湖南省长沙市望城区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市望城区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数是无理数的是( )
A. B. C. D.
2.如图所示是第届杭州亚运会的运动图标，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.著名的数学苏步青被誉为“数学大王”为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约公里的行星命名为“苏步青星”，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.如图，，点，，在同一直线上，若，，则的度数是( )
A. B. C. D.
6.射击比赛中，某队员次射击成绩如图所示，则该队员成绩单位：环的中位数为( )
A. B. C. D.
7.不等式组的解集在数轴上可表示为( )
A. B.
C. D.
8.在一次函数中，随的增大而增大，那么的值可以是( )
A. B. C. D.
9.不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白峨眉山月歌，李白渡荆门送别和王维寄荆州张丞相三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.分解因式：______；
11.若一组数据，，，，的众数是，则这组数据的中位数为______．
12.已知：如图所示，边长为的等边，以边所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为______．
13.如图，是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于，则的值为______．
14.如图，是的直径，且，弦于点，，连接，则 ______．
15.为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得，则铁环的半径是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
18.本小题分
如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
请判断的形状？
求修建的公路的长．
19.本小题分
为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中，为了解学生对书籍种类：艺术类，：科技类，：文学类，：体育类的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项将数据进行整理并绘制成两幅不完整的统计图．
这次调查中，一共调查了______名学生；
在扇形统计图中，“”部分所对应的圆心角的度数为______度；并补全条形统计图．
若全校有名学生，请估计喜欢科技类的学生有多少名？
20.本小题分
如图，于点，于点，，与交于点．
求证：≌；
若，，求的长．
21.本小题分
为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球已知购买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元．
足球和篮球的单价各多少元？
根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，且足球和篮球的总费用不超过元，学校最多可以购买多少个篮球？
22.本小题分
如图，在中，，是上一点，，过点作于点，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是平行四边形．
若，，求的长．
23.本小题分
如图，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上的一点，连结交于点，连结交于点，连结，，．
求证：∽．
若，求的值．
在的条件下，设，．
求关于的函数表达式；
若为的中点，求的值．
24.本小题分
定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．

如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是______；
如图，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点连接，，，判断的形状并说明理由．
在的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.
解析：解：．是分数，属于有理数，不符合题意；
B.是无理数，符合题意；
C.是整数，属于有理数，不符合题意；
D.是有限小数，属于有理数，不符合题意．
故选：．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.
解析：解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3.
解析：分析
分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则进行计算，再逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
详解
解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选D．
4.
解析：解：．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
5.
解析：解：，，，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形外角和内角的关系，可以得到的度数，再根据平行线的性质，可以得到，从而可以得到的度数．
本题考查平行线的性质、三角形外角和内角的关系，解答本题的关键是求出的度数．
6.
解析：解：由条形统计图可得该队员次射击成绩单位：环为：，，，，，，，，，，
该队员成绩单位：环的中位数为．
故选：．
由条形统计图可得该队员次射击成绩，再根据中位数的定义即可求解．
本题主要考查中位数、条形统计图，读懂条形统计图，从图上获取解题所需信息是解题关键．中位数：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，若数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．若这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.
解析：解：，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
表示在数轴上如图：
故选：．
先解出每个不等式，从而可得不等式组的解集，再表示在数轴上，即可得答案．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取不等式公共解的方法．
8.
解析：【分析】
本题考查了一次函数的性质：对于一次函数，，随的增大而增大，函数图象从左到右上升；，随的增大而减小，函数图象从左到右下降。
根据一次函数的性质得到，然后解不等式得到的取值范围，再对各选项进行判断。
【解答】
解：随的增大而增大
解得
故选A。
9.
解析：解：把分别写有李白峨眉山月歌，李白渡荆门送别和王维寄荆州张丞相三首诗的卡片分别记为、、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有种，即、，
卡片上诗的作者都是李白的概率是，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中卡片上诗的作者都是李白的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
10.
解析：解：
故答案为：
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
11.
解析：解：将数据，，，，排序后处在第位的数是，因此中位数是．
故答案为：．
根据中位数的意义，从小到大排序后，找出处在第位的数即可．
本题考查中位数的求法，中位数是将一组数据排序后处在中间位置的一个数或两个数的平均数，理解中位数的意义是正确解答的前提．
12.
解析：解：过作，
，等边三角形，
，
点的坐标为，
故答案为：
根据等边三角形的性质解答即可．
此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质解答．
13.
解析：解：根据题意可知：，即．
又反比例函数的图象位于第二象限，
，
．
故答案为：．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即．
本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
14.
解析：解：弦，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
根据垂径定理求出，根据勾股定理及线段的和差计算即可．
本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
15.
解析：解：如图所示：连接，，，
为圆的切线，
，即，
又为圆的切线，
，即，
在中，，，
，，
及为圆的切线，
为的平分线，
则，
可得，
又，
，
在中，，，，
，即，
则圆的半径．
故答案为：
由铁环与桌面及边相切，根据切线的性质得到与垂直，与垂直，再由与都为圆的切线，根据切线长定理得到为角平分线，可得出，再由一对直角相等，根据三角形的内角和定理得出，由直角三角形中，根据直角三角形的两锐角互余得到求出的度数，进而得出邻补角的度数，确定出的度数，在直角三角形中，由的长及的值，利用锐角三角函数定义求出的长，即为圆的半径．
此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及三角形的内角和定理，是一道与实际生活密切相关的题型，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
16.解：原式
．
解析：利用绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂及特殊三角函数值计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.解：

