期末押题预测（培优压轴卷）-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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一、单选题(共18分
1．(本题3分)对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】A
【分析】连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
【详解】解：连接CQ，如图：
由中心对称可知，AQ＝BQ，
由轴对称可知：BQ＝CQ，
∴AQ＝CQ＝BQ，
∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，
∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，
∴∠ACQ+∠QCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，
∵A（2，0），C（8，6），
∴AF＝CF＝6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∵，
∴∠AEC＝45°，
∴E点坐标为（14，0），
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
∵C，E点在直线上，
可得：，
解得：，
∴y＝﹣x+14，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B（n+2，2n），由2n＝﹣n﹣2+14，
解得：n＝4，
∴B（6，8），
∴△ABC的面积＝S△ABE﹣S△ACE＝×12×8﹣×12×6＝12，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到的坐标是解本题的关键．
2．(本题3分)在全班45人中进行了你最喜爱的电视节目的调查活动，喜爱的电视剧有人数为18人，喜爱动画片有人数为15人，喜爱体育节目有人数为10人，则下列说法正确的是（ ）
A．喜爱的电视剧的人数的频率是
B．喜爱的电视剧的人数的频率是
C．喜爱的动画片的人数的频率是
D．喜爱的体育节目的人数的频率是
【答案】B
【详解】试题分析：频率应为频数除以总数，所以喜欢看电视剧、动画片和体育节目的频率分别是、、 ，故选B.
3．(本题3分)已知，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．
4．(本题3分)已知代数式，，，下列结论中，正确的个数是（ ）
①若，则；
②若，则一次函数的图象必定经过第一、三、四象限；
③若x，y，z为正整数，且，则；
④若，，且x为方程的一个实根，则与的值相等；
⑤若，，则的值为28．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设，，，则，，，，从而可求得，判断①；当时，，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限，即可判断②错误；由x，y，z为正整数，且，得，从而有，即可判断③正确；④由，，得，，，进而求得，从而求得，即可判断④错误；⑤先求得，，，进而可求得
从而判断⑤错误；即可得解．
【详解】解：①由，设，，，则，
，，，
∴，故①正确；
②∵，，，，
∴当时，，此时一次函数的图象经过第二、三、四象限；
当时，，此时一次函数的图象经过第一、三、四象限，故②错误；
③∵x，y，z为正整数，且，
∴，
∴，即是③正确；
④∵，，
∴，，，
∵x为方程的一个实根，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴即④错误；
⑤∵，，，，，
∴，，
∴，
∴
，故⑤错误；
∴正确的个数是2个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程、一次函数的性质、分式的混合运算、比较数的大小、多项式乘多项式以及比例的性质，熟练掌握一次函数的性质、分式的混合运算、比较数的大小、多项式乘多项式以及比例的性质是解题的关键．
5．(本题3分)已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可．
【详解】解：∵，
∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小，
，
y1＞y2，
①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时，
∵y1＞y2，
当在第一象限时，
∴，解得；
当在第三象限时，
∴，解得；
综上所述：或；
②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时，
∵y1＞y2，
∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解，
因此，本题的取值范围为或，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当反比例函数k的正负对增减性的影响，当时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；当时，在图象的每一支上，y随x的增大而减小．
6．(本题3分)如图，菱形的对角线长度为4，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】连接，交于点，连接，易得是的中位线，得到，取的中点，连接，得到，得到当三点共线时，最长，进行求解即可．
【详解】解：连接，交于点，连接，
∵菱形的对角线长度为4，边长，
∴，，，
∴，
∵N为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
取的中点，连接，
则：，
∵，
