专题22 函数识别与图象信息综合题（共46题）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（北京专用）

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1．（2022·北京·统考中考真题）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可判定．
【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该图象表示；
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为，
则矩形的面积为：，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
2．（2021·北京·统考中考真题）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：
，整理得：，
，
∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；
故选A．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．
3．（2020·北京·统考中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
【分析】设水面高度为 注水时间为分钟，根据题意写出与的函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：设水面高度为 注水时间为分钟，
则由题意得：
所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，
故选B．
【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2023·北京海淀·清华附中校考一模）如图，长方体的体积是100m3，底面一边长为2m．记底面另一边长为xm，底面的周长为lm，长方体的高为hm．当x在一定范围内变化时，l和h都随x的变化而变化，则l与x，h与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．反比例函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，反比例函数关系
【答案】D
【分析】根据底面的周长公式“底面周长=2（长+宽）”可表示出l与x的关系式，根据长方体的体积公式“长方体体积=长×宽×高”可表示出h与x，根据各自的表达式形式判断函数类型即可．
【详解】解：由底面的周长公式：底面周长=2（长+宽）
可得：
即：
l与x的关系为：一次函数关系．
根据长方体的体积公式：长方体体积=长×宽×高
可得：
h与x的关系为：反比例函数关系．
故选：D
【点睛】本题考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数、二次函数、反比例函数等知识，熟知函数的相关类型并且能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键．
5．（2023·北京东城·统考一模）如图，动点P在线段上（不与点A，B重合），分别以为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则表示y与x之间关系的图象大致是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】假设，则，然后根据求出y关于x的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：假设，则，
∴

，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y关于x的函数关系式是解题的关键．
6．（2023·北京海淀·统考一模）图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】设两个直线关系式，再表示出z，x之间的关系式，即可得出图象．
【详解】根据图像可知y与x是一次函数，z和y是正比例函数，设关系式为，
，
所以，可知z与x是一次函数，
所以图像C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图像的判断，表示出各函数关系式是解题的关键．
7．（2023·北京房山·统考二模）如图1，在中，，D，E分别是边的中点，点F为线段上的一个动点，连接． 设，图1中某条线段长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】观察图2，确定x为何值取得最小值即可一一判断．
【详解】解：A.观察图2可知在时取得最小值，故选项A不符合题意；
B．观察图2可知在时取得最小值，故选项B不符合题意；
C．观察图2可知在时取得最小值，故选项C符合题意；
D．观察图2可知在取得最小值为0，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，灵活应用所学知识是解题的关键，学会利用函数的最值解决问题．
8．（2023·北京西城·统考二模）下面的三个问题中都有两个变量：
①京沪铁路全程为，某次列车的平均速度y(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间x(单位：h)；
②已知北京市的总面积为，人均占有面积y(单位：/人)与全市总人口x(单位：人)；
③某油箱容量是的汽车，加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了．油箱中的剩油量与加满汽油后汽车行驶的路程．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )

A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】分别求出三个问题中变量与变量之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：①由平均速度等于路程除以时间得：，符合题意；
②由人均面积等于总面积除以总人口得：，即，符合题意；
③由加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了，可知每公里油耗为：，再由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加满汽油后汽车行驶的路程得：，不符合题意；
综上分析可知，变量 y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是①②．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式是解题的关键．
9．（2023·北京丰台·统考一模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（ ）
①圆的周长C是半径r的函数；②表达式中，y是x的函数；
③下表中，n是m的函数；
④下图中，曲线表示y是x的函数
A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案．
【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意；
②表达式中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意；
由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意；
在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．
10．（2023·北京石景山·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①圆的面积与它的半径；
②将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量与放水时间；
③某工程队匀速铺设一条地下管道，铺设剩余任务与施工时间．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【答案】D
【分析】由图象可知，图象为一次函数的图象，且随的增大而减小，逐一分析每一条中与的关系，即可得出结论．
【详解】解：由图象可知：图象为一次函数的图象，且随的增大而减小；
①圆的面积随着半径的增大而增大，不符合题意；
②将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量随着放水时间的增大而减小，而且是匀速减小，符合题意；
③某工程队匀速铺设一条地下管道，铺设剩余任务随着施工时间的增大而减小，且匀速减小，符合题意．
综上，符合题意的是②③；
故选D．
【点睛】本题考查图象法表示函数．解题的关键是从图象中有效的获取信息．
11．（2023·北京东城·统考二模）两个变量满足的函数关系如图所示．