；
当，时，
原式．
解析：先去括号，再合并同类项，得到化简后的结果，再把，代入化简后的代数式进行计算即可．
本题考查的是整式的加减运算，化简求值，熟练的去括号，合并同类项是解本题的关键．
18.解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形．
，
，
．
答：修建的公路的长是．
解析：根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形．
利用的面积公式可得，，从而求出的长．
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键．
19.解： ；；
的人数是：名，
补图如下：
名，
答：估计喜欢科技类的学生有名．
解析：解：名，
故答案为：；
所占百分比为，
扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为；
补全的条形统计图见答案；
见答案。
根据类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
用整体减去、、类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数；用总人数乘以所占的百分比，求出的人数，从而补全图形；
扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数等于所占的百分比乘以即可用总人数乘以所占的百分比，求出的人数，从而补全条形统计图
总人数乘以样本中所占百分比即可得．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，正确利用条形统计图得出正确信息是解题关键．
20.证明：在和中，
，
≌；
解：≌，
，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
．
解析：利用即可证明≌；
根据全等三角形的性质及线段的和差求出，利用证明≌，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.解：设足球的单价为元、篮球的单价为元，
根据题意可得：，
解得：，
答：足球的单价元、篮球的单价为元，
设学校最多可以购买个篮球，则买个足球，
，
解得：，
学校最多可以购买个篮球，．
解析：设足球的单价为元、篮球的单价为元，根据“个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元．”列方程组即可解决；
设学校最多可以购买个篮球，则买个足球，由“足球和篮球的总费用不超过元，”得不等式即可解决．
本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，理解题意找准数量关系是解决问题的关键．
22.证明：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
．
解析：根据垂直的定义得到，根据平行线的判定定理得到根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据平行线的性质得到根据平行四边形的性质得到根据三角函数的定义得到，设，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
23.证明：是的直径，弦于点，
，
，
，
∽；
解：，
设，则
是的直径，
，
，
∽，
．
，
．
，
．
．
由知：，
；
解：过点作于点，如图，
则．
由知：∽，
，
，
，
．
，
．
设，则，

，
．
，，
，
，
．
过点作于点，过点作于点，如图，
为的中点，，
垂直平分，，
，
是的直径，，
，
．
，
，

，，
∽，
，
，

．
解析：利用垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可；
设，则，利用直角三角形相似的判定定理和性质定理求得，，，利用直角三角形的边角关系定理和的结论解答即可；
过点作于点，由的结论得到，利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，则，利用已知条件得到与的关系，进而得到，的长度，利用已知条件化简即可得出结论；
过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质用的代数式表示出，，利用三角形的面积公式化简运算即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形是判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，垂径定理，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形或直角三角形是解题的关键．
24.，
解析：解：矩形的顶点坐标分别是，，，，
矩形的“梦之点”满足，，
点，是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”，
故答案为：，；
点，是抛物线上的“梦之点”，
，
解得：，，
当时，；
当时，，
，，
，
顶点，
，，，
，
是直角三角形；
存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由可得，，
设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形，
，
点、在直线上，
点在二次函数上，
联立，
解得：，，
点的坐标为或．
根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案；
根据“梦之点”的定义求出、的坐标，再求出顶点的坐标，计算出、、的长，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可得到答案；
由可得，，求出直线的解析式为，由菱形的性质可得点、在直线上，联立，解方程即可得到答案．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、菱形的性质、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键．