2022年湖南省长沙市望城区中考一模数学试卷（含解析）

这是一份2022年湖南省长沙市望城区中考一模数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年湖南省长沙市望城区中考一模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列运动图标中，属于轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
2．国家卫健委通报：截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗101000万余剂次，建立免疫屏障，我们一起努力！将数字101000用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且，则的度数为（　　）
  
A． B． C． D．
5．如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于（    ）

A． B． C． D．
6．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（    ）

A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V
C．当时， D．当时，
7．温州是盛产瓯柑之乡，某超市将进价为每千克5元的瓯柑按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了减少库存且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售瓯柑的利润为120元，则可列方程为（ 　 ）
A． B．
C． D．
8．若一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则函数y=ax2+bx的图象只可能是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（    ）

A． B．
C． D．
10．如图，边长为6的等边三角形中，是对称轴上一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转60度得到，连接，则在点运的过程中，最小值是（    ）

A． B．2 C． D．

二、填空题
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ________．
12．如表记录某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果：
抽取的毛绒玩具数








优等品的频数








优等品的频率








从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是_________．（精确到）
13．请写出一个图象经过第一、二、四象限且与y轴交于点的一次函数的解析式 _____．
14．已知扇形半径是3cm，弧长为，则扇形的圆心角为___________度．
15．如图，四边形是的内接四边形，对角线是的直径，，，则的半径长为_______．

16．已知等边三角形的边长是4，以边上的高为边作等边三角形，得到第一个等边三角形，再以等边三角形的边上的高为边作等边三角形，得到第二个等边三角形，再以等边三角形的边边上的高为边作等边三角形，得到第三个等边；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形的边长为______．


三、解答题
17．计算：﹣2cos30°+（1﹣π）0+|﹣|．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，于点．

(1)尺规作图：作的平分线交于点(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在（1）所作的图形中，求的度数．
20．某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．
身高分组
频数
频率
152≤x＜155
3
0.06
155≤x＜158
7
0.14
158≤x＜161
m
0.28
161≤x＜164
13
n
164≤x＜167
9
0.18
167≤x＜170
3
0.06
170≤x＜173
1
0.02
根据以上统计图表完成下列问题：
（1）统计表中m= ，n= ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）在这次测量中两班男生身高的中位数在： 范围内；
（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．
21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．

(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
22．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元），
x（元kg）



y（kg）



(1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为________；（不用写自变量的取值范围）
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？
23．已知：如图，是半圆O的直径，C是延长线上的一点，，交CD的延长线于点E，交半圆O于点F，且D为弧的中点．

(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，，求的长．
24．阅读理解：如果一个角与一条折线相交形成一个封闭图形，那么这条折线在封闭图形上的部分就称为这个角的“组合边”．

例如：图①中∠BAC的两边与直线l相交构成一个封闭图形，直线l在封闭图形上的部分线段ED就称为∠BAC的“组合边”；再例如：图②中∠QPK的“组合边”有3条，分别是线段MN、NG和GH．
解决问题：在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点M在线段AD上且AM=1．射线MP在直线AD的下方，将PM绕着点M逆时针旋转90°得到射线MQ，∠PMQ的两边MP和MQ分别交矩形的边于点E和点F．设∠AMP为β，0≤β≤90°．
(1)如图③，若β=30°，求∠PMQ“组合边”的所有边长和；
(2)当射线MP经过点B时，请判断点F落在矩形ABCD的哪条边上，并说明理由；
(3)若∠PMQ“组合边”的所有边长和为4.5，求AE的值．（直接写出此小题的答案）
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，．

(1)如图（1）求抛物线的解析式．
(2)如图（2）点R在第一象限的抛物线上，连接，，点R的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写自变量t的取值范围）
(3)如图（3）在（2）的条件下，当时，点Q是第四象限抛物线上一点，交于点P，交射线于点N，点F在线段上，作交射线于点M，连结，交于点D，若，的面积为，求点Q的坐标．

参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】A．不是轴对称图形，不符合题意，
B．是轴对称图形，符合题意，
C．不是轴对称图形，不符合题意，
D．不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为：（其中为整数）．确定n的值，要看把原数变为a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n为非负整数；当原数绝对值<1时，n为负整数．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．掌握科学记数法的表示形式（其中为整数）是解题关键．
3．C
【分析】根据合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
4．A
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由两角互余的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
  
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
5．C
【分析】根据等积法求出点到直线的距离即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
即点到直线的距离为，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形面积计算，点到直线的距离，解题的关键是根据等积法求出．
6．C
【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．
【详解】解：设，将代入可得，故A错误；
∴蓄电池的电压是36V，故B错误；
当时，，该项正确；
当当时，，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
7．B
【分析】当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为（3-x）元，平均每天的销售量为（50+10x）千克，利用超市每天销售瓯柑获得的利润=每千克的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为8-x-5=（3-x）元，
平均每天的销售量为（50+10x）千克，
依题意得：（3-x）（50+10x）=120．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．D
【分析】根据一次函数y=ax+b的图象位置确定a、b的符号，根据a、b的符号确定二次函数y=ax2+bx图象的位置即可得．
【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，
对称轴x=->0，在y轴右边，
∴函数y=ax2+bx的图象只可能是D，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数解析式的系数与图象位置的关系．图象的所有性质都与解析式的系数有着密切关系．
9．D
【分析】要使△ABC的面积S=BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，