①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y米；
②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升；
③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x天，完成的修路长度为y米．
在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】根据函数图象及题意可直接进行求解．
【详解】解：由图象可知：当时，此函数为正比例函数，比例系数为；当时，函数值没有发生变化；当时，y随x的增大而减小，比例系数为，所以通过函数图象可知情境①②符合该函数图象所表示的意义，③不符合；
故选A．
【点睛】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数图象所给的信息是解题的关键．
12．（2023·北京门头沟·统考一模）如图，正方形的边长为2，点E是上一动点（点E与点A，B不重合），点F在延长线上，，以，为边作矩形．设的长为x，矩形的面积为y，则y与x满足的函数关系的图像是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【分析】延长、相交与点，然后用含的式子表示面积，得到关于的函数解析式，根据图像即可判断．
【详解】解：如图，延长、相交与点，
则四边形为矩形，，
所以
这个函数的图像为抛物线，开口向下，只有C答案符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像，根据矩形的性质通过数形结合建立函数模型是求解的关键．
13．（2023·北京昌平·统考二模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下．
那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（ ）

A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
【分析】先建立平面直角坐标系，然后描出各点，观察这些点的分别规律即可得出结论．
【详解】解：如图，以供水时间为横轴，箭尺读数为纵轴建立平面直角坐标系，描出以表格中数据为坐标的点，，，，：

观察图中各点的分布规律，可知它们都在同一条直线上，
∴箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是一次函数．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象是一条直线是解题的关键．
14．（2023·北京平谷·统考一模）摄氏温度（）与华氏温度（）是表示温度的两种方法，它们的关系如下：
若设摄氏温度（）为x，华氏温度（）为y，y与x之间满足如下我们学习过的一种函数关系，则y与x满足的函数关系为（ ）
A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数
【答案】B
【分析】根据表格信息，求出函数解析式即可．
【详解】解；由表格数据可得：，，
∴，
∴，
∴摄氏温度（）与华氏温度（）满足的函数关系是一次函数，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，根据表格中数据求出函数解析式是解题的关键．
15．（2023·北京·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长与边长；
②一个三角形的面积为5，其底边上的高与底边长；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度与骑行时间；
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】B
【分析】分别求出三个问题中变量与变量之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：①∵正方形的周长为，边长为，
∴，不符合题意；
②∵一个三角形的面积为5，其底边上的高为，底边长为，
∴，即，符合题意；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度为，骑行时间为，
∴，即，符合题意；
综上分析可知，变量 y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是②③，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式是解题的关键．
16．（2023·北京房山·统考一模）如图1，在边长为4的等边中，点在边上，设的长度为自变量，以下哪个量作为因变量，使得，符合如图2所示的函数关系（ ）
A．的面积 B．的周长 C．的面积 D．的周长
【答案】C
【分析】由图象可知，随着的增大而减小，当时，，逐一进行判断即可；
【详解】解：A、的面积随着的增大而增大，不符合题意；
B、当时，即点与点重合时，的周长最大，不为0，不符合题意；
C、的面积随着的增大而减小，当重合时，取得最大值，当重合时，面积为0，符合题意；
D、的周长随着的增大而减小，当重合时，周长不为0，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查动点的函数图象．从图象中有效的获取信息，是解题的关键．
17．（2023·北京朝阳·清华附中校考模拟预测）如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．
则下面叙述中正确的是（ ）
A．点A的横坐标有可能大于3
B．矩形1是正方形时，点A位于区域②
C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
【答案】D
【分析】由图形可知：当时，，从而可判断A；根据点A是直线与双曲线的交点可判断B；求出可判断C；由点A位于区域①可得，由形2落在区域④中可得，从而可判断D．
【详解】设点（x，y均为正数），
A、设反比例函数解析式为：，
由图形可知：当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点A的横坐标不可能大于3，
故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x， ，
则点A是直线与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，
故选项B不正确；
C、当一边为x，则另一边为，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，
故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点，
∴，即另一边为：，
矩形2落在区域④中，，即另一边，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；
如矩形的两条邻边长分别为0.9，2.9时，两个矩形都符合题意且全等，
故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象和新定义，理解x和y的意义是关键，并注意用数形结合的思想解决问题．
18．（2023·北京大兴·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：（ ）
①面积一定的等腰三角形，底边上的高与底边长；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量与放水时间；
③计划从A地到B地铺设一段铁轨，每日铺设长度与铺设天数.
其中，变量与变量满足反比例函数关系的是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】分别求出对应的与的关系，再根据表达式判断即可．
【详解】解：①面积一定的等腰三角形时，
则底边上的高与底边长的关系为：，是反比例函数，故①符合题意；
②设泳池原有体积为，放水速度为，
则泳池中的剩余水量与放水时间的关系为：，是一次函数，故②不符合题意；
③设轨道总长为，
则每日铺设长度与铺设天数的关系为：，是反比例函数，故③符合题意；
故选：B．
【点睛】题主要考查了列函数关系式及反比例函数的识别，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
19．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考二模）如图所示是我国现存最完整的古代计时工具——元代铜壶滴漏，该滴漏从上至下通过多级滴漏，使得上层“壶”中的水可以匀速滴入最下层的圆柱形“壶”中，“壶”中漂浮的带有刻度的木箭随水面匀速缓缓上移，对准标尺就可以读出时辰，如果用表示时间，用表示木箭上升的高度，那么下列图象能表示与的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据最下层的“壶”是圆柱形，可得最下层的“壶”中水面上升的高度，即“壶”中漂浮的带有刻度的木箭上升的高度y与时间x是正比例关系，进而即可判断求解．
【详解】解：∵最下层的“壶”是圆柱形，
∴最下层的“壶”中水面上升的高度，即“壶”中漂浮的带有刻度的木箭上升的高度y与时间x是正比例关系，即y与x的函数图象是正比例函数图象，
故选：A．
【点睛】本题考查函数图象的应用，解题的关键正确解读题意和函数图象．
20．（2023·北京顺义·统考一模）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，沿着水平面继续滚动一段距离后停止，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2所示，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】小球从斜坡上滚下时，运动路程是的二次函数，图象开口向上，图象变化趋势是先缓后陡，由此即可判断得出结论．
【详解】解：由题意可知当小球在斜坡上滚下时，设，
则，
∴运动路程是的二次函数，图象开口向上，图象变化趋势是先缓后陡；
当小球在水平面滚动时，设，
则，
∴运动路程是的二次函数，图象开口向下，图象变化趋势是先陡后缓；
故选C
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，列出函数表达式，灵活运用所学知识解决问题．
21．（2023·北京丰台·二模）下面三个问题中都有两个变量：
①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；
②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x；
③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x

