2024年湖南省望城区九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、班级、考号、考场、座位号填写清楚，并认真核对条形码信息；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列实数是无理数是（ ）
A. B. C. 28D. 3.14
2. 如图所示是第19届杭州亚运会的运动图标，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A 3，4，7B. 6，7，12C. 6，7，14D. 3，4，8
5. 著名的数学苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约公里的行星命名为“苏步青星”，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，，点，，在同一直线上，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员成绩（单位：环）的中位数为（ ）

A 2B. 8C. 8.5D. 9
8. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
9. 在一次函数y=（2m+2）x+4中，y随x的增大而增大，那么m的值是（ ）
A. 0B. -1C. -1.5D. -2
10. 不透明盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：___________．
12. 若一组数据3，4，3，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为___________．
13. 已知：如图所示，边长为6的等边△ABC，以BC边所在直线为x轴，过B点且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A点坐标为____．
14. 如图，是反比例函数的图像上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于，则的值为________．

15. 如图，是的直径，且，弦于点E，，连接，则_____．

16. 为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得，则铁环的半径是______．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中，
19. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离，到公路上另一停靠站的距离，停靠站之间的距离为，为方便运输货物，现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．

（1）请判断的形状，并说明理由；
（2）求修建的公路的长．
20. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中，为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．
（1）这次调查中，一共调查了___________名学生；
（2）在扇形统计图中，“D”部分所对应的圆心角的度数为___________度；并补全条形统计图．
（3）若全校有4800名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？
21. 如图，于点D，于点E，，与交于点O．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22. 为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．
（1）足球和篮球的单价各多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元，学校最多可以购买多少个篮球？
23. 如图，在中，是上一点，，过点D作于点F，过点C作交延长线于点E．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求的长．
24. 如图，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上的一点，连结交于点，连结交于点，连结，，．
（1）求证：．
（2）若，求的值．
（3）在（2）的条件下，设，．
①求关于的函数表达式；
②若为的中点，求的值．
25. 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______；
（2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由．
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．