初中数学沪科版八年级下册19.1 多边形内角和图片课件ppt

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多边形及其相关概念多边形的内角和多边形的外角和四边形的不稳定性
1.多边形的定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形 .(1)表示方法： 表示多边形时，先写出多边形的名称，后面顺次写出多边形的顶点字母 .(2)分类： 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形 . 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形就叫做 n 边形 .
特别解读多边形的三个必要条件：1. 线段在“同一平面内”；2. 线段“不在同一直线上”且条数不少于 3；3. 线段首尾顺次相接.
2. 相关概念  (1)边： 组成多边形的线段叫做多边形的边 .(2) 顶点： 相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点 .(3) 内角： 多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角 .(4) 外角： 在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角 .(5) 对角线： 多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线 .
3. 凸多边形 一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是凸多边形 .4. 正多边形 多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形 .
特别解读正多边形必备的两个条件：(1)各个内角都相等；(2)各条边都相等 .说明 : 若一个多边形的各个内角都相等或各条边都相等，则它不一定是正多边形 .
下列说法中，正确的有______个 .①三角形是边数最少的多边形；②等边三角形和长方形都是正多边形；③ n 边形有 n 条边、 n 个顶点、 n 个内角和 n 个外角；④六边形从一个顶点出发可以画 3 条对角线，所有的对角线共有 9 条 .
解：①三角形是边数最少的多边形，正确；②等边三角形是正多边形，但长方形不是正多边形，不正确；③ n 边形有 n 条边、 n 个顶点、 n 个内角和 2n 个外角，不正确；④根据对角线的定义画出六边形的对角线，从一个顶点出发可以画 3条对角线，所有的对角线共有 9 条，正确 .
解题秘方：利用多边形的有关概念进行辨析 .
1.定理 n 边形的内角和等于( n － 2)·180°(n 为不小于 3的整数) .
特别解读1. 从 n 边形的内角和公式( n － 2 ) × 180 °可知 n 边形的内角和一定是 180°的整数倍 .2. 多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加 1，内角和就增加 180° .
在四边形 ABCD 中，∠ A=140°，∠ D=80° .
解题秘方：紧扣多边形的内角和公式及平行线的性质求出相关角的度数 .
解法提醒运用多边形的内角和公式可以求出任何一个多边形的内角和 .
(1)如图 19.1-1 ①，若∠ B= ∠ C，试求出∠ C 的度数；
(2)如图 19.1-1 ②，若∠ ABC 的平分线 BE 交 DC 于点 E，且 BE ∥ AD，试求出∠ C 的度数 .
解：∵ BE ∥ AD，∠ D =80°，∠ A = 140°，∴∠ BEC= ∠ D=80°，∠ ABE=180° － ∠ A=180° － 140°=40°. 又∵ BE 平分∠ ABC，∴∠ EBC= ∠ ABE=40° .∴∠ C=180° － ∠ EBC － ∠BEC=180° － 40° － 80° =60° .
根据下列条件求多边形的边数：(1) 多边形的内角和是 1 620°；(2) 正多边形的每个内角均为 120° .
解题秘方：根据多边形的内角和公式列出方程求解 .
解：设多边形的边数为 n，根据题意得( n － 2 ) ·180° =1 620° ，解得 n=11.故多边形的边数为 11.
已知内角和，设出边数 n，利用内角和公式列出方程求边数 n
(1) 多边形的内角和是 1 620°；
解：根据题意得( n－2) ·180° =120° n，解得 n=6.故正多边形的边数为 6.
(2) 正多边形的每个内角均为 120° .
解法提醒在解决多边形的内角和问题时，有两个隐含的关键条件：一是多边形的每 一个内角的度数都大于 0°且小于 180°；二是多边形的边数 n 的取值范围是n ≥ 3 且 n 为整数 .
一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是 2 880°，则原多边形的边数是 ____________.
解题秘方：紧扣截去一个角后所得的多边形与原多边形相比，边数变化的规律求解
解：设新多边形的边数为 n，根据题意，得( n－2)×180° =2 880°，解得 n=18.∵新多边形与原多边形相比，边数可能增加 1，可能不变，也可能减少 1，∴原多边形的边数是 17，18 或 19.
特别提醒一个多边形(除三角形外)截去一个角后，按不同的截法可得到边数不同的三种多边形，即边数增加1，边数不变，边数减少 1. 以五边形为例，如图 19.1-2 所示 .
1.定理 n 边形的外角和等于 360°( n 为不小于 3 的整数) .多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出的：n 边形的外角和 =n×180°－( n－2)×180° =360° .
特别解读1. 多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和 .2. 多边形的外角和恒等于 360°，与边数多少无关 .
根据下列条件解决问题：(1) 一个多边形的各个内角都相等，已知其中一个外角为 72° ，求该多边形的边数；(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于 30°，求这个正多边形的边数 .
解题秘方：根据多边形的内角与外角的关系及外角和定理计算 .
解法提醒多边形的各内角相等，从而各外角也相等，已知其中一个外角的度数，由多边形的外角和是 360°，即可得出边数 .
(2) ∵多边形的外角和为 360°，且每个外角都等于 30°，∴ 360° ÷30° =12. 故这个正多边形的边数为 12.
解： (1)设该多边形的边数为 n.根据多边形的外角和为 360°，得 n· 72° =360°，解得 n=5．∴该多边形的边数为 5.
和三角形不同，即使四边形的边长确定，它的形状也不能确定，我们把四边形的这个性质称为四边形的不稳定性 .
提示(1)四边形的不稳定性即其形状的不确定性，有它有利的一面，也有它不利的一面，我们应充分利用它有利的一面为生活服务 .(2)生活中四边形的不稳定性有着广泛的应用，如电动伸缩门、伸缩衣架等 .
为了避免四边形的不稳定性给生活带来影响，通常可以把四边形相对的两个顶点(或相邻边上的两点)用线段相连，即利用三角形的稳定性克服四边形的不稳定性 .
在房屋建设过程中，四边形的木质门框容易变形，是因为 ______________________；在实际生活中木匠师傅通常都是采用在木质门框上斜钉木条的方式来防止门框变形的，这样做的道理是 ________________________.
解题秘方：紧扣三角形的稳定性及四边形的不稳定性解释生活现象.
解：四边形的木质门框容易变形，是因为四边形具有不稳定性，而斜钉上木条后，则利用了三角形的稳定性，固定了四边形的四条边的位置，从而避免四边形变形 .
方法点拨将不稳定的多边形转化为稳定图形的方法就是让转化的图形的每一个组成部分都成为三角形，常用的转化方法是作多边形从同一顶点出发的对角线 .