x＜5，
故答案为﹣5＜x＜5；
②根据题意可求x≥3或x≤﹣3，
∴x≥6或x≤﹣6，
故答案为x≥6或x≤﹣6．
（3）∵﹣1≤﹣x+4≤1，
解得3≤x≤5，
故答案为3≤x≤5．
【考察注意点】本题考查绝对值不等式的解法；理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键．
【变式训练05】（2019秋•余杭区期中）在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴．
（1）写出a所满足的不等式；
（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？
【思路引导】根据数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值，列出不等式并解出结果．
【完整解答】解：（1）根据题意得：|a﹣1|＜3，
得出﹣2＜a＜4，
（2）由（1）得：到点B的距离小于3的数在﹣2和4之间，
∴在﹣3，0，4三个数中，只有0所对应的点到B点的距离小于3．
【考察注意点】本题考查了数轴上两点之间的距离为两个数差的绝对值，以及解不等式，难度适中．
知识点2：不等式的性质
【典例分析02】（2021秋•姑苏区校级期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是 ．
【思路引导】根据题目的已知可得a﹣1＜0，然后再化简每一个绝对值进行计算即可．
【完整解答】解：由题意得：
a﹣1＜0，
∴a＜1，
∴1﹣a＞0，a﹣2＜0，
∴|1﹣a|﹣|a﹣2|
＝1﹣a﹣（2﹣a）
＝1﹣a﹣2+a
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【考察注意点】本题考查了不等式的性质，绝对值，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式训练06】（2022•济南开学）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3B．＞C．a+3＜b+3D．﹣3a＞﹣3b
【思路引导】根据不等式的性质逐个判断即可．
【完整解答】解：A．∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴，故本选项符合题意；
C．∵a＞b，
∴a+3＞b+3，故本选项不符合题意；
D．∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b，故本选项不符合题意；
故选：B．
【考察注意点】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式训练07】若x＞y，则下列各式中，一定成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．x+2＜y+2C．﹣2x＞﹣2yD．x＜y
【思路引导】利用不等式的性质判断即可．
【完整解答】解：A．因为x＞y，
所以x﹣2＞y﹣2，原变形正确，故此选项符合题意；
B．因为x＞y，
所以x+2＞y+2，原变形错误，故此选项不符合题意；
C．因为x＞y，
所以﹣2x＜﹣2y，原变形错误，故此选项不符合题意；
D．因为x＞y，
所以，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
【考察注意点】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
【变式训练08】（2020秋•开化县期末）若x＜y，且（a﹣3）x≥（a﹣3）y，则a的取值范围是 a≤3 ．
【思路引导】根据不等式的性质，可得答案．
【完整解答】解：由不等号的方向改变，得
a﹣3≤0，
解得a≤3，
故答案为：a≤3．
【考察注意点】本题考查了不等式的性质，利用不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题关键．
【变式训练09】（2022•黔东南州模拟）知识阅读：我们知道，当a＞2时，代数式a﹣2＞0；当a＜2时，代数式a﹣2＜0；当a＝2时，代数式a﹣2＝0．
基本应用：当a＞2时，用“＞，＜，＝”填空．
（1）a+5 ＞ 0；
（2）（a+7）（a﹣2） ＞ 0；
理解应用：
当a＞1时，求代数式a2+2a﹣15的值的大小；
灵活应用：
当a＞2时，比较代数式a+2与a2+5a﹣19的大小关系．
【思路引导】本题主要考查不等式的基本逻辑计算．
【完整解答】解：（1）∵a＞2，
∴a+5＞0；
（2）∵a＞2，
∴a﹣2＞0，a+7＞0，
（a+7）（a﹣2）＞0．
理解应用：
a2+2a﹣15＝（a+1）2﹣16，当a＝1时，a2+2a﹣15＝﹣12，当a＞1时，a2+2a﹣15＞﹣12．
灵活运用：
先对代数式作差，（a2+5a﹣19）﹣（a+2）＝a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25，
当（a+2）2﹣25＞0时，a＜﹣7或a＞3．因此，当a≥3时，a2+5a﹣19≥a+2；
当2＜a＜3时，a2+5a﹣19＜a+2．
【考察注意点】本题主要考查不等式的基本逻辑计算．在比较大小时，注意给定范围内进行不等式的相减运算．
【变式训练10】（2021春•朝阳区期末）阅读材料：
小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．上面的律反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．
参考小明发现的规律，解决问题：
（1）比较大小：3+ ＜ +；（填“＜”，“＝”或“＞”）
（2）已知x+2y﹣2＝0，且x≥0，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，试比较A和B的大小．
