湖南省长沙市望城区2026届九年级中考一模数学试卷（含答案）

这是一份湖南省长沙市望城区2026届九年级中考一模数学试卷（含答案），文件包含湘教版九年级数学上册第3章单元知识梳理与易错精讲教师解析版docx、湘教版九年级数学上册第3章单元知识梳理与易错精讲学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共0页， 欢迎下载使用。
1.答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列实数中，最小的是（ ）
A B. 0C. 1D.
【答案】D
2. 据统计，2025年湖南省生产总值达到5530000000000元．将5530000000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 如图，这是由完全相同的个小立方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4. 下列结果计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
5. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 守株待兔B. 水中捞月C. 刻舟求剑D. 水涨船高
【答案】D
6. 某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 22°C，26°CB. 22°C，20°C
C. 21°C，26°CD. 21°C，20°C
【答案】D
7. 如图，直线，若，于点，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8. 如图，为的直径，弦与交于点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
9. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】C
10. 如图，将 与正方形按如图所示的方式摆放，边 在直线上，，， ，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点 重合时停止运动，在运动过程中，当与正方形重叠部分面积为时，其运动时间为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：_______．
【答案】
12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
【答案】
13. 方程的解为________．
【答案】
14. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为______．
【答案】
15. 如图所示的扇形中，，过点作，交于点，若，则阴影部分的面积为 _____．
【答案】
16. 你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关．大门密码是一个三位数ABC（A，B，C均为0~9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：
x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足．请推理出大门密码______．
【答案】
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
解：原式
．
18. 先化简，再求值：，其中．
解：，
．
当时，原式．
19. 如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，的周长为，求线段的长．
（1）证明：由作法得垂直平分，
，
四边形为矩形，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形为矩形，
，
垂直平分，
，
，
，
，
在中，
．
20. 随着城市人口越来越多，很多学校门前车辆拥堵现象日趋明显，为缓解交通压力，某校提倡人们尽可能选择步行或骑车上下学，某调查小组对全校学生的上下学方式（A：小汽车、B：骑电瓶车、C：骑自行车、D：步行）进行了调查，并绘制了不完整的统计图如下：
请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人，请补全条形统计图．
（2）全校4500名学生中，步行上学的人数为 人．
（3）现从A、B、C中各抽1名学生（男女生被抽取的概率相等）进行拥堵体验采访，请画树状图并求出刚好抽到两男一女的概率．
（1）解：本次抽样调查中的样本容量为：，
A的人数是人，
B的人数是人，
补全条形统计图如图：
（2）解：全校4500名学生中，步行上学的人数为人．
（3）解：画树状图得：
共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，刚好抽到两男一女的概率是．
21. 如图，是的直径，是的弦，作交于点，连接交于点，若．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
（1）解：与相切，理由如下：
如图，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
（2）
如图，连接，
，是的直径，
，，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得，
故的长为．
22. 2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元．
（1）求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？
（2）该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？
（1）解：设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元；
（2）解：该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台，
由题意得：，
解得：，
答：最多能购买A型机器人台．
23. 如图，已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．（参考数据： ）．
（1）真空管上端到水平线的距离；
（2）求安装热水器的铁架水平横管的长度．
（1）解：如图，过作于，
在中，，
则（米），
答：真空管上端到的距离约为米；
（2）在中，，
则（米），
，，，
四边形是矩形，
，，
米，
米，
在中，，
则（米），
（米），
答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米．
24. 如图，抛物线与 x 轴交于点，与y轴交于点 C，顶点为点 D，直线与x轴交于点 M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线；若M 为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线．根据该约定，完成下列各题．
（1）下列抛物线中是“型”抛物线的有： （填序号）；①；②；③；
（2）若抛物线为“型”抛物线，且直线的解析式为，求的值；
（3）抛物线G：为“型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“型”抛物线，试求出抛物线G的解析式．
（1）解：①中，当时，则，
∵，
∴方程无实数根，
∴抛物线与x轴无交点，
∴抛物线不为“型”抛物线；
②中，当时，则，解得，
此时不满足，
∴抛物线不为“型”抛物线；
③在中，当时，则，解得，
当时，，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∵的中点坐标为，
∴点M是的中点，
∴该抛物线为“型”抛物线；
（2）解：在中，当时，，当时，则，解得，
∴，；
∵抛物线为“型”抛物线，
∴M 为线段中点，
∴，
∴，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，则，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：平移前，在中，当时，，
∴，
∵抛物线G：为“型”抛物线，
∴M为线段中点，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线的解析式为，平移后的顶点坐标为，
在中，当时，，
∴平移后的抛物线与y轴交于点，
∵平移后的抛物线为“型”抛物线，
∴点和点组成的线段的中点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线G的解析式为．
25. 如图，四边形是内接四边形，对角线与相交于点，对角线平分．点 在线段上，满足，连接，．
（1）求证：；
（2）若 ，求 的值；
（3）若，的半径为，记 ，，试求出关于的函数解析式，并直接写出的最大值．
（1）证明：∵平分
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴到的距离相等，设到的距离为，到的距离为，
∴
∴，即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
（3）解：如图，连接，设交于点
∵平分
∴，
∴
∴
设，
∵
∴，
∴
又∵
∴
∵
∴
∴即平分
∴是的内心，
∴，
∴
∵
∴
又∵四边形是的内接四边形
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴是等边三角形，
∵的半径为，
∴，
∵，，
∴
∴
由（2）可得
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
，
，
∴当时，的最大值为．望城未来五年主要预期目标为；
①地区生产总值年均增长；
②全社会研发经费投入年均增长；
③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达，居民收入增长与经济增长同步．