其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】根据y值随x的变化情况，逐一判断．
【详解】解：①当货车开始进入隧道时y逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时y不变且最大，当货车开始离开隧道时y逐渐变小．故①正确；
②王大爷距离家先y逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时y不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即y逐渐变小，故②正确；
③往空杯中匀速倒水，倒满后停止，水的体积逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水量先保持不变，然后逐渐减少，杯中水的体积y与所用时间x，变量y与x之间的函数关系符合图象，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．
22．（2023·北京海淀·校考一模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随气球内气体的体积（单位：立方米）的变化而变化，随的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积的函数关系最可能是
A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．反比例函数
【答案】D
【分析】根据结合反比例函数的定义判断即可．
【详解】由表格数据可得，即，
∴气球内气体的气压P与气球内气体的体积的函数关系最可能是反比例函数，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
23．（2023·北京延庆·统考一模）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系B．二次函数关系
C．正比例函数关系D．反比例函数关系
【答案】A
【分析】设另一边为y，矩形的周长为 ，可用x来表示y，即可得到y关于x的函数关系式．
【详解】解：设另一边为y，
由题意得，，
∴，
∴，
即满足一次函数关系，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键．
24．（2023·北京平谷·统考二模）如图，一款旅行保温水壶，拧开瓶盖即为自带的小水杯，若满满一水壶水可以装满水杯．现在水壶中还有一半的水，拧开瓶盖向小水杯中匀速的倒水，设水壶中剩余的水量为（毫升），水杯中的水量为（毫升），倒水的时间为（秒），则从开始倒水到水杯注满水的过程中，，均是的函数，它们随着的变化而变化的过程可以描述为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数与自变量之间的数量关系即可解答．
【详解】解：∵满满一水壶水可以装满水杯，现在水壶中还有一半的水，
∴现在水壶中的水可以装满个水杯，
∵设水壶中剩余的水量为（毫升），水杯中的水量为（毫升），倒水的时间为（秒），
∴当与相等时就停止，
即减小时，增大，当水杯中装满水时水壶就停止倒水，
故选．
【点睛】本题考查了函数与自变量之间的关系， 明确题意找出数量关系与等量关系是解题的关键．
25．（2023·北京石景山·统考二模）如图，在中，，．点P是边上一动点（不与C，B重合），过点P作交于点．设，的长为，的面积为，则与x，S与满足的函数关系分别为（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】先求出，再求出，然后解得到，，进而得到，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴与x，S与满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边对等角，列函数关系式，正确求出，是解题的关键．
26．（2023·北京顺义·统考二模）某超市一种干果现在的售价是每袋元，每星期可卖出袋，经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价元，每星期就少卖出袋．已知这种干果的进价为每袋元，设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）．则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数，二次函数B．一次函数，反比例函数
C．反比例函数，二次函数D．反比例函数，一次函数
【答案】A
【分析】设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）根据题意列出与，与的函数关系式，即可求解．
【详解】解：设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）根据题意得，
是一次函数，
是二次函数，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键．
27．（2023·北京大兴·统考二模）如图1，点P，Q分别从正方形的顶点A，B同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点Q的速度是点P速度的2倍，当点P运动到点B时，点P，Q同时停止运动．图2是点P，Q运动时，的面积y随时间x变化的图象，则正方形的边长是（ ）