【思路引导】（1）两数作差，根据3＜可求，也可利用不等式的基本性质1，不等式的两边同时加一个正数，不等号的方向不变解决；
（2）根据x+2y﹣2＝0，且x≥0求得y≤1，两式作差进而求解，
【完整解答】解：（1）∵3＜，
∴（3+）﹣（+）＝3﹣＜0，
∴3+＜+，
或∵3＜，
∴3+＜+，
故答案为：＜．
（2）∵x+2y﹣2＝0，
∴x＝2﹣2y，
∵x≥0，
∴2﹣2y≥0，
∴y≤1，
∴﹣y+1≥0，
∴A﹣B＝（5xy+y+1）﹣（5xy+2y）＝﹣y+1≥0，
∴A≥B．
【考察注意点】本题考查了不等式的性质，整式的加减和实数大小的比较，解题的关键是根据x+2y﹣2＝0，且x≥0确定y的取值．
知识点3：不等式的解集
【典例分析03】（2021•咸丰县一模）已知实数a和b，且a＞b，则关于未知数x的不等式组的解为（ ）
A．x≤aB．x＞bC．b＜x≤aD．x＞b或x≤a
【思路引导】根据解不等式组解集的口诀：大小小大中间找，可求出不等式组的解集．
【完整解答】解：∵a＞b，
∴关于未知数x的不等式组的解为b＜x≤a．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了不等式的解集，解题的关键是注意字母的取值范围，以及不等号的方向的确定．
【变式训练11】（2021•滕州市一模）下列各数中，不是不等式2（x﹣3）+3＜0的一个解的是（ ）
A．﹣3B．C．D．2
【思路引导】先去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再选取合适的x的值即可．
【完整解答】解：2（x﹣3）+3＜0，
去括号得，2x﹣6+3＜0，
移项得，2x＜6﹣3，
合并同类项得，2x＜3，
把x的系数化为1得，x＜．
∵，
∴2不是不等式2（x﹣3）+3＜0的解．
故选：D．
【考察注意点】本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
【变式训练12】（2021秋•宁远县期末）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 a＞3 ．
【思路引导】根据不等式组的解集的表示方法，可得答案．
【完整解答】解：由题意，得
a＞3，
故答案为：a＞3．
【考察注意点】本题考查了不等式组的解集，利用大小小大中间找是解题关键．
【变式训练13】（2021•新野县三模）已知关于x的不等式组有实数解，则m的取值范围是 m＞3 ．
【思路引导】根据不等式组有实数解，得到关于m的不等式，解之即可．
【完整解答】解：已知关于x的不等式组有实数解，
则两个不等式一定有公共部分，
则m的取值范围是m＞3．
故答案为：m＞3．
【考察注意点】本题考查不等式的解集，正确找出不等关系，根据有实数解得出不等式有公共部分是解题的关键．
【变式训练14】（2021春•饶平县校级期末）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
【思路引导】首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围，然后再化简（2），最后求得m的值．
【完整解答】解：（1）解原方程组得：，
∵x≤0，y＜0，
∴，
解得﹣2＜m≤3；
（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；
（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，
∵x＞1，∴2m+1＜0，
∴m＜﹣，
∴﹣2＜m＜﹣，
∴m＝﹣1．
【考察注意点】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
【变式训练15】（2020春•自贡期末）请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程．
对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；
对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3而大于3的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3．
已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，其中m是负整数，求m的值．
【思路引导】根据题意由|x+y|≤3得出﹣3≤x+y≤3，解二元一次方程组，得出x+y＝﹣m﹣1，得到不等式组﹣3≤﹣m﹣1≤3，求出m值，结合m为负整数即可得出结果．
【完整解答】解：∵|x+y|≤3，
∴﹣3≤x+y≤3，
解，
①+②得：3x+3y＝﹣3m﹣3，
∴x+y＝﹣m﹣1，
则﹣3≤﹣m﹣1≤3，
解得：﹣4≤m≤2，
又m是负整数，
∴m的值为﹣4或﹣3或﹣2或﹣1．
【考察注意点】本题考查了解一元一次不等式组和绝对值的意义，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．
知识点4：在数轴上表示不等式的解集
【典例分析04】（2021春•济宁期末）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来：
（1）+1＞x﹣3；
（2）．
【思路引导】（1）不等式去分母，移项合并，求出解集，表示在数轴上即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【完整解答】解：（1）去分母得：x﹣5+2＞2x﹣6，
解得：x＜3，
在数轴上表示出来为：
；
（2），
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣2，