∴当三点共线时，的长度最大为；
故选A．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线．掌握并灵活运用相关知识点，构造三角形的中位线是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题(共30分
7．(本题3分)，用t的表达式来表示______．当时，的取值范围是_____；当时，的取值范围是_____．
【答案】 ≤＜ ＜
【分析】将分式的分子和分母同时除以a，然后变形即可求出与t的关系式，然后判断出当t＞0时，随t的增大而增大，结合t的取值范围从而求出的取值范围．
【详解】解：∵
∴
∴（其中，即）
∴
整理可得：
当t＞0时，随t的增大而减小，且＞0
∴当t＞0时，随t的增大而增大，且＜
∴对于，当t=1时，有最小值，最小值为；
∴当时，的取值范围是≤＜；
∴对于，无最小值；但应满足＜
故答案为：；≤＜；＜．
【点睛】此题考查的是等式的变形和利用函数增减性求函数值的取值范围，掌握利用函数增减性求函数值的取值范围是解题关键．
8．(本题3分)设，，当t为___________时，代数式．
【答案】2
【分析】根据x，y的表达式，可以观察出，，再将改写为含有与的形式，代入解出t即可．
【详解】，
，

，解得（舍去），．
故答案为：2
【点睛】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握乘法公式并能将二次三项式改写为含有与的形式，是本题的解题关键．
9．(本题3分)某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表：
根据以上信息，以下四个判断中，正确的是_________．(填写所有正确结论的序号)
①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天；
②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5~10广域网人之间；
③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；
④这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为．
【答案】①④
【分析】利用统计图与统计表获取的信息逐项判定即可．
【详解】解：①根据统计表可得日接待游客人数10≤x< 15为拥挤，15≤x< 20为严重拥挤，由统计图可知，游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”，1日至5日有2天，25日-30日有2天，共4天，故①正确；
②本题中位数是指将30天的游客人数从小到大排列，第15与第16位的和除以2，根据统计图可知0≤x < 5的有16天，从而中位数位于0≤x< 5范围内，故②错误；
③从统计图可以看出，接近10的有6天，大于10而小于15的有2天，15以上的有2天，
10上下的估算为10，则（10×8+15×2-5×10）÷16=3.25，可以考虑为给每个0至5的补上3.25，则大部分大于5，而0至5范围内有6天接近5，故平均数一定大于5，故③错误；
④由题意可知“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为，故④正确．
故答案为①④．
【点睛】本题考查了中位数、平均数及可能性等知识，利用统计图与统计表获取的有效信息是解答本题的关键．
10．(本题3分)11月份以来，重庆疫情形势不容乐观，山城人民众志成城，抗击疫情．某物流公司为保证居民正常生活，将派大中小三种车型为甲、乙两个小区配送物资．大中小三种车型每辆车每趟配送的物资数量比为，每种车型每小时跑的趟数之比为．经两个小区的物业反馈发现乙小区的总物资数量是甲小区总物资数量的1.1倍，所有工人用9小时给甲小区送完物资后，计划将其中2辆大车和3辆中型车换成小车，发现给乙小区配送完物资也是9小时，因时间紧迫，实际运送物资时公司又额外派了若干辆大车（派送大车不超过20辆），最终乙小区完成的时间也是整数，则额外派送的大车是___________辆．
【答案】
【分析】首先根据题干条件，设派大车a辆，中型车b辆，小车c辆，每辆小车配送物资x吨，大车每小时跑的次数为y次，然后列出等量关系，整理计算；最后用列举法找出符合题意的值．
【详解】解：设大车a辆，中型车b辆，小车c辆，每辆小车配送物资x吨，大车每小时跑的次数为y次，
则：
整理得：，
即甲地需物资为：
设增加大车n辆，则每小时运送物资为
即为整数，整理得为整数，
∵
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查方程的应用和整数解问题，利用方程找到数量关系是解题的关键．
11．(本题3分)如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则__．
【答案】33或127/127或33
【分析】根据“神奇区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况．
【详解】解：“神奇区间”为，
、为连续正整数，
，， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，
符合条件的，有，，；，，．
，，时，，，
，
，
，，时，，，
，
，
故的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力．
12．(本题3分)2021年诺贝尔物理学奖是有关于“复杂系统的理解”，我们可以用动力系统的方法来研究复杂系统．已知直线，双曲线，点A1（1，－1），我们从A1点出发构造无穷点列A2（x2，y2），A3（x3，y3）…构造规则为：若点An（x，y）在直线上，那么下一个点A＋1（x＋1，y＋1）就在双曲线上，且x＋1＝x；若点An（x，y）在双曲线上，那么下一个点A＋1（x＋1，y＋1）就在直线上，且y＋1＝y，根据规则，点A3的坐标为____．无限进行下去，无限接近的点的坐标____．
