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人教版 (2019)必修 第二册4 机械能守恒定律精品导学案及答案
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这是一份人教版 (2019)必修 第二册4 机械能守恒定律精品导学案及答案，共11页。
一、对机械能守恒定律的理解和判断
如图所示，质量为m的物体沿光滑曲面滑下的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，重力加速度为g，不计空气阻力，选择地面为参考平面。
(1)从A至B的过程中，物体受到哪些力？它们做功情况如何？
(2)求物体在A、B处的机械能EA、EB；
(3)比较物体在A、B处的机械能的大小。
答案 (1)从A至B的过程中，物体受到重力、支持力作用。重力做正功，支持力不做功。
(2)EA＝mgh1＋eq \f(1,2)mv12
EB＝mgh2＋eq \f(1,2)mv22
(3)由动能定理得：WG＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12
又WG＝mgh1－mgh2
联立以上两式可得：eq \f(1,2)mv22＋mgh2＝eq \f(1,2)mv12＋mgh1
即EB＝EA。
1．机械能
重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
2．动能与势能的相互转化
通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
3．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
(2)表达式：eq \f(1,2)mv22＋mgh2＝eq \f(1,2)mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
(3)条件：只有系统内的重力或弹力做功，其他力不做功或做功的代数和为零。
4．对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。
(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。
(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。
(4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零。
5．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
(3)机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加。
(1)重力做正功的过程中，重力势能一定减少，动能一定增加。( × )
(2)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。( × )
(3)合力做功为零，物体的机械能一定保持不变。( × )
(4)物体的机械能守恒时，则物体一定做匀速直线运动。( × )
(5)物体的速度增大时，其机械能可能减小。( √ )
(6)“某物体机械能守恒”为习惯说法，实际上应为“某物体和地球组成的系统机械能守恒”。( √ )
例1 (2022·佛山市测试)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和滑轮质量，A加速下落、B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
答案 C
解析 若不计空气阻力，题图甲中只有重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒，选项B错误；题图丙中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，选项C正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动能和橡皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，选项D错误。
二、机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律的不同表达式
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意选取研究对象；
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能。
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解。
例2 如图所示，质量m＝60 kg的运动员以6 m/s的速度从高h＝8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在平面为参考平面，g＝10 m/s2，一切阻力可忽略不计。求：
(1)运动员在A点时的机械能；
(2)运动员到达最低点B时的速度大小；
(3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度。
答案 (1) 5 880 J (2)14 m/s (3)9.8 m
解析 (1)运动员在A点时的机械能
E＝Ek＋Ep＝eq \f(1,2)mv2＋mgh＝5 880 J；
(2)运动员从A运动到B的过程，根据机械能守恒定律得
E＝eq \f(1,2)mvB2
解得vB＝14 m/s；
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，由机械能守恒定律得E＝mghm
解得hm＝9.8 m。
例3 如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
答案 (1)50 J (2)32 J
解析 (1)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有E＝eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)×4×52 J＝50 J。
(2)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)mv12＋Ep1
则Ep1＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv12＝32 J。
例4 (2022·长沙市测试)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点时速度为v，A、B之间的竖直高度差为h，重力加速度为g，则( )
A．小球的机械能守恒
B．由A到B小球重力势能减少eq \f(1,2)mv2
C．由A到B小球克服弹力做功为mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－eq \f(1,2)mv2
答案 D