故不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
在数轴上表示出来为：
【考察注意点】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式训练16】（2021秋•玉屏县期末）如图，数轴上表示的解集为（ ）
A．﹣3＜x≤2B．x≤2C．x＞﹣3D．﹣3≤x＜2
【思路引导】根据求不等式组的解集的表示方法，可得答案．
【完整解答】解：由图可得，x＞﹣3且x≤2
∴在数轴上表示的解集是﹣3＜x≤2，
故选：A．
【考察注意点】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式训练17】（2021秋•西湖区期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A．x＜2B．x＞1C．0＜x＜2D．1＜x＜2
【思路引导】根据“大小小大中间取”和不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集．
【完整解答】解：该数轴表示的不等式的解集为1＜x＜2．
故选：D．
【考察注意点】本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【变式训练18】（2021春•薛城区期末）现规定一种新运算，a※b＝2a﹣b，其中a、b为常数．已知关于x的不等式k※x≤3的解集在数轴上表示如图，则k的值为 1 ．
【思路引导】根据k※x≤3得出2k﹣x≤3，求出不等式的解集是x≥﹣3+2k，根据数轴得出﹣3+2k＝﹣1，再求出k即可．
【完整解答】解：∵k※x≤3，
∴2k﹣x≤3，
∴﹣x≤3﹣2k，
∴x≥﹣3+2k，
从数轴可知：﹣3+2k＝﹣1，
解得：k＝1，
故答案为：1．
【考察注意点】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集和解一元一次方程等知识点，能正确识图是解此题的关键．
【变式训练19】（2019秋•秀洲区期中）如图，数轴上所表示的关于x的不等式是 x≤2 ．
【思路引导】根据一元一次不等式解集在数轴上的表示方法可知，不等式的解集是2左边的部分．
【完整解答】解：一元一次不等式的解集是2左边的部分（包含2），
因而解集是x≤2．
故答案为：x≤2．
【考察注意点】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法．
不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式训练20】（2016•安庆二模）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
【思路引导】求出不等式组中两不等式的解集，找出公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【完整解答】解：，
由①得：x＞2，
由②得：x≤9，
∴不等式组的解集为2＜x≤9，
不等式组的解集在数轴上表示，如图所示：
【考察注意点】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示类型
深度冷链
冻链
冷藏链
温度（t℃）
t≤﹣70
﹣70＜t≤﹣20
2≤t≤8
常见疫苗
埃博拉疫苗
水痘、带状疱疹疫苗
流感疫苗
9.1 不等式
知识点1：不等式的定义
【典例分析01】（2020秋•娄底期末）下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+y＜2，③2x＝3，④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【思路引导】根据不等式的定义进行判断．
【完整解答】解：不等式有：①3＞0，②4x+y＜2，⑤x+2≤3．
故选：B．
【考察注意点】本题考查了不等式的定义：表示不等关系的式子，叫做不等式，常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．
【变式训练01】（2021春•西城区校级期中）2020年，一直活跃在全球公众视线中的新冠疫苗，成为人类对抗新冠疫情的“关键先生”．然而，研发只是迈出了第一步，疫苗运输的第一关考验，在于温度．作为生物制品，疫苗对温度极其敏感．一般来说，疫苗冷链按照温度的不同，有如下分类：
我国研制的新型冠状病毒灭活疫苗，冷链运输和储存需要在2℃﹣8℃范围内，属于以下哪种冷链运输（ ）
A．深度冷链B．冻链C．冷藏链D．普通运输
【思路引导】直接根据不等式的定义，观察表中t的范围可得答案．
【完整解答】解：根据表中t的取值范围可得，冷链运输和储存需要在2℃﹣8℃范围内，属于冷藏链运输．
故选：C．
【考察注意点】此题考查的是不等式的概念，掌握不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式是解决此题关键．
【变式训练02】（2021春•东坡区校级月考）如图，用关于x的不等式表示公共部分是 ﹣1≤x≤1 ．
【思路引导】根据不等式的解集的意义，结合图形分析即可解答．
【完整解答】解：如上图，用关于x的不等式表示公共部分是：﹣1≤x≤1，
故答案为：﹣1≤x≤1．
【考察注意点】本题考查了不等式的解集的意义，结合图形找公共部分是解题的关键．
【变式训练03】（2021春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人 ．
【思路引导】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【完整解答】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