【答案】 （5，3） （3，1）
【分析】先根据题意求出从而可以求出的坐标，从而求出，， ，的坐标，可以发现结合函数图象可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，则无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，由此求解即可．
【详解】解：∵点A1（1，－1）满足一次函数解析式，即点A1在直线上，
∴点的横坐标为1且点在反比例函数上，
∴点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为3，且点在直线上，
∴点的横坐标为5，
∴点的坐标为（5，3），
同理点的坐标为，， ，，
结合函数图象可知此时这个点列慢慢的向一次函数与反比例函数的交点靠近，
∴无限进行下去，无限接近的点的坐标即为一次函数与反比例函数的交点，
联立，
解得或（舍去），
故答案为：（5，3），（3，1）．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，一次函数与反比例函数综合，正确理解题意是解题的关键．
13．(本题3分)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为_________．
【答案】
【分析】的下方作，在上截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可．
【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．
∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，当E点在AT上时取等号，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（0，1），点C和D都在x轴上（C在D左侧），且线段CD＝1，连接AB，BC，AD，当四边形ABCD周长最小时，点C的坐标为________．
【答案】（，0）/
【分析】作点B关于x轴的对称点，连接，以、CD为邻边作，则==BC，=CD=1，（1，-1）所以BC+AD=+AD≥，即当A、D、在同一直线上时，BC+AD的最小值为，据此解答即可．
【详解】解：∵A的坐标为（4，4），点B的坐标为（0，1），
∴AB==5，
∵CD=1，
∴四边形ABCD周长：AB+BC+CD+AD=5+1+BC+AD=6+BC+AD，
∴要求四边形ABCD周长最小，即求BC+AD的最小值，
作点B关于x轴的对称点，连接，以、CD为邻边作，
∴==BC，=CD=1，（1，-1），
∴BC+AD=+AD≥，
即当A、D、在同一直线上时，BC+AD的最小值为，
∵A的坐标为（4，4），点的坐标为（1，-1），
设直线的解析式为y=kx+b，则
，
解得：，
∴直线的解析式：y=x−，
令y=0，则x=，
即D（，0），
又∵CD=1，
∴C（，0），
故答案为：（，0）．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是正确运用对称的性质、平行四边形的性质、一次函数的性质．
15．(本题3分)如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则__________．
【答案】
【分析】设直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作于点，易得是等腰三角形，是含的直角三角形，设，则可表达点的坐标，根据题干条件，建立方程，再根据点在反比例函数上，可得出结论．
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，过点作轴于点，
令，则，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
则，即：，
∵点在反比例函数上，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形等相关知识，设出参数，得出方程是解题关键．
16．(本题3分)四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG，，，试探究：
（1）如图1，当点E落在BC上时，CE的长度为__________；
（2）如图2，O是对角线BD的中点，连接EO，FO，设的面积为s，在矩形DEFG的旋转过程中，s的取值范围为__________．
【答案】
【分析】（1）当点E落在BC上时，由勾股定理知CE=，代入计算即可；
（2）如图，由旋转知，EF=AD=8， 的面积=×EF×EF边上的高，故找面积最值就转化成找EF边上高的最值．当点E落在BD上时，EF边上高的最小值为EO，此时s最小，当点D落在BD的反向延长线上时，EF边上高的最大值为OE'，此时s最大，分别算出最大值和最小值即可．
【详解】（1），
当点E落在BC上时，
CE=；
故答案为：．
（2）当点E落在BD上时，s最小，此时，
，
∴；
当点D落在BD的反向延长线上时，s最大，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了图形的旋转和勾股定理，解题的关键是要有空间想象能力，正确作出辅助线求解．
三、解答题(共82分
17．(本题8分)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根.华罗庚脱口而出,你知道怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由,确定的立方根是 位数；
（2）由的个位数是确定的立方根的个位数是 ；
（3）如果划去后面的三位得到数,而,由此能确定的立方根的十位数是 ；所以的立方根是 ；
（4）用类似的方法，请说出的立方根是 .