解析 由于有弹力做功，小球的部分机械能转化为了弹簧的弹性势能，从而使小球的机械能减小，故A错误；由A至B小球重力势能减少mgh，小球在下降过程中重力势能转化为动能和弹性势能，所以mgh>eq \f(1,2)mv2，故B错误；根据动能定理得mgh＋W弹＝eq \f(1,2)mv2，所以由A至B小球克服弹力做功为mgh－eq \f(1,2)mv2，故C错误；小球克服弹力做的功即为弹簧的弹性势能的增加量，小球在A处时弹簧无形变，所以小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－eq \f(1,2)mv2，故D正确。
课时对点练
考点一 机械能守恒定律的理解与判断
1．关于机械能守恒的叙述，下列说法正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体，机械能一定守恒
B．物体所受的合力不等于零，机械能可能守恒
C．物体做匀速直线运动，机械能一定守恒
D．物体所受合力做功为零，机械能一定守恒
答案 B
解析 若物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故A错误；物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒，例如物体做自由落体运动，故B正确；物体在竖直方向做匀速直线运动时，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故C错误；物体所受合力做功为零，它的动能不变，重力势能可能变化，机械能不一定守恒，故D错误。
2．(2022·宿迁市测试)下列各种运动过程中，物体(弓、过山车、石块、圆珠笔)机械能守恒的是(忽略空气阻力)( )
A．将箭搭在弦上，拉弓的整个过程
B．过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程
C．在一根细线的中央悬挂着一个石块，双手拉着细线慢慢分开的过程
D．手握内有弹簧的圆珠笔，笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程
答案 D
解析 将箭搭在弦上，拉弓的整个过程中，拉力对弦做功，故弓机械能不守恒，故A错误；过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程，动能不变，重力势能变大，故机械能不守恒，故B错误；在一根细线的中央悬挂着一石块，双手拉着细线慢慢分开的过程，动能不变，重力势能增加，故机械能不守恒，故C错误；笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程中，只有重力和圆珠笔弹力做功，故圆珠笔机械能守恒，故D正确。
3.(2023·松原前郭尔罗斯县第五中学高一期中)运动员参加撑竿跳高比赛的示意图如图所示。不计空气阻力，对运动员在整个过程中的能量变化描述正确的是( )
A．越过横杆后下降过程中，运动员的机械能守恒
B．起跳上升过程中，竿的弹性势能一直增大
C．起跳上升过程中，运动员的机械能守恒
D．加速助跑过程中，运动员的重力势能不断增大
答案 A
解析 运动员越过横杆后下降过程中，只受重力作用，运动员的机械能守恒，故A正确；运动员起跳上升过程中，竿的形变量越来越小，弹性势能越来越小，故B错误；运动员起跳上升过程中，运动员所受竿的弹力做功，所以运动员的机械能不守恒，故C错误；加速助跑过程中，运动员的重心高度不变，重力不做功，重力势能不变，故D错误。
考点二 机械能守恒定律的应用
4.(2022·上海第十中学高一期末)如图，小李将篮球从其球心离地高为h处，以大小为v的速度抛出，篮球恰能进入离地高为H的篮筐。设篮球质量为m，以地面处为参考平面，则球心经过篮筐时篮球的机械能为(不计空气阻力和篮球转动的影响，重力加速度大小为g)( )
A.eq \f(1,2)mv2 B.eq \f(1,2)mv2＋mgH
C.eq \f(1,2)mv2＋mg(H－h) D.eq \f(1,2)mv2＋mgh
答案 D
5.如图，在地面上以初速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落在比地面低h的海平面上，重力加速度为g，若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则( )
A．物体在海平面上的重力势能为mgh
B．重力对物体做的功为－mgh
C．物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mv02＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mv02＋mgh
答案 C
解析 以地面为参考平面，海平面低于地面的高度为h，所以物体在海平面上的重力势能为－mgh，故A错误；重力做功与路径无关，与初、末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为h，并且重力做正功，所以整个过程重力对物体做功为mgh，故B错误；由动能定理得mgh＝Ek2－eq \f(1,2)mv02，则物体在海平面上的动能为Ek2＝eq \f(1,2)mv02＋mgh，故C正确；根据机械能守恒定律知，物体在海平面上的机械能等于抛出时的机械能，为E＝eq \f(1,2)mv02，故D错误。
6．游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来(甲图)。我们可以把这种情形抽象为乙图的模型：弧形轨道的下端与半径为R的圆轨道相接，固定在同一个竖直面内，将一个质量为m的小球由弧形轨道上A点释放。已知重力加速度为g，不考虑摩擦等阻力。为使小球可以顺利通过圆轨道的最高点，求：
(1)小球在圆轨道最高点的最小速度；
(2)A点距水平面的最小高度h。
答案 (1)eq \r(gR) (2) 2.5R
解析 (1)小球恰好能运动到圆轨道最高点时，由牛顿第二定律得mg＝meq \f(v2,R)
可得最小速度v＝eq \r(gR)
(2)从A点到圆轨道最高点，根据机械能守恒定律有mg(h－2R)＝eq \f(1,2)mv2
解得h＝2.5R。
7.(多选)如图，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其上方A位置有一小球，小球从静止开始下落到B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。不计空气阻力，则小球( )
A．下落至C处速度最大
B．由A至D的过程中机械能守恒
C．由B至D的过程中，动能先增大后减小
D．由A运动到D时，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
答案 ACD
解析 小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球做加速运动，小球从C至D过程，重力小于弹力，合力向上，小球做减速运动，所以小球由B至D的过程中，动能先增大后减小，在C点动能最大，速度最大，故A、C正确；由A至B下落过程中小球只受重力，其机械能守恒，从B至D过程，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故B错误；在D位置小球速度减小到零，小球的动能为零，则从A运动到D时，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。