故答案为：租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．
【考察注意点】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．
【变式训练04】（2019春•宛城区期中）（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，“|a|”≤2可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2；则：
①“|a|＞2”可理解为 数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2 ．
②请列举3个不同的整数a，使不等式|a|＜2成立．列举的a的值是 0 、 1 、 ﹣1 ．
我们定义：形如“|x|≤m”、“|x|≥m”、“|x|＞m”、“|x|＜m”（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
（2）【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式|x|≤3的解集是﹣3≤x≤3；绝对值不等式|x|＞4的解集是x＜﹣4或x＞4．
则，①不等式|x|＜5的解集是 ﹣5＜x＜5 ；
②不等式||≥3的解集是 x≥6或x≤﹣6 ．
（3）【灵活运用】不等式|﹣x+4|≤1的解集是 3≤x≤5 ．
【思路引导】（1）①由题可知|a|＞2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
②使不等式|a|＜2成立的整数a有0，1，﹣1；
（2）①根据题意可求|x|＜5的解集为﹣5＜x＜5；
②根据题意可求x≥3或x≤﹣3，解得x≥6或x≤﹣6；
（3）根据题意可求﹣1≤﹣x+4≤1，解得3≤x≤5．
【完整解答】解：（1）①由题意可知|a|＞2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2，
故答案为数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
②使不等式|a|＜2成立的整数a有0，1，﹣1，
故答案为0，1，﹣1；
（2）①根据题意可求|x|＜5的解集为﹣5＜x＜5，
故答案为﹣5＜x＜5；
②根据题意可求x≥3或x≤﹣3，
∴x≥6或x≤﹣6，
故答案为x≥6或x≤﹣6．
（3）∵﹣1≤﹣x+4≤1，
解得3≤x≤5，
故答案为3≤x≤5．
【考察注意点】本题考查绝对值不等式的解法；理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键．
【变式训练05】（2019秋•余杭区期中）在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴．
（1）写出a所满足的不等式；
（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？
【思路引导】根据数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值，列出不等式并解出结果．
【完整解答】解：（1）根据题意得：|a﹣1|＜3，
得出﹣2＜a＜4，
（2）由（1）得：到点B的距离小于3的数在﹣2和4之间，
∴在﹣3，0，4三个数中，只有0所对应的点到B点的距离小于3．
【考察注意点】本题考查了数轴上两点之间的距离为两个数差的绝对值，以及解不等式，难度适中．
知识点2：不等式的性质
【典例分析02】（2021秋•姑苏区校级期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是 ．
【思路引导】根据题目的已知可得a﹣1＜0，然后再化简每一个绝对值进行计算即可．
【完整解答】解：由题意得：
a﹣1＜0，
∴a＜1，
∴1﹣a＞0，a﹣2＜0，
∴|1﹣a|﹣|a﹣2|
＝1﹣a﹣（2﹣a）
＝1﹣a﹣2+a
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【考察注意点】本题考查了不等式的性质，绝对值，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式训练06】（2022•济南开学）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3B．＞C．a+3＜b+3D．﹣3a＞﹣3b
【思路引导】根据不等式的性质逐个判断即可．
【完整解答】解：A．∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴，故本选项符合题意；
C．∵a＞b，
∴a+3＞b+3，故本选项不符合题意；
D．∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b，故本选项不符合题意；
故选：B．
【考察注意点】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式训练07】若x＞y，则下列各式中，一定成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．x+2＜y+2C．﹣2x＞﹣2yD．x＜y
【思路引导】利用不等式的性质判断即可．
【完整解答】解：A．因为x＞y，
所以x﹣2＞y﹣2，原变形正确，故此选项符合题意；
B．因为x＞y，
所以x+2＞y+2，原变形错误，故此选项不符合题意；
C．因为x＞y，
所以﹣2x＜﹣2y，原变形错误，故此选项不符合题意；
D．因为x＞y，
所以，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
【考察注意点】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