【答案】（1）两；（2）9；（3）3，39；（4）
【分析】（1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数；
（2）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定；
（3）根据数的立方的计算方法即可确定；
（4）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后依次确定十位数，即可求得立方根．
【详解】解：（1）∵1000＜59319＜1000000，
∴，
∴的立方根是两位数，
故答案为：两；
（2）只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，
∴的立方根的个位数是9，
故答案为9；
（3）∵27＜59＜64，
∴，
∴的十位数是3，
∴，
故答案为3，39；
（4）根据上述知识可知，
∵-1000000＜-110592＜-1000，
∴，
∴-110592的立方根的个位数是-8，
∵-125＜-110＜-64，
∴，
∴的十位数是-4，
则，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．
18．(本题8分)我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)2022
【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可；
（2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可；
（3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为，
，
故答案为：，．
（2）解：十字分式方程的两个解分别为，，
，
∵，
∴原式．
（3）解：方程是十字分式方程，可化为，
∴，，
∵，，
∴，，即，，
代入得，，
∴的值为2022．
【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键．
19．(本题8分)定义，求+…++…+的值.
【答案】5.
【分析】将进行分母有理化，分子分母同时乘以可得，进而求得，，，则
【详解】
，
，，，…，．
．
【点睛】本题以新定义型题形式考查了二次根式的运算，解本题的关键是通过分母有理化将简化，再代值得到，即可解题.
20．(本题8分)弘扬鹭岛新风，文明有你有我．某校初中部组织学生开展志愿服务活动，活动设有“义务讲解”、“交通督导”、“图书义卖”、“社区服务”、“探望老人”等五个项目，要求每名同学至少选择其中一个项目参加．该校初中部共有800名学生，现随机抽取该校初中三个年级的部分学生，对其参加活动项目的情况进行调查，并制作了统计图表，如表、图1、图2．
被抽样学生参加的活动项目频数分布表：
（1）求a的值；
（2）估计该校初中部800名学生中参加三项以上（含三项）活动的人数；
（3）被抽样学生中，参加社区服务活动的初二年级人数占参加该项目的总人数的比例达到52%，小刚结合图2判断：相比图书义卖，社区服务更受该校初二年级的学生欢迎．你认为小刚的判断正确吗？请说明理由．
【答案】（1）a＝45；（2）256（人）；（3）小刚的判断不正确，见解析
【分析】1）由参加一项活动的人数及其所占比例可得总人数，总人数乘以参加两项活动对应的百分比即可求出的值；
（2）总人数乘以样本中参加三项以上（含三项）活动的人数所占比例即可；
（3）由被抽样学生中参加社区服务的人数未知，从而无法比较初二学生中图书义卖，社区服务学生人数可得答案．
【详解】解：（1）被调查的总人数为（人，
；
（2）估计该校初中部800名学生中参加三项以上（含三项）活动的人数为（人；
（3）小刚的判断不正确，理由：
被抽样学生中参加社区服务的人数未知，从而无法比较初二学生中图书义卖，社区服务学生人数．
【点睛】此题考查了条形统计图、扇形统计图的运用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．(本题8分)一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，裁判在黑板上写出正整数2，3，4，…，2006，然后随意擦去一个数，接下来由甲、乙两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数）．如此下去，若最后剩下的两个数互素，则判甲胜；否则，判乙胜，按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体数字作答）．
【答案】
【详解】解 获胜的关键，要看裁判擦去的是奇数还是偶数，注意到2，3，4，…，2006中有1003个偶数，1002个奇数．
（1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜．
乙不管甲擦去什么数，只要有奇数，乙就擦去奇数（没有奇数时才擦去偶数）这样最后两个数一定都是偶数，它们不互素，故乙胜．
（2）若裁判擦去的是偶数，则所剩的2004个数可配成1002对，每对中两个数互补：，，…，，，…，
