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沪科版八年级下册19.1 多边形内角和精品课件ppt
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这是一份沪科版八年级下册19.1 多边形内角和精品课件ppt，共47页。PPT课件主要包含了情景引入，典例精析，多边形的对角线，n-3，n-2，归纳总结，都是360°，多边形的内角和，猜想与证明，运用了整体思想等内容，欢迎下载使用。
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？
中国第一奇村诸葛八卦村
美国国防部大楼——五角大楼
问题2 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
问题1 什么是三角形？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
多边形的定义及相关概念
思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等，其中三角形是最简单的多边形.
内角：多边形相邻两边的夹角
问题3 根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的顶点、边、内角、外角．
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角
n 边形有 n 个顶点，n 条边，n 个内角，2n 个外角．
此类多边形被某条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧，是凹多边形
问题4 请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论？
如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 本节我们只研究凸多边形.
例1 六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．
解：∵六边形截去一个角的边数有增加 1、减少 1、不变三种情况，∴新多边形的边数有 7，5，6 三种情况，如图所示.
一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能 增加了一条，也可能不变或减少了一条.
定义：多边形中连接不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
线段 AC 是五边形 ABCDE 的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.
探究：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
从 n (n≥3) 边形的一个顶点可以作出 (n - 3) 条对角线.将多边形分成 (n - 2) 个三角形.
画一画：画出下列多边形的全部对角线.
问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
问题1 三角形的内角和是多少度？
三角形内角和是 180°.
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
猜想：四边形 ABCD 的内角和是 360°.
问题4 你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？
方法1：如图，连接 AC，所以四边形被分为两个三角形，所以四边形 ABCD 的内角和为180°×2 = 360°.
方法2：如图，在 BC 边上任取一点 E，连接 AE，DE，所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3 - (∠AEB+∠AED+∠CED)= 180°×3 - 180°= 360°.
方法3：如图，在四边形 ABCD 内部任取一点 E，连接 AE，BE，CE，DE，把四边形分成四个三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.所以四边形 ABCD 的内角和为180°×4 - (∠AEB + ∠AED +∠CED +∠CEB)= 720° - 360° = 360°.
方法4：如图，在四边形外任取一点 P，连接 PA、PB、PC、PD 将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3 - 180° = 360°.
这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解
结论： 四边形的内角和为360°.
例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
如图，在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°.
∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，
∠B +∠D = 360° - (∠A +∠C ) = 360° - 180° = 180°.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
【变式题】如图，在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，若 BE∥DF，求证：△DCF 为直角三角形．
证明：在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，∴∠ABC +∠ADC = 180°．∵ BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，∴∠CDF +∠EBF = 90°．∵ BE∥DF，∴∠EBF =∠CFD．∴∠CDF +∠CFD = 90°．故△DCF 为直角三角形．
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?
内角和为 180°×3 = 540°.
内角和为 180°×4 = 720°.
（ n -2 ）·180°
1×180°=180°
2×180°=360°
3×180°=540°
4×180°=720°
分割点与多边形的位置关系
n 边形的内角和等于 (n - 2)×180°.
例3 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为 n，则 (n - 2)•180 = 360 + 720， 解得 n = 8. ∵ 这个多边形的每个内角都相等， 其内角和为 (8 - 2)×180° = 1080°， ∴ 它每一个内角的度数为 1080°÷8 = 135°．
例4 如图，在五边形 ABCDE 中，∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，AP 平分∠EAB，BP 平分∠ABC，求∠P 的度数．
分析：根据五边形的内角和等于 540°，由∠C，∠D，∠E 的度数可求出∠EAB +∠ABC 的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB 与∠PBA 的角度和，进而求得∠P 的度数．
解：∵∠EAB +∠ABC +∠C +∠D +∠E = 540°，∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，∴∠EAB +∠ABC = 540° - 100° - 75° - 135° = 230°.∵ AP 平分∠EAB，∴∠PAB ＝ ∠EAB.同理可得∠ABP ＝ ∠ABC.∵∠P +∠PAB +∠PBA = 180°，∴∠P = 180° -∠PAB -∠PBA= 180°− (∠EAB +∠ABC) = 180°− ×230° = 65°．
小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角. 如图所示.
在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫做多边形的外角和.
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角．
问题1：任意一个外角和它相邻的 内角有什么关系？问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
5×180° = 900°
－(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于 360°.