【变式训练08】（2020秋•开化县期末）若x＜y，且（a﹣3）x≥（a﹣3）y，则a的取值范围是 a≤3 ．
【思路引导】根据不等式的性质，可得答案．
【完整解答】解：由不等号的方向改变，得
a﹣3≤0，
解得a≤3，
故答案为：a≤3．
【考察注意点】本题考查了不等式的性质，利用不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题关键．
【变式训练09】（2022•黔东南州模拟）知识阅读：我们知道，当a＞2时，代数式a﹣2＞0；当a＜2时，代数式a﹣2＜0；当a＝2时，代数式a﹣2＝0．
基本应用：当a＞2时，用“＞，＜，＝”填空．
（1）a+5 ＞ 0；
（2）（a+7）（a﹣2） ＞ 0；
理解应用：
当a＞1时，求代数式a2+2a﹣15的值的大小；
灵活应用：
当a＞2时，比较代数式a+2与a2+5a﹣19的大小关系．
【思路引导】本题主要考查不等式的基本逻辑计算．
【完整解答】解：（1）∵a＞2，
∴a+5＞0；
（2）∵a＞2，
∴a﹣2＞0，a+7＞0，
（a+7）（a﹣2）＞0．
理解应用：
a2+2a﹣15＝（a+1）2﹣16，当a＝1时，a2+2a﹣15＝﹣12，当a＞1时，a2+2a﹣15＞﹣12．
灵活运用：
先对代数式作差，（a2+5a﹣19）﹣（a+2）＝a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25，
当（a+2）2﹣25＞0时，a＜﹣7或a＞3．因此，当a≥3时，a2+5a﹣19≥a+2；
当2＜a＜3时，a2+5a﹣19＜a+2．
【考察注意点】本题主要考查不等式的基本逻辑计算．在比较大小时，注意给定范围内进行不等式的相减运算．
【变式训练10】（2021春•朝阳区期末）阅读材料：
小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．上面的律反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．
参考小明发现的规律，解决问题：
（1）比较大小：3+ ＜ +；（填“＜”，“＝”或“＞”）
（2）已知x+2y﹣2＝0，且x≥0，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，试比较A和B的大小．
【思路引导】（1）两数作差，根据3＜可求，也可利用不等式的基本性质1，不等式的两边同时加一个正数，不等号的方向不变解决；
（2）根据x+2y﹣2＝0，且x≥0求得y≤1，两式作差进而求解，
【完整解答】解：（1）∵3＜，
∴（3+）﹣（+）＝3﹣＜0，
∴3+＜+，
或∵3＜，
∴3+＜+，
故答案为：＜．
（2）∵x+2y﹣2＝0，
∴x＝2﹣2y，
∵x≥0，
∴2﹣2y≥0，
∴y≤1，
∴﹣y+1≥0，
∴A﹣B＝（5xy+y+1）﹣（5xy+2y）＝﹣y+1≥0，
∴A≥B．
【考察注意点】本题考查了不等式的性质，整式的加减和实数大小的比较，解题的关键是根据x+2y﹣2＝0，且x≥0确定y的取值．
知识点3：不等式的解集
【典例分析03】（2021•咸丰县一模）已知实数a和b，且a＞b，则关于未知数x的不等式组的解为（ ）
A．x≤aB．x＞bC．b＜x≤aD．x＞b或x≤a
【思路引导】根据解不等式组解集的口诀：大小小大中间找，可求出不等式组的解集．
【完整解答】解：∵a＞b，
∴关于未知数x的不等式组的解为b＜x≤a．
故选：C．
【考察注意点】本题考查了不等式的解集，解题的关键是注意字母的取值范围，以及不等号的方向的确定．
【变式训练11】（2021•滕州市一模）下列各数中，不是不等式2（x﹣3）+3＜0的一个解的是（ ）
A．﹣3B．C．D．2
【思路引导】先去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再选取合适的x的值即可．
【完整解答】解：2（x﹣3）+3＜0，
去括号得，2x﹣6+3＜0，
移项得，2x＜6﹣3，
合并同类项得，2x＜3，
把x的系数化为1得，x＜．
∵，
∴2不是不等式2（x﹣3）+3＜0的解．
故选：D．
【考察注意点】本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
【变式训练12】（2021秋•宁远县期末）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 a＞3 ．
【思路引导】根据不等式组的解集的表示方法，可得答案．
【完整解答】解：由题意，得
a＞3，
故答案为：a＞3．
【考察注意点】本题考查了不等式组的解集，利用大小小大中间找是解题关键．
【变式训练13】（2021•新野县三模）已知关于x的不等式组有实数解，则m的取值范围是 m＞3 ．
【思路引导】根据不等式组有实数解，得到关于m的不等式，解之即可．
【完整解答】解：已知关于x的不等式组有实数解，
则两个不等式一定有公共部分，
则m的取值范围是m＞3．
故答案为：m＞3．
【考察注意点】本题考查不等式的解集，正确找出不等关系，根据有实数解得出不等式有公共部分是解题的关键．
【变式训练14】（2021春•饶平县校级期末）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
【思路引导】首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围，然后再化简（2），最后求得m的值．
【完整解答】解：（1）解原方程组得：，
∵x≤0，y＜0，
∴，
解得﹣2＜m≤3；
（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；
（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，
∵x＞1，∴2m+1＜0，
∴m＜﹣，
