湖南省长沙市望城区2026届九年级中考一模数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．下列实数中，最小的是（ ）
A．B．0C．1D．
2．据统计，2025年湖南省生产总值达到5530000000000元．将5530000000000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，这是由完全相同的个小立方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ）
A．B．
C．D．
4．下列结果计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列事件是必然事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．刻舟求剑D．水涨船高
6．某市五月份连续五天的日最高气温分别为23、20、20、21、26（单位：°C），这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．22°C，26°CB．22°C，20°C
C．21°C，26°CD．21°C，20°C
7．如图，直线，若，于点，则为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，为的直径，弦与交于点，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．B．C．1D．4
10．如图，将 与正方形按如图所示的方式摆放，边 在直线上，，， ，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点 重合时停止运动，在运动过程中，当与正方形重叠部分面积为时，其运动时间为（ ）
A．B．C．或D．或
二、填空题
11．分解因式：_______．
12．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
13．方程的解为________．
14．在平面直角坐标系中，将点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点N，则点N的坐标为______．
15．如图所示的扇形中，，过点作，交于点，若，则阴影部分的面积为 _____．
16．你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关．大门密码是一个三位数ABC（A，B，C均为0~9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：
x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足．请推理出大门密码______．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，的周长为，求线段的长．
20．随着城市人口越来越多，很多学校门前车辆拥堵现象日趋明显，为缓解交通压力，某校提倡人们尽可能选择步行或骑车上下学，某调查小组对全校学生的上下学方式（A：小汽车、B：骑电瓶车、C：骑自行车、D：步行）进行了调查，并绘制了不完整的统计图如下：
请根据图中信息解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有 人，请补全条形统计图．
(2)全校4500名学生中，步行上学的人数为 人．
(3)现从A、B、C中各抽1名学生（男女生被抽取的概率相等）进行拥堵体验采访，请画树状图并求出刚好抽到两男一女的概率．
21．如图，是的直径，是的弦，作交于点，连接交于点，若．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的长．
22．2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展．某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览．已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元．
(1)求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？
(2)该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？
23．如图，已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．（参考数据： ）．
(1)真空管上端到水平线的距离；
(2)求安装热水器的铁架水平横管的长度．
24．如图，抛物线与 x 轴交于点，与y轴交于点 C，顶点为点 D，直线与x轴交于点 M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线；若M 为线段中点，则称该抛物线为“型”抛物线．根据该约定，完成下列各题．
(1)下列抛物线中是“型”抛物线的有： （填序号）；①；②；③；
(2)若抛物线为“型”抛物线，且直线的解析式为，求的值；
(3)抛物线G：为“型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“型”抛物线，试求出抛物线G的解析式．
25．如图，四边形是内接四边形，对角线与相交于点，对角线平分．点 在线段上，满足，连接，．
(1)求证：；
(2)若 ，求 的值；
(3)若，的半径为，记 ，，试求出关于的函数解析式，并直接写出的最大值．
参考答案
1．D
解：∵，，且，
∴ ，
∴ 四个数中最小的是．
2．B
解：．
3．A
解：几何体的主视图如下图所示，
故选：A．
4．D
解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
5．D
【详解】A、守株待兔是不确定事件；
B、 水中捞月是不可能事件；
C、 刻舟求剑是不可能事件；
D、水涨船高是必然事件；
故选：D
6．D
【详解】解：把数据排序为：
所以中位数为21℃，众数为20℃．
故选：D
7．C
解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故选：C．
8．A
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
9．C
解：由题意，得：，
解得：；
故选C．
10．C
解：设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，则点运动的距离为，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
分三种情况讨论：
当时，点在点左侧或重合，点在上，此时重叠部分为直角梯形，其高为，下底为，如图，
设交于点，则为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
令，整理得，
解得，，
∵，
∴；
当时，点在上，点在上（未到达）， 此时 完全在正方形内部，如图
∴，
∵，
∴此时无解；
当时，点在右侧，点在左侧，此时重叠部分为（为与的交点），如图，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点运动的总距离为，初始在左侧处，点相对于的位置为，
∴，
∴，
令，即，
解得或，
∴或，
∵，
∴，
综上所述，当重叠部分面积为时，运动时间为或．
11．
解：
，
故答案为：．
12．
解：若在实数范围内有意义，则，
解得.
故答案为：.
13．
解：方程两边同乘，得
解得
检验：当时，
∴是原方程的解．
故答案为．
14．
解：∵点先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴，，
∴点 N的坐标为．
15．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
16．
解：根据题意，得，，
∵A为x最小值的整数部分；B为y的四分之一；C满足，
∴，
∴，
∴，
∴大门密码是．
17．6
解：原式
．
18．，
解：，
．
当时，原式．
19．(1)证明见详解；
(2)
（1）证明：由作法得垂直平分，
，
四边形为矩形，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形为矩形，
，
垂直平分，
，
，
，
，
在中，
．
20．(1)100，见详解
(2)1800
(3)
（1）解：本次抽样调查中的样本容量为：，
A的人数是人，
B的人数是人，
补全条形统计图如图：
（2）解：全校4500名学生中，步行上学的人数为人．
（3）解：画树状图得：
共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，刚好抽到两男一女的概率是．
21．(1)与相切，理由见解析
(2)的长为
（1）解：与相切，理由如下：
如图，连接，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
，是的直径，
，，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得，
故的长为．
22．(1)每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元；
(2)最多能购买A型机器人台．
（1）解：设每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每台型机器人的单价为元，每台型机器人的单价为元；
（2）解：该公司购买型机器人台（为正整数），则购买型机器人台，
由题意得：，
解得：，
答：最多能购买A型机器人台．
23．(1)真空管上端到的距离约为米
(2)安装热水器的铁架水平横管的长度约为米
（1）解：如图，过作于，
在中，，
则（米），
答：真空管上端到的距离约为米；
（2）在中，，
则（米），
，，，
四边形是矩形，
，，
米，
米，
在中，，
则（米），
（米），
答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米．
24．(1)③
(2)
(3)
（1）解：①在中，当时，则，
∵，
∴方程无实数根，
∴抛物线与x轴无交点，
∴抛物线不为“型”抛物线；
②在中，当时，则，解得，
此时不满足，
∴抛物线不为“型”抛物线；
③在中，当时，则，解得，
当时，，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∵的中点坐标为，
∴点M是的中点，
∴该抛物线为“型”抛物线；
（2）解：在中，当时，，当时，则，解得，
∴，；
∵抛物线为“型”抛物线，
∴M 为线段中点，
∴，
∴，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，则，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：平移前，在中，当时，，
∴，
∵抛物线G：为“型”抛物线，
∴M为线段中点，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线的解析式为，平移后的顶点坐标为，
在中，当时，，
∴平移后的抛物线与y轴交于点，
∵平移后的抛物线为“型”抛物线，
∴点和点组成的线段的中点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线G的解析式为．
25．(1)见解析
(2)
(3)，的最大值为
（1）证明：∵平分
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴到的距离相等，设到的距离为，到的距离为，
∴
∴，即，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
（3）解：如图，连接，设交于点
∵平分
∴，
∴
∴
设，
∵
∴，
∴
又∵
∴
∵
∴
∴即平分
∴是的内心，
∴，
∴
∵
∴
又∵四边形是的内接四边形
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴是等边三角形，
∵的半径为，
∴，
∵，，
∴
∴
由（2）可得
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
，
，
∴当时，的最大值为．望城未来五年主要预期目标为；
①地区生产总值年均增长；
②全社会研发经费投入年均增长；
③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达，居民收入增长与经济增长同步．