专题17 图形的相似（共34题）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（北京专用）

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一、单选题
1．（2023·北京海淀·统考二模）如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据位似的性质，连接并延长，观察交点即可求解．
【详解】解：如图所示，连接并延长，

∴的位似图形是．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
2．（2023·北京昌平·统考二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（ ）

A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】如图，连接，利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出 可得结论．
【详解】解：如图，连接．

∵正方形与四边形是位似图形，，正方形的面积为4，
∴四边形是正方形，面积为，
∴，，
∴，
∴四边形的外接圆的半径为．
故选C．
【点睛】本题考查位似变换，相似多边形的性质等知识，解题的关键是掌握位似图形的概念．
3．（2023·北京顺义·统考二模）如图，要测量楼高，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆顶点和高楼顶点在同一条直线上．若，，则楼高是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意，四边形都是矩形，，，，证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：依题意，四边形都是矩形，
∴，，，
∵
∴,
∵
∴
∴
即
解得：
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
4．（2023·北京海淀·首都师范大学附属中学校考一模）如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BFA的面积比为（ ）
A．1：B．1：2C．1：4D．1：8
【答案】C
【分析】利用平行四边形的性质得出，AB＝DC，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，DC=AB，
∴△ECF∽△BAF，
∵点E是CD中点，
∴CE=CD=AB，CE：AB=1：2，
∴△EFC与△BFA的面积比=1：4，
故选C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△CEF∽△ABF是解题关键．
5．（2023·北京·校考模拟预测）如图，在平行四边形中，点在边上．若，，且，则的长为（ ）

A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质可得，从而可得，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得，代入数据即可求得，最后根据即可得到答案．
【详解】解：四边形为平行四边形，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
二、填空题
6．（2023·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．

【答案】
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
7．（2023·北京海淀·清华附中校考一模）如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接与交于点，则的值是______．
【答案】/0.5
【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质得出，结合题意即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，AB=CD
∴∆ABF~∆CEF，
∴，
∵DE=DC，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
8．（2023·北京西城·统考一模）如图，在中，E是边上的点，连接交于点F，若，则的值是__________．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质，三角形相似的性质，计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．（2023·北京东城·统考一模）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是______米．
【答案】2
【分析】由题意知，得出，根据求出的值．
【详解】解：由题意知
在和中



解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比．
10．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，在矩形中，点E在边上，连接并延长，交的延长线于点F．若，，，则的长为______．
【答案】5
【分析】结合矩形的性质，证明，即可得，即可求出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：在矩形中，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴在中，，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
11．（2023·北京西城·统考二模）如图，在中，，，，则的值是___________．

【答案】
【分析】先证明，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
12．（2023·北京东城·统考二模）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．
【答案】134
【分析】在同一时刻物高和影子成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：134．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是了解：同一时刻物高和影长成正比．
13．（2023·北京门头沟·统考一模）如图，在中，于E，且交的延长线于F，当，，时，的长是______．
【答案】2
【分析】利用平行四边形的性质求得，，，再利用平行线分线段成比例求得，根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
14．（2023·北京朝阳·统考二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则与的面积的比等于___________．
【答案】1：4
【分析】根据OE是中位线，得BC=2OE，BC∥OE，利用三角形相似的性质面积比性质计算即可．
【详解】∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，
∴BC=2OE，BC∥OE，
∴△DOE∽△DBC，
∴=1：4，
故答案为：1：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质，正确运用三条性质是解题的关键．
15．（2023·北京·统考一模）如图，在矩形中，点在边上，于点．若，，则的长为__________．
【答案】
【分析】先求得，得到，可求得，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，得到是解题的关键．
16．（2023·北京房山·统考一模）如图，中，平分，交于点．若，，则__________．
【答案】
【分析】因为，可得，由相似三角形对应边对应成比例即可求解．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，，，
设，则，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据平行线，角平分线的关系找出线段，，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
17．（2023·北京朝阳·清华附中校考模拟预测）下图是测量玻璃管内径的示意图，点D正对“10mm”刻度线，点A正对“30mm”刻度线，DE∥AB．若量得AB的长为6mm，则内径DE的长为__________mm．
【答案】2
【详解】∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
【点睛】错因分析 较易题.失分原因：①没有掌握相似三角形的性质；②误以为.
18．（2023·北京大兴·统考一模）如图，在矩形中，是边上一点，且，连接交对角线于点．若，则的长为__________．
【答案】
【分析】由矩形性质可证，，列出比例关系，进而可得结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，则
∵，
∴，则，
∴，
∵，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决问题的关键．
19．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考二模）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m．
【答案】5.5
【详解】在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
40cm=0.4m，20cm=0.2m，
即，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
故答案为：5.5m
【点睛】考点：相似三角形
20．（2023·北京西城·北师大实验中学校考模拟预测）如下图，在中，，且，若，则边的长为______．
【答案】6
【分析】由可知，根据，，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查平分线分线段成比例，根据平行找出线段之间的比例是解题的关键．
21．（2023·北京海淀·校考一模）综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山距离为米的处，然后沿着射线退后到点，这时恰好在镜子里看到山头，利用皮尺测量米，若小宇的身高是米，则假山的高度为______米．（结果保留整数）
【答案】14
【分析】根据题意可得，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．
【详解】解：∵，，
∴，
根据平面镜反射原理，入射角等于反射角可得：，
∴，
∴，即，
解得：，
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了利用相似三角形测高，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
22．（2023·北京延庆·统考一模）如图，在中，点D，E分别在边，上，且，若，，的面积是2，则的面积是_________．
【答案】12.5
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：，
，
∴，即，
∴．
故答案为：12.5．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
23．（2023·北京海淀·北理工附中校考三模）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，、交于点．，则的长为__．
【答案】4
【分析】利用平行四边形的性质得出，，再结合已知可得，，然后再证明，根据相似三角形的性质得出，进行计算即可解答．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
24．（2023·北京平谷·统考二模）已知：如图，的两条中线与相交于点，连结，则______．