A．2B．C．4D．8
【答案】C
【分析】根据图2可知，时，点Q运动到点C，点P运动到的中点，的面积为4，进行计算即可．
【详解】当点Q在上运动时，的面积为
当时，的面积为4
即
此时点为的中点
故
解得
故选：C．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，三角形的面积公式，动点问题的函数图象等，解题的关键是根据图象分析得到时，点Q运动到点C，点P运动到的中点，且的面积为4．
28．（2023·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量：
①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间；
②一个体积固定的长方体，长方体的高与底面积；
③矩形面积一定时，周长与一边长；
其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】根据图象，可以得到两个变量之间成反比关系，即两个变量的乘积为定值，逐一进行判断即可．
【详解】解：①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间的乘积为定值，符合题意；
②一个体积固定的长方体，长方体的高与底面积的乘积为定值，符合题意；
③矩形面积一定时，周长与一边长的乘积不是定值，不符合题意；
∴变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是①②；
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数．通过图象得到两个变量之间成反比关系，是解题的关键．
29．（2023·北京海淀·北京交通大学附属中学校考模拟预测）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．圆的面积y与它的半径x
B．正方形的周长y与它的边长x
C．小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x
D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x
【答案】D
【分析】根据题意求出两个变量之间的函数关系式分别判断即可．
【详解】圆的面积y与它的半径x的关系式为
圆的面积y随半径x的增大而增大，故A选项不符合题意；
正方形的周长y与它的边长x的关系式为
正方形的周长y随边长x的增大而增大，故B选项不符合题意；
设路程为，则所用时间y与平均速度x的关系式为
所用时间y随平均速度x的增大而减小，故C选项不符合题意；
设铁丝的长度为，则矩形的面积
矩形的面积y与边长x的之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故D选项符合题意．
故答案选D．
【点睛】本题考查了函数的图象，准确地得出两个变量之间的关系式是解题的关键．
30．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考一模）用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，一次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，正比例函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断．
【详解】解：由题意可得：，
即：，
∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
31．（2023·北京海淀·校联考模拟预测）如图，在中，，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．
【详解】解：由题意得，AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝AC−AM＝5−t，
即y＝5−t，
∴S＝MC•CN＝5t−t2，
因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．
32．（2023·北京·校联考一模）已知在正方形中，P是对角线上一个动点，过P作、的平行线分别交正方形的边于E、F和M、N，若，图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设在正方形的边长为a，首先可证得四边形、都是矩形，四边形、都是正方形，可求得，，再由，即可求得则y与x之间的函数关系，据此即可判定．
【详解】解：设在正方形的边长为a，
四边形是正方形，
，，，，
过P作、的平行线分别交正方形的边于E、F和M、N，
四边形、都是矩形，
四边形、都是正方形，
，
，
，
该函数的图象是开口向下的抛物线，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，求函数解析式，几何问题与二次函数，准确求得函数解析式是解决本题的关键．
33．（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】A
【分析】先求出，再证明都是等腰直角三角形，从而推出，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
34．（2023·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）小明晚饭后出门散步，从家点O出发，最后回到家里，行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】可将小明的运动过程分成三段，O点到A点，A点到B点，B点到O点，然后分析每段运动过程对应的图像，并作出选择．
【详解】解：如图可将小明的运动过程分成三段，O点到A点，A点到B点，B点到O点，
当小明由O点到A点时：h随着t的增加而增加，
当小明由A点到B点时：随着t的增加h不变，
当小明由B点到O点时：h随着t的增加而减小，
所以函数图像变化趋势为，先增加，再不变，最后减小，
故C选项与题意相符，
故选：C．
【点睛】本题考查根据实际问题分析与之对应的函数图像，能够将实际问题进行分段分析，并将每一段对应的函数图像画出是解决本题的关键．
35．（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．①④
【答案】D
【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，设点，则，根据BC=AB，可得关于a的方程，有解，可得①正确；若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，可得到点B，C的坐标，从而得到AB≠BC，可得②错误；取a的不同的数值，可得③错误；根据平行四边的面积，可得平行四边的面积等于8，可得④正确，即可求解．
【详解】解：如图，
∵BC⊥y轴，
∴BC∥AD，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点，则，
①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB，
∴，
∵点A的坐标是，
∴，
∴，解得：，该方程有解，
∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确；
②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，
∵点A的坐标是，
∴点B的横坐标为5，
∵点B是函数图象上，
∴点B的纵坐标为，
∴
∵BC⊥y轴，
∴点C的纵坐标为，
∵点C是函数的图象的一点，
∴点C的横坐标为，
∴此时，
∴四边形ABCD不可能是正方形，故②错误；
③若a=1时，点，则，
∴AD=BC=7，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
若a=2时，点，则，
∴AD=BC=4，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
∴四边形ABCD的周长不是定值，故③错误；
∵，，
∴AD=，点B到x轴的距离为a，
∴四边形ABCD的面积为，
∴四边形ABCD的面积是定值，故④正确；
∴正确的有①④．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
36．（2023·北京海淀·北京市十一学校校考模拟预测）某产品的盈利额（即产品的销售价格与固定成本之差）记为y，购买人数记为x，其函数图象如图1所示．由于日前该产品盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图2，图3中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确说法的序号是（ ）
①图2对应的方案是：保持销售价格不变，并降低成本；
②图2对应的方案是：提高销售价格，并提高成本；
③图3对应的方案是：提高销售价格，并降低成本
④图3对应的方案是：提高销售价格，并保持成本不变