这样不管乙擦去哪个数，甲都擦去所配对中另一个数，最后剩下的两数必然是配成一对的两个数，它们互补，故甲胜．
所以，甲获胜的概率为．
22．(本题8分)如图，在中，，与、相邻的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CM、CN的垂线，B、D为垂足．
(1)求证：四边形ABCD是正方形．
(2)若，，求的长．
(3)借助上面问题的解题思路，解决下列问题：
若在中，，PH是的一条高，，，请直接写出HF的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)6或24
【分析】（1）如图，作AG⊥MN于G，则∠AGM=∠AGN=90°，再证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质可得AB=AD，即可证明结论；
（2）先证明，得出，同理：，得出，则，设DN=x，则，，最后由勾股定理得出方程列方程求解即可；
（3）当△PEF是锐角三角形时，如图2中，把△PFH沿PF翻折得△PFD，把△PEH沿PE翻折得△PEM，延长DF、ME交于点G，由四边形PMGD是正方形，ME+DF=FE，ME=HE=4，DF=HF，得出MG=DG=MP=PH=12，设FH=DF=a，则EF=4+a，FG=12-a，
，在Rt△GFE中运用勾股定理列方程求解即可；当△PFE是钝角三角形时，如图3中，过P作PT⊥PF交EF延长线于T，构建方程组求解即可．
（1）
证明：如图：作于G， 则，
∵，，
∴，
∴四边形ABCD为矩形，
∵，的外角平分线交于点A，
∴，，
∴，
∴四边形ABCD为正方形．
（2）
解：∵四边形ABCD为正方形，
，
在和中，
∴
∴，
同理可得：
∴，
∴，
设，则，，
∵，∴，
在中，由勾股定理可得：，解得：
∴DN的长为．
（3）
解：①如图所示：把△PFH沿PF翻折得△PFD，把△PEH沿PE翻折得△PEM，延长DF、ME交于点G，
由（l）（2）得：四边形PMGD是正方形，ME+DF=FE，ME=HE=4，DF=HF，
∴MG=DG=MP=PH=12，
∴GE=MG=ME=8，
设FH=DF=a，则EF=4+a，FG=12-a，
在Rt△GFE中，由勾股定理得：（12-a）2+82=（4+a）2，解得：a=6，即HF=6；
②当△PFE是钝角三角形时，过P作PT⊥PF交EF延长线于T，如图所示：
则∠TPF=90°-45°=45°，由①得：TH=6，
∴
设HF=x，PE=y，则TF=x+6，
∵△PTF的面积=（x+6）×12=，
∴，即
在Rt△PFH中，由勾股定理得：y2=122+x2，
由、y2=122+x2，可得：（x-24）2=0，解得x=12，
∴HF=24；
综上所述，HF的长为6或24．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识；本题综合性强、综合应用所学知识成为解答本题的关键．
23．(本题8分)如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，A、B为格点，M为与网格横线的交点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线．
(1)在图1中找格点C、D，使四边形是菱形；
(2)在图1中画点M关于直线的对称点；
(3)在图2中找格点C，使四边形为矩形；
(4)在图2中画的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据勾股定理求出的长，将线段向右平移5个单位长度的到线段，连接，即可得到菱形；
（2）连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求；
（3）作以，为边的正方形，再构造矩形即可；
（4）取正方形的边和的中点，连接两个中点形成的直线即为的垂直平分线．
【详解】（1）解：由勾股定理得：，
将线段向右平移5个单位长度的到线段，连接，即可得到菱形，如图所示：
（2）解：连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求，如图所示：
∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴垂直平分，
即：点M关于直线的对称点为点；
（3）解：作以，为边的正方形，过点作，交于点，则矩形，即为所求，如图所示：
（4）如图，取格点，连接交于点，取格点，连接交于点，则为正方形的边和的中点，连接形成的直线即为的垂直平分线．如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点，
同法可得：为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
设与交于点，则：四边形为矩形，
∴，
∴是的中垂线．
【点睛】本题考查无刻度直尺作图．同时考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