∴﹣2＜m＜﹣，
∴m＝﹣1．
【考察注意点】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
【变式训练15】（2020春•自贡期末）请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程．
对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；
对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3而大于3的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3．
已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，其中m是负整数，求m的值．
【思路引导】根据题意由|x+y|≤3得出﹣3≤x+y≤3，解二元一次方程组，得出x+y＝﹣m﹣1，得到不等式组﹣3≤﹣m﹣1≤3，求出m值，结合m为负整数即可得出结果．
【完整解答】解：∵|x+y|≤3，
∴﹣3≤x+y≤3，
解，
①+②得：3x+3y＝﹣3m﹣3，
∴x+y＝﹣m﹣1，
则﹣3≤﹣m﹣1≤3，
解得：﹣4≤m≤2，
又m是负整数，
∴m的值为﹣4或﹣3或﹣2或﹣1．
【考察注意点】本题考查了解一元一次不等式组和绝对值的意义，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．
知识点4：在数轴上表示不等式的解集
【典例分析04】（2021春•济宁期末）解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来：
（1）+1＞x﹣3；
（2）．
【思路引导】（1）不等式去分母，移项合并，求出解集，表示在数轴上即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【完整解答】解：（1）去分母得：x﹣5+2＞2x﹣6，
解得：x＜3，
在数轴上表示出来为：
；
（2），
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣2，
故不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
在数轴上表示出来为：
【考察注意点】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式训练16】（2021秋•玉屏县期末）如图，数轴上表示的解集为（ ）
A．﹣3＜x≤2B．x≤2C．x＞﹣3D．﹣3≤x＜2
【思路引导】根据求不等式组的解集的表示方法，可得答案．
【完整解答】解：由图可得，x＞﹣3且x≤2
∴在数轴上表示的解集是﹣3＜x≤2，
故选：A．
【考察注意点】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式训练17】（2021秋•西湖区期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A．x＜2B．x＞1C．0＜x＜2D．1＜x＜2
【思路引导】根据“大小小大中间取”和不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集．
【完整解答】解：该数轴表示的不等式的解集为1＜x＜2．
故选：D．
【考察注意点】本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
【变式训练18】（2021春•薛城区期末）现规定一种新运算，a※b＝2a﹣b，其中a、b为常数．已知关于x的不等式k※x≤3的解集在数轴上表示如图，则k的值为 1 ．
【思路引导】根据k※x≤3得出2k﹣x≤3，求出不等式的解集是x≥﹣3+2k，根据数轴得出﹣3+2k＝﹣1，再求出k即可．
【完整解答】解：∵k※x≤3，
∴2k﹣x≤3，
∴﹣x≤3﹣2k，
∴x≥﹣3+2k，
从数轴可知：﹣3+2k＝﹣1，
解得：k＝1，
故答案为：1．
【考察注意点】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集和解一元一次方程等知识点，能正确识图是解此题的关键．
【变式训练19】（2019秋•秀洲区期中）如图，数轴上所表示的关于x的不等式是 x≤2 ．
【思路引导】根据一元一次不等式解集在数轴上的表示方法可知，不等式的解集是2左边的部分．
【完整解答】解：一元一次不等式的解集是2左边的部分（包含2），
因而解集是x≤2．
故答案为：x≤2．
【考察注意点】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法．
不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式训练20】（2016•安庆二模）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
【思路引导】求出不等式组中两不等式的解集，找出公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【完整解答】解：，
由①得：x＞2，
由②得：x≤9，
∴不等式组的解集为2＜x≤9，
不等式组的解集在数轴上表示，如图所示：
【考察注意点】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示类型
深度冷链
冻链
冷藏链
温度（t℃）
t≤﹣70
﹣70＜t≤﹣20
2≤t≤8
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水痘、带状疱疹疫苗
流感疫苗
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