A．①③B．②③C．①④D．②④
【答案】C
【分析】根据题意及函数图象理解图象表示的实际意义，进而得解．
【详解】解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是固定成本，直线的斜率表示的是销售价格，
故图2降低了成本，但销售价格保持不变，即①对；
图3固定成本保持不变，但提高了销售价格，即④对；
故选：C．
【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．
37．（2023·北京·校考模拟预测）线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，反比例函数关系B．一次函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系D．一次函数关系，反比例函数关系
【答案】C
【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．
【详解】解：由题意，得
，属于正比例函数关系，
，属于二次函数关系，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
38．（2023·北京西城·校考模拟预测）如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）
A．24B．12C．18D．21
【答案】A
【分析】根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解．
【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为，
水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：，
这段高度为：，
设匀速注水的水流速度为，则，
解得，
即匀速注水的水流速度为；
“几何体”下方圆柱的高为，则，
解得，
所以“几何体”上方圆柱的高为，
设“几何体”上方圆柱的底面积为，
根据题意得，
解得，
即“几何体”上方圆柱的底面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键．
39．（2023·北京海淀·北京市师达中学校考模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长与它的邻边；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积与全村总人口；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间．
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如（k为常数，）的式子表示，由此逐项判断即可．
【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，
①矩形的面积，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象；
②耕地面积，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象；
③汽车的行驶速度，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如的式子表示，即不满足所给的函数图象；
综上可知：①②符合要求，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
40．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图，圆柱的侧面积为10m2．记圆柱的底面半径为m，底面周长为m，高为m．当在一定范围内变化时．和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，反比例函数关系D．正比例函数关系，一次函数关系
【答案】C
【分析】由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×，可得与的关系，根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，可得与的关系式，即可得到答案．
【详解】解：由圆柱的底面的周长公式：底面周长＝2×半径×，
可得：，
与的关系为：正比例函数关系，
根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，
可得：，
，
与的关系式为：反比例函数关系，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数、二次函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键．
41．（2023·北京海淀·人大附中校考三模）如下图，在平行四边形中，，，，点从起点出发，沿、向终点匀速运动．设点所走过的路程为，点所经过的线段与线段、所围成图形的面积为，随的变化而变化．在下列图像中，能正确反映与的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，分两种情况讨论：当点在上运动时，点所经过的线段与线段、所围成图形为三角形，得到，是一个正比例函数；当点在上运动时，点所经过的线段与线段、所围成图形为梯形，得到，是一个一次函数；再根据函数图像与性质得到图像比图像更陡，从而确定答案．
【详解】解：当点在上运动时，点所经过的线段与线段、所围成图形为三角形，则，这是一个正比例函数；
当点在上运动时，点所经过的线段与线段、所围成图形为梯形，则，这是一个一次函数；
，
图像比图像更陡，
故选：A．
【点睛】本题考查动点函数图像问题，根据动点位置分情况讨论得到随的变化的函数表达式是解决问题的关键，需注意的是：一次函数一次项系数越大，图像越陡．
42．（2023·北京海淀·校考三模）植物研究者在研究某种植物1~5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示．现要根据这些数据选用函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律．

