数学：湖南省长沙市望城区部分学校2024年中考一模试题（解析版）

这是一份数学：湖南省长沙市望城区部分学校2024年中考一模试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各数：中，无理数有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】是分数，是整数，它们均为有理数；
均为无限不循环小数，它们是无理数；
综上，无理数的个数共2个，
故选：B
2. 亚运会会徽图案中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A.是轴对称图形，符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意；
故选A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. a6÷a2＝a3
C. 5y3•3y2＝15y5D. a+a2＝a3
【答案】C
【解析】A、（a2b）3＝a6b3，故A错误；
B、a6÷a2＝a4，故B错误；
C、5y3•3y2＝15y5，故C正确；
D、a和a2不是同类项，不能合并，故D错误；
故选：C．
4. 华为Mate60Pr搭载了麒麟9000s芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比．已知7米等于7000000000纳米．数据7000000000用科学记数法为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】7000000000大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴7000000000用科学记数法表示为，
故选：D．
5. 如图，在中，是的平分线，，，则为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作于，于，

是的平分线，，
．故选：D．
6. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示，下列关于“月用水量”的数据分析说法正确的是（ ）
A. 平均数是B. 中位数是C. 方差是D. 众数是
【答案】C
【解析】、这组数据的平均数为（吨），故此选项不符合题意；
、根据，中位数应为第，的平均数（吨），故此选项不符合题意；
、方差是，故此选项符合题意；
、这组数据出现次数最多是吨，共出现次，所以用水量的众数是吨，故此选项不符合题意；
故选：．
7. 如图，是的直径，若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，
是的直径，
，
，
，
故选：．
8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组无解，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

故选：C．
9. 下列一次函数中，y随x增大而增大的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A. ①②③B. ①②⑤C. ①③⑤D. ①④⑤
【答案】C
【解析】∵一次函数y＝kx＋b中，k＞0时，y随着x的增大而增大，
∴①③⑤符合题意，
故选：C．
10. 《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝.小华要从这四部著作中随机抽取两木学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将四部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为，，，，用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：
由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即，，
所以恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率是＝，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 分解因式：__．
【答案】．
【解析】原式，
故答案为．
12. 若一组数据，，，，的众数是，则这组数据的方差为______．
【答案】
【解析】∵数据，，，，的众数是，
∴，
则数据为，，，，
∴这组数据的平均数为：，
∴这组数据的方差为：；
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】点的坐标是，
，
四边形为菱形，在x轴上，
，，
则点的坐标为．
故答案为：．
14. 如图，点M为反比例函数图象上的一点，轴于点A，B为y轴负半轴上一点，且满足，连接与x轴交于点C，若，则____________.
【答案】4
【解析】连接，
∵，
∴，
∵轴于点A，轴于点O,
∴，
∴，
∴
∴，
∵，轴于点A，
∴，
∵，
∴
∵点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，
∴，
∴，
故答案为：4
15. 如图，已知是半圆O的直径，弦，，弦与之间的距离为3，则_______．
【答案】10
【解析】过点O作，连接，则，
∵，弦与之间的距离为3，
∴，
∴，
∴．
16. 如图，在中，，，以为直径作半圆，过点作半圆的切线，切点为，过点作交于点，则______．
【答案】
【解析】延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图，
，，
为的切线，
为的切线，
，，
，
，，
，
，
设，则，
，
在中，，解得，即，
，，，
，，，
四边形为矩形，，
，，．
故答案：．
三、 解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
解：
.
18. 先化简，再求值：，其中，．
解：
，
当，时，原式．
19. 如图，乐乐从地铁站A出发，沿北偏东方向走1000米到达博物馆B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于地铁站南偏东方向的图书馆C处．
（1）求乐乐从博物馆走到图书馆的途中与地铁站A之间的最短距离；
（2）如果乐乐以80米/分的速度从图书馆C沿回到地铁站A，那么她在10分钟内能否到达地铁站A？（，）．
解：（1）过点A作于D，
由题意，得米，，，
在中，米，
答：乐乐从博物馆走到图书馆的途中与地铁站A之间的最短距离为500米；
（2）在中，，
∴乐乐回到地铁站A的时间为分钟，
而，
∴她在10分钟内能到达地铁站A．
20. 在某中学开展的读书活动中，为了解七年级400名学生暑期读书情况，随机调查了七年级部分学生暑期读书的册数．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为______，图①中m的值为______；
（2）这组数据的众数和中位数分别为______；求统计的这组数据的平均数；
（3）根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书的总册数．
解：（1）；
，
∴；
故答案为：40，25；
（2）3册的的人数最多，故众数为3，
将数据排序后，排在第20和第21位的数据均为3，故中位数为3，
平均数为：.
（3）（册）．
21. 如图，中，，平分，于．求证：
（1）；
（2）直线是线段的垂直平分线．
证明：（1）∵，
∴，
又∵平分，，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线．
22. 已知某品牌的饮料有大瓶装与小瓶装之分．某超市花了3800元购进一批该品牌的饮料共1000瓶，其中大瓶和小瓶饮料的进价及售价如下表所示：
（1）该超市购进大瓶和小瓶饮料各多少瓶？
（2）在大瓶饮料售出200瓶，小瓶饮料售出100瓶后，商家决定将剩下的小瓶饮料的售价降低0.5元销售，并把其中一定数量的小瓶饮料作为赠品，在顾客一次性购买大瓶饮料时，每满2瓶就送1瓶小瓶饮料，送完即止．超市要使这批饮料售完后获得的利润不低于1250元，那么小瓶饮料作为赠品最多只能送出多少瓶？
解：（1）设该超市购进大瓶饮料x瓶，小瓶饮料y瓶．由题意，得
，解得，
答：该超市购进大瓶饮料600瓶，小瓶饮料400瓶．
（2）设小瓶饮料作为赠品送出m瓶．由题意，得
7×600＋3×100＋（3－0.5）（300－m）－3800≥1250，
解得m≤80.
答：超市要使这批饮料售完后获得的利润不低于1250元，那么小瓶饮料作为赠品最多只能送出80瓶．
23. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使得，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
（1）证明：∵点E为的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵菱形，
∴．
∵矩形，
∴，．
在中，，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G．
①试探究线段与之间满足的数量关系；
②若，，求线段长．
（1）证明：如图1，连接，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是切线；
（2）解：①线段与之间满足的数量关系是：，
理由如下：如图2，过作于点，连接，
，
，且，
，
为公共边，
，
，
；
②过点C作，连接，过点C作，
是的直径，
，
，，
．
，
，
，
由得：，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，
，
，，
，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
．
，
，
四边形是矩形，
，
，
25. 如图，二次函数的对称轴是，图象与x轴相交于点和点，交轴于点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）点是对称轴上一点，当时，求点的坐标（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
解：（1）∵二次函数的对称轴是，
，，
由已知得，点是二次函数上一点，
把代入中得：，
解得：，
∴二次函数的解析式是；
（2）设对称轴与轴交于点，
∵二次函数的对称轴是，，
，，
在中，当时，，
，
，
是等腰直角三角形，
又∵点在对称轴上，且，
是等腰直角三角形，，
，
当点在轴上方时，坐标是，当点在轴下方时，坐标是；
∴综上，点的坐标是或．
（3）存在，
∵点和点关于对称轴对称，
∴点的坐标是，
∵点关于轴的对称点，，
，
，
解得：
∴使得的点的坐标是或．月用水量吨
户数
大瓶
小瓶
进价（元/瓶）
5
2
售价（元/瓶）
7
3