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
n 边形的外角和等于 360°.
－(n－2)×180°
= n 个平角和－n 边形的内角和
思考：n 边形的外角和又是多少呢？
定义： 多边形中，各个角都相等，各条边都相等，这样的多边形叫做正多边形.
想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等； 第二个图形不符合各边都相等.
(2) 如果正多边形的一个内角是 120°，那么这是正____边形.(3) 正 n 边形每个外角的度数是 ____.(4) 已知某正多边形的每个外角 都是 45°，则这个多边形是 正____边形.
例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是 7∶2， 求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为 7x°，外角为 2x°，根据题意得
7x + 2x = 180，
解得 x = 20.
即每个内角是 140°，每个外角是 40°.
360°÷40° = 9.
答：这个多边形的边数是 9.
解法二：设这个多边形的边数为 n ，根据题意得
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是 x°，外角是 y°，则得到一个方程组 解得而任何多边形的外角和是 360°，则该正多边形的边数为 360÷120 = 3.故这个多边形的每个内角的度数是 60°，边数是 3.
例6 如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 BE，求∠BED 的度数．
解：由题意得AB = AE，所以∠AEB = (180° - ∠A) = 36°，所以∠BED = ∠AED -∠AEB = 108° - 36° = 72°.
四边形具有不稳定性：各边的长确定后，图形形状不能确定.
1. 下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）
2. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形
3. 九边形的对角线有（ ）A. 25 条 B. 31 条 C. 27 条 D. 30 条
4. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引 10 条对角线，则这是 边形.
5. 过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个三角形.
6. 如图所示，小华从点 A 出发，沿直线前进 10 米后左转 24°，再沿直线前进 10 米，又向左转 24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点 A 时，走的路程一共是______米．
7. 一个多边形的内角和不可能是（ ）A. 1800° B. 540° C. 720° D. 810°
8. 一个多边形从一个顶点可引对角线 3 条，这个多边形 的内角和等于（ ）A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
9. 一个多边形的内角和为 1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵ 1800÷180＝10，∴ 原多边形边数为10＋2＝12.∵ 一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能加 1，∴ 新多边形的边数可能是 11，12，13．∴ 新多边形的内角和可能是 1620°，1800°，1980°.
能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数.
解：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.
前提条件是在一个平面内
它是多边形中的重要线段，我们通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的相关问题
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？
中国第一奇村诸葛八卦村
美国国防部大楼——五角大楼
问题2 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
问题1 什么是三角形？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
多边形的定义及相关概念
思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.
多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等，其中三角形是最简单的多边形.
内角：多边形相邻两边的夹角
问题3 根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的顶点、边、内角、外角．
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角
n 边形有 n 个顶点，n 条边，n 个内角，2n 个外角．
此类多边形被某条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧，是凹多边形
问题4 请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论？
如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 本节我们只研究凸多边形.
例1 六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．
解：∵六边形截去一个角的边数有增加 1、减少 1、不变三种情况，∴新多边形的边数有 7，5，6 三种情况，如图所示.
一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能 增加了一条，也可能不变或减少了一条.
定义：多边形中连接不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
线段 AC 是五边形 ABCDE 的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.
探究：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：
从 n (n≥3) 边形的一个顶点可以作出 (n - 3) 条对角线.将多边形分成 (n - 2) 个三角形.
画一画：画出下列多边形的全部对角线.
问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
问题1 三角形的内角和是多少度？
三角形内角和是 180°.
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
猜想：四边形 ABCD 的内角和是 360°.
问题4 你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？
方法1：如图，连接 AC，所以四边形被分为两个三角形，所以四边形 ABCD 的内角和为180°×2 = 360°.
方法2：如图，在 BC 边上任取一点 E，连接 AE，DE，所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3 - (∠AEB+∠AED+∠CED)= 180°×3 - 180°= 360°.
方法3：如图，在四边形 ABCD 内部任取一点 E，连接 AE，BE，CE，DE，把四边形分成四个三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.所以四边形 ABCD 的内角和为180°×4 - (∠AEB + ∠AED +∠CED +∠CEB)= 720° - 360° = 360°.
方法4：如图，在四边形外任取一点 P，连接 PA、PB、PC、PD 将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3 - 180° = 360°.
这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解
结论： 四边形的内角和为360°.
例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
如图，在四边形 ABCD 中，∠A +∠C = 180°.
∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，
∠B +∠D = 360° - (∠A +∠C ) = 360° - 180° = 180°.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
【变式题】如图，在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，若 BE∥DF，求证：△DCF 为直角三角形．
证明：在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，∴∠ABC +∠ADC = 180°．∵ BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，∴∠CDF +∠EBF = 90°．∵ BE∥DF，∴∠EBF =∠CFD．∴∠CDF +∠CFD = 90°．故△DCF 为直角三角形．
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?
内角和为 180°×3 = 540°.
内角和为 180°×4 = 720°.
（ n -2 ）·180°
1×180°=180°
2×180°=360°
3×180°=540°
4×180°=720°
分割点与多边形的位置关系
n 边形的内角和等于 (n - 2)×180°.
例3 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为 n，则 (n - 2)•180 = 360 + 720， 解得 n = 8. ∵ 这个多边形的每个内角都相等， 其内角和为 (8 - 2)×180° = 1080°， ∴ 它每一个内角的度数为 1080°÷8 = 135°．
例4 如图，在五边形 ABCDE 中，∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，AP 平分∠EAB，BP 平分∠ABC，求∠P 的度数．
分析：根据五边形的内角和等于 540°，由∠C，∠D，∠E 的度数可求出∠EAB +∠ABC 的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB 与∠PBA 的角度和，进而求得∠P 的度数．
解：∵∠EAB +∠ABC +∠C +∠D +∠E = 540°，∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，∴∠EAB +∠ABC = 540° - 100° - 75° - 135° = 230°.∵ AP 平分∠EAB，∴∠PAB ＝ ∠EAB.同理可得∠ABP ＝ ∠ABC.∵∠P +∠PAB +∠PBA = 180°，∴∠P = 180° -∠PAB -∠PBA= 180°− (∠EAB +∠ABC) = 180°− ×230° = 65°．
小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角. 如图所示.
在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫做多边形的外角和.
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角．
问题1：任意一个外角和它相邻的 内角有什么关系？问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
5×180° = 900°
－(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于 360°.
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
n 边形的外角和等于 360°.
－(n－2)×180°
= n 个平角和－n 边形的内角和
思考：n 边形的外角和又是多少呢？
定义： 多边形中，各个角都相等，各条边都相等，这样的多边形叫做正多边形.
想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等； 第二个图形不符合各边都相等.
(2) 如果正多边形的一个内角是 120°，那么这是正____边形.(3) 正 n 边形每个外角的度数是 ____.(4) 已知某正多边形的每个外角 都是 45°，则这个多边形是 正____边形.
例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是 7∶2， 求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为 7x°，外角为 2x°，根据题意得
7x + 2x = 180，
解得 x = 20.
即每个内角是 140°，每个外角是 40°.
360°÷40° = 9.
答：这个多边形的边数是 9.
解法二：设这个多边形的边数为 n ，根据题意得
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是 x°，外角是 y°，则得到一个方程组 解得而任何多边形的外角和是 360°，则该正多边形的边数为 360÷120 = 3.故这个多边形的每个内角的度数是 60°，边数是 3.
例6 如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 BE，求∠BED 的度数．
解：由题意得AB = AE，所以∠AEB = (180° - ∠A) = 36°，所以∠BED = ∠AED -∠AEB = 108° - 36° = 72°.
四边形具有不稳定性：各边的长确定后，图形形状不能确定.
1. 下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）
2. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形
3. 九边形的对角线有（ ）A. 25 条 B. 31 条 C. 27 条 D. 30 条
4. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引 10 条对角线，则这是 边形.
5. 过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个三角形.
6. 如图所示，小华从点 A 出发，沿直线前进 10 米后左转 24°，再沿直线前进 10 米，又向左转 24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点 A 时，走的路程一共是______米．
7. 一个多边形的内角和不可能是（ ）A. 1800° B. 540° C. 720° D. 810°
8. 一个多边形从一个顶点可引对角线 3 条，这个多边形 的内角和等于（ ）A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
9. 一个多边形的内角和为 1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵ 1800÷180＝10，∴ 原多边形边数为10＋2＝12.∵ 一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能加 1，∴ 新多边形的边数可能是 11，12，13．∴ 新多边形的内角和可能是 1620°，1800°，1980°.
能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数.
解：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.
前提条件是在一个平面内
它是多边形中的重要线段，我们通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的相关问题
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