若选择，
则a______0，b______0；
若选择函数，
则a______0，b______0；
依次填入的不等号为（ ）
A．<，>，<，> B．<，>，>，< C．>，<，<，> D．>，>，<，<
【答案】A
【分析】根据二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质即可得．
【详解】解：若选择，
由函数图象可知，此抛物线的开口向下，对称轴，
；
若选择函数，
由函数图象可知，将反比例函数的图象从第四象限向上平移个单位即可得到函数的图象，
；
则依次填入的不等号为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质是解题关键．
二、填空题
43．（2023·北京延庆·统考一模）甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示．
下列说法中，①甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大；②当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为时，甲、乙的溶解度都小于；④当温度为时，甲、乙的溶解度相同．所有正确结论的序号是________．
【答案】①③
【分析】根据函数图象的意义可得答案．
【详解】解：根据函数图象得：
甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大，故①正确；
当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大，故②错误；
当温度为时，甲、乙的溶解度都小于g，故③正确；
当温度为时，甲、乙的溶解度相同，故④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
三、解答题
44．（2023·北京·统考中考真题）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990
方案一：采用一次清洗的方式．
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．
（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；
（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；

结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；
（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<
【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；
（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；
（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可；
（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．
【详解】（Ⅰ）表格如下：
（Ⅱ）函数图象如下：

由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
19-7.7=11.3，
即可节水约11.3个单位质量；
（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，
第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．
45．（2020·北京·统考中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．
（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：
综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．
（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ．
【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；
（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；
（3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，在函数中，
∵,
∴函数在中，随的增大而减小；
∵，
∴对称轴为：，
∴在中，随的增大而减小；
综合上述，在中，随的增大而减小；
故答案为：减小，减小，减小；
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：
（3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；
由（1）可知在中，随的增大而减小；
∴在中，有
当时，，
∴m的最大值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．
46．（2019·北京·中考真题）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度 的几组值，如下表：
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm．
【答案】（1）AD， PC，PD；（2）如图所示，见解析；（3）2.29或3.98
【分析】（1）根据表格中的数据分析即可得出；
（2）根据表格数据在坐标系中描点、连线即可，
（3）根据图形观察结合表中数据即可得出
【详解】（1）AD， PC，PD；
（2）如图所示，
（3）2.29或3.98
【点睛】本题考查了函数和函数的图象，根据表格画出函数图象，得出相应的信息是解题的关键
m
1
2
3
n
6
3
2
供水时间（小时）
0
2
4
6
8
箭尺读数（厘米）
6
18
30
42
54
摄氏温度（）
0
10
20
华氏温度（）
32
50
68
（单位：立方米）
64
48
38.4
32
24
…
（单位：千帕）
1.5
2
2.5
3
4
…
11.0
9.0
9.0
7.0
5.5
4.5
3.5
3.0
3.0
2.0
1.0
0.8
1.0
1.3
1.9
2.6
3.2
4.3
4.0
5.0
7.1
11.5
11.8
10.0
10.3
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