【答案】
【分析】根据中位线的性质得出，，从而得到，利用相似三角形性质即可求解．
【详解】解：∵与是的两条中线，
∴E是的中点，F是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（2023·北京西城·北京市第十三中学校考模拟预测）如图，在矩形中，若，则的长为_______．
【答案】1
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形中， ，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
26．（2023·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为__________.
【答案】
【分析】先根据矩形性质和勾股定理求得、的长，再证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，，
∴，，，
∵是边的中点，
∴，
则，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握矩形的性质，会利用相似三角形的性质寻求线段数量关系是解答的关键．
27．（2023·北京海淀·北京交通大学附属中学校考模拟预测）如图，在矩形中，若，，则的长为______________．
【答案】6
【分析】先由矩形的性质得到，进而证明，得到，在中，由勾股定理得即可求出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，证明，得到是解题的关键．
28．（2023·北京西城·北师大实验中学校考模拟预测）如图，在ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是____．
【答案】6
【详解】∵DE∥BC，
∴，
∵AD：DB=1：2，DE=2，
∴，
解得：BC=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线和其所截线段得出比例式是解题关键．
29．（2023·北京·校联考一模）如图（示意图）所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆的高为，测得，，则建筑物的高为__________．
【答案】20
【分析】根据正切等于对边比邻边，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切等于对边比邻边．
30．（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图，在△ABC中点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD．只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是______（写出一个即可）．
【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一，或∠ADC=∠ACB或均可）
【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可．
【详解】解：∵∠A=∠A
∴添加∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或．
故答案是：∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定．两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．
31．（2023·北京·校考模拟预测）如图，在矩形中，是边的中点，连结交对角线于点，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】根据矩形的性质可得出，进而可得出，结合（对顶角相等）可得出，利用相似三角形的性质可得出，利用勾股定理可求出的长度，可得结论．
【详解】解：四边形为矩形，
，，，
，
又，
，
．
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出是解题的关键．
32．（2023·北京西城·校考模拟预测）如图，在中，，点E，F分别是边和上的点，点A关于的对称点D恰好落在边上，当是直角三角形时，的长是 _____．
【答案】3
【分析】由点A关于的对称点D恰好落在边上和可得，设，根据，可得，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵点A关于的对称点D恰好落在边上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴＝，即，
解得，
∴，
∴，
在中，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形中的翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
33．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图，要测量楼高，在距为的点处坚立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆顶点和高楼顶点在同一条直线上．若，则楼高是__________．
【答案】
【分析】依题意，四边形都是矩形，，，，证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：依题意，四边形都是矩形，
∴，，，
∵
∴,
∵
∴
∴
即
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
34．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F，若DF＝6，则线段EF的长为_____．
【答案】3
【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，，
∴∠AEB＝∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF＝6，
∴，
∴，
∴AE＝5，
∴EF＝AF－AE＝8－5＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．