∵A'D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
sinθ= ，cosθ=，
∴BD=sinθ，OD=cosθ，
∴BC=2BD=2sinθ，
A'D=A'O+OD=1+cosθ，
∴S△A'BC=AD•BC=•2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
10．C
【分析】取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解．
【详解】解：取线段的中点，连接，如图所示．
为等边三角形，且为的对称轴，
，，
，
．
在和中，
，
，
．
当时，最短，即最短．
点为的中点，
此时．
故选：C．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．
11．
【分析】根据负数没有平方根列出关于x的不等式，求出不等式的解集确定出x的范围即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，即，
则x的范围是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质为：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．
【分析】根据表格中优等品的频率大概在左右浮动即可解答．
【详解】解：∵表格中优等品的频率大概在左右浮动
∴从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是，
故答案为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，根据频率的集中趋势估计概率是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】先确定一次函数中k，b的范围，再结合直线经过点求出b值，然后讨论k的值得出关系式即可．
【详解】设一次函数解析式为，
∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，．
∵直线经过点，得，
若k取，则一次函数解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，掌握一次函数图象经过的象限与函数的系数之间的关系是解题的关键．
14．90
【分析】已知扇形半径是3cm，弧长为，直接利用弧长公式即可求出n的值．
【详解】解：，
解得：，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了弧长计算公式的应用，掌握弧长公式是解题的关键．
15．
【分析】先根据圆周角定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得，由此即可得．
【详解】是的直径，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
则的半径长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
16．
【分析】由为边长为4的等边三角形的高，利用三线合一得到为的中点，求出的长，利用勾股定理求出的长，同理求出，，依此类推，得到第个等边三角形的面积．
【详解】解：∵等边三角形的边长为4，，
∴，，根据勾股定理得：，即：，
则，等边三角形的边长为，，
∴，，根据勾股定理得：，即：，
则，等边三角形的边长为3，，
∴，，根据勾股定理得：，即：，
；
依此类推，第个等边三角形的边长为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
17．4．
【分析】先计算算术平方根、三角函数值、计算零指数幂和绝对值，再计算乘法，最后计算加减可得．
【详解】解：原式＝3﹣2×+1+
＝3﹣+1+
＝4．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．，
【分析】先进行化简得，再将代入进行计算即可得．
【详解】解：原式=
=
=
=
当时，原式=．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题的关键是掌握分式化简求值．
19．(1)见解析
(2)11°

【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图解答即可；
（2）根据三角形内角和定理及角平分线定义求出∠CAE，根据直角三角形的性质求出∠CAD，即可得到的度数．
【详解】（1）如图，AE即为所求；

（2）解：∵∠B=46°，∠C=68°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=33°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=22°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=33°-22°=11°．
【点睛】此题考查了角平分线的作图，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，正确掌握角平分线的作图及直角三角形的性质是解题的关键．
20．(1) 14，0.26．补图见解析；(2) 161≤x＜164．（3）．
【分析】（1）设总人数为x人，则有=0.06，解得x=50，再根据频率公式求出m，n．画出直方图即可；
（2）根据中位数的定义即可判断；
（3）画出树状图即可解决问题；
【详解】解：（1）设总人数为x人，则有=0.06，解得x=50，
∴m=50×0.28=14，n==0.26．
频数分布直方图：

（2）观察表格可知中位数在 161≤x＜164内，
（3）将甲、乙两班的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2树状图如图所示：

所以P（两学生来自同一所班级）=．
考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数．
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴ ∠AEF＝90°，
∴ 四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10－4＝6，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得:，
在Rt△ACE中，
由勾股定理得：，     
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练运用菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键．
22．(1)；
(2)当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元；
(3)当时，日获利w不低于元．

【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
（3）由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
把和代入得：

解得：，
；
（2）解：由题意得：



∵，对称轴为直线．
∵，
∴当时，w有最大值为元
∴当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为元；
（3）解：当元时，
有：，
解得：或，
∵，
∴当时，，
又∵，
∴当时，日获利w不低于元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用；理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)8

【分析】（1）连接，根据D是弧的中点可以得到，根据直径所对的圆周角是直角可以得到，则，因而可以证得，从而证得是半圆O的切线；
（2）先证明，求出的长，再证明，求出的长即可．
【详解】（1）证明：连接，