24．(本题8分)某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？
【答案】乙流水线成本较小，因为甲流水线成本18万元，乙流水线成本16万元
【分析】设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，再根据“甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天”求得甲、乙每天的生产量，再分别求出甲、乙的生产成本，最后比较即可解答．
【详解】解：设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，
则，解得：或
经检验：是分式方程的根，且符合题意；不符合题意舍去，
则乙流水线每天加工270套防护服
所以甲需要天，乙需要天，
所以甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为18万元和16万元．
所以乙流水线成本较小．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出分式方程是解答本题的关键．
25．(本题8分)阅读下列两则材料，回答问题：
材料一：我们将与称为一对“对偶式”因为，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将和中的去掉.例如：已知，求 的值．解：，
材料二：如图，点，点，以AB为斜边作，则，于是，，所以.反之，可将代数式的值看作点到点的距离.
例如：=．
所以可将代数式的值看作点到点的距离．
利用材料一，解关于x的方程：，其中；
利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；
将所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入中解出x，直接写出x的值．
【答案】（1）；（2）①，；②.
【分析】根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决．
中把根式下的式子转化成平方平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式
中也根据材料二的内容来解答求出x的值．
【详解】根据材料一；
,
，
，
,
,
解得：,
；
解：由材料二知：
，
，
可将的值看作点到点的距离
的值看作点到点的距离，
∴
，
当代数式取最小值，
即点与点，在同一条直线上，并且点位点的中间，
的最小值
=，
且，
设过，，的直线解析式为：
，
解得：，
；
中，
，
(ⅰ),
又
(ⅱ)
由(ⅰ)得：，
解得：舍， ，
的值为.
【点睛】本题是材料阅读题，属于新定义题，理解新定义的内容是解题的关键.
26．(本题10分)某班“数学兴趣小组”对函数y＝的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完成：
(1)下表是y与x的几组对应值，请直接写出m，n的值：m＝_______；n＝_______．
(2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中的对应值为坐标的一些点，请再描出其它的点并画出函数图象；
(3)通过观察函数图象，小明发现该函数图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象形状相同，是轴对称图形，请直接写出该函数图象的对称轴的表达式：_______；
(4)当－2≤x≤时，关于x的方程kx＋3＝有实数解，求k的取值范围．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)y=x，y=－x+2
(4)或
【分析】（1）当x=﹣1求出对应函数值，当y=3时求出对应x的值即可；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）根据函数的图象和轴对称的概念即可解答；
（4）根据两函数图象的交点情况即可解答．
【详解】（1）x=﹣1时，y=，
∴m=．
当y=3时，则3=，解得x=，
∴n=，
故答案为，；
（2）函数图象如图所示：
（3）该函数的图象关于y=x，y=－x+2成轴对称；
（4）如图：
当x=-2时，函数y=kx+3过点（-2，），
∴将点（-2，）代入y=kx+3中得；
=-2k+3，解得k=
当x=时，函数y=kx+3过点（，-1），
∴将点（，-1）代入y=kx+3中得；
-1=k+3，解得k=-8．
∴k的取值范围：或．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件、反比例函数的性质、轴对称以及运用函数图像解不等式，掌握反比例函数的性质和数形结合思想是解答本题的关键．
被抽样学生参加的活动项目数量
人数
所占比例
参加一项活动
57
0.38
参加两项活动
a
0.30
参加三项活动
30
0.20
参加四项活动
12
0.08
参加五项活动
6
0.04
x
－2
－1
0
n
2
3
4
y
m
0
－1
－3
5
3
2