∵D为弧的中点，
∴，
又∵AB是半圆O的直径，
∴，又，
∴，
∴，
∴是半圆O的切线；
（2）解：∵切半圆O于点D，
∴，又，
，，
，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论、相似三角形的性质与判定以及切线的判定，判定切线的问题常用的方法是转化成证明垂直问题．
24．(1)∠PMQ“组合边”的所有边长和为3+
(2)点F落在矩形ABCD的CD边上，理由见解析
(3)AE的值为1.5或2

【分析】（1）运用特殊角三角函数值可求出AE和PH的长，即可根据“组合边”的定义求得答案；
（2）假设点F落在矩形ABCD的BC边上，求得AG=5>AD，证明点F落在矩形ABCD的CD边上；
分三种情况讨论：当E、F分别在AB、BC上时，当E、F分别在AB、CD上时，当E、F分别在BC、CD上时，运用相似三角形性质建立方程求解即可；
【详解】（1）解：∵Rt△APE中，β=30°，AM=1，
∴AE=，
∴BE=2-；
作FH⊥AD，

∴Rt△FMH中，∠FMH=60°，FH=2，
∴MH=，
∴AH=BF=1+，
∴∠QPK“组合边”的所有边长和=2-+1+=3+；
（2）解：假设点F落在矩形ABCD的BC边上，
作FG⊥AD，

∵∠A=∠EMF=∠MGF=90°，
∴∠AME+∠AEM=∠AME+∠GMF=90°，
∴∠AEM=∠GMF，
∴，
∴，即，
∴GM=4
∴AG=5>AD，
∴点F落在矩形ABCD的BC边上不符合题意，
∴点F落在矩形ABCD的CD边上；
（3）解：当E、F分别在AB、BC上时，如图，作FH⊥AD，设AE=x，

则BE=2-x，BF=4.5-(2-x)=2.5+x，MH=2.5+x-1=1.5+x，
∵∠A=∠EMF=∠MGF=90°，
∴∠AME+∠AEM=∠AME+∠FMH=90°，
∴∠AEM=∠FMH，
∴，
∴，即，
解得：x=1.5；
当E、F分别在AB、CD上时，如图2-2，设AE=x，

则BE=2-x，CF=4.5-4-(2-x)=-1.5+x，DF=2-(-1.5+x)=3.5-x，
∵∠EMF=∠A=∠D=90°，
∴∠AME+∠AEM=∠AME+∠FMD=90°，
∴∠AEM=∠FMD，
同理：，即，
解得x1=1.5（舍去），x2=2；
即射线MP经过点B；
当E、F分别在BC、CD上时，如图，设DF=y，

作EH⊥AD于点H，
∴∠EHA=∠EHM=∠A=∠B=∠FME=90°，
∴四边形ABEH是矩形，
∴EH=AB=2，
∵∠EMH+∠DMF=∠EMH+∠MEH=90°，
∴∠DPF=∠PEH，
同理：，
∵CF+CE=4.5，DF=y，
∴AH=BE=6-4.5-y=1.5-y，
∴MH=AM-AH=1-（1.5-y）=y-0.5，
∴，解得y=1.5，
BE=1.5-y=0，即射线MP经过点B；
综上所述，AE的值为1.5或2．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形性质，解直角三角形，勾股定理等，综合性强，难度大；理解并运用“组合边”新定义，合理添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想、方程思想、数形结合思想解决问题是解题关键．
25．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）先求出，再根据，可得，即有，问题随之得解；
（2）过点R作轴于点H，根据当时，即有，解方程可得，，即有，设，即，，进而有，根据列式即可；
（3）设，为锐角，先求出，即有，再证明接着证明：当时，，再根据，可得，进而可得，得等腰；证明四点共圆，即有，即可证明平分，根据角分线分线段成比例，得，即有，，，，即：，过点M作于点W，过点P作于点S，过点Q作于点L，解，设，即有，，利用，解得，则，可得，在中，设，即有，可得，把代入抛物线解析式中，解方程即可求解．
【详解】（1）当时，，
∴，，
∴，
∴，
把代入中，
得抛物线解析式为；
（2）过点R作轴于点H，

当时，即有，
解得，，
∴，，
∴，
∵R在抛物线上，其位于第一象限，点R的横坐标为t，
∴设，
即，，
∴，
∴；
（3）设，为锐角，
∵，
∴，，，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图：

由上图可知：当时，，
∵，
∴，
在中，
有，
即，
∴，得等腰，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即有四点共圆，
∴，
∴，
即有：，
∴平分，
根据角分线分线段成比例，得，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
即：，
过点M作于点W，过点P作于点S，
过点Q作于点L，
解，设，
∵，，
∴，，
∴，
解得，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，利用勾股定理得，
∴，可得，
在中，设，，
∴，
∴根据Q在第四象限，可得，

把代入抛物线解析式中，
得，
解得，（结合Q在第四象限）
∴．
【点睛】本题是一道二次函数与几何的综合题，属于中考压轴题．本题考查了解直角三角形、二次函数的性质、角分线分线段成比例、圆周角定理等知识．题中已知量较多，构筑合理的辅助线，灵活运用相关知识，是解答本题的关键．