8.(2022·苏州市测试)以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面上分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则( )
A．h1＝h2>h3 B．h1＝h2C．h1＝h3h2
一、对机械能守恒定律的理解和判断
如图所示，质量为m的物体沿光滑曲面滑下的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，重力加速度为g，不计空气阻力，选择地面为参考平面。
(1)从A至B的过程中，物体受到哪些力？它们做功情况如何？
(2)求物体在A、B处的机械能EA、EB；
(3)比较物体在A、B处的机械能的大小。
答案 (1)从A至B的过程中，物体受到重力、支持力作用。重力做正功，支持力不做功。
(2)EA＝mgh1＋eq \f(1,2)mv12
EB＝mgh2＋eq \f(1,2)mv22
(3)由动能定理得：WG＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12
又WG＝mgh1－mgh2
联立以上两式可得：eq \f(1,2)mv22＋mgh2＝eq \f(1,2)mv12＋mgh1
即EB＝EA。
1．机械能
重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
2．动能与势能的相互转化
通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
3．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
(2)表达式：eq \f(1,2)mv22＋mgh2＝eq \f(1,2)mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
(3)条件：只有系统内的重力或弹力做功，其他力不做功或做功的代数和为零。
4．对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。
(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。
(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。
(4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零。
5．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
(3)机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加。
(1)重力做正功的过程中，重力势能一定减少，动能一定增加。( × )
(2)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。( × )
(3)合力做功为零，物体的机械能一定保持不变。( × )
(4)物体的机械能守恒时，则物体一定做匀速直线运动。( × )
(5)物体的速度增大时，其机械能可能减小。( √ )
(6)“某物体机械能守恒”为习惯说法，实际上应为“某物体和地球组成的系统机械能守恒”。( √ )
例1 (2022·佛山市测试)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和滑轮质量，A加速下落、B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
答案 C
解析 若不计空气阻力，题图甲中只有重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒，选项B错误；题图丙中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，选项C正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动能和橡皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，选项D错误。
二、机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律的不同表达式
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意选取研究对象；
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能。
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解。
例2 如图所示，质量m＝60 kg的运动员以6 m/s的速度从高h＝8 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在平面为参考平面，g＝10 m/s2，一切阻力可忽略不计。求：
(1)运动员在A点时的机械能；
(2)运动员到达最低点B时的速度大小；
(3)运动员继续沿斜坡向上运动能到达的最大高度。
答案 (1) 5 880 J (2)14 m/s (3)9.8 m
解析 (1)运动员在A点时的机械能
E＝Ek＋Ep＝eq \f(1,2)mv2＋mgh＝5 880 J；
(2)运动员从A运动到B的过程，根据机械能守恒定律得
E＝eq \f(1,2)mvB2
解得vB＝14 m/s；
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，由机械能守恒定律得E＝mghm
解得hm＝9.8 m。
例3 如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
答案 (1)50 J (2)32 J
解析 (1)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有E＝eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)×4×52 J＝50 J。
(2)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)mv12＋Ep1
则Ep1＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv12＝32 J。
例4 (2022·长沙市测试)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点时速度为v，A、B之间的竖直高度差为h，重力加速度为g，则( )
A．小球的机械能守恒
B．由A到B小球重力势能减少eq \f(1,2)mv2
C．由A到B小球克服弹力做功为mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－eq \f(1,2)mv2
答案 D
解析 由于有弹力做功，小球的部分机械能转化为了弹簧的弹性势能，从而使小球的机械能减小，故A错误；由A至B小球重力势能减少mgh，小球在下降过程中重力势能转化为动能和弹性势能，所以mgh>eq \f(1,2)mv2，故B错误；根据动能定理得mgh＋W弹＝eq \f(1,2)mv2，所以由A至B小球克服弹力做功为mgh－eq \f(1,2)mv2，故C错误；小球克服弹力做的功即为弹簧的弹性势能的增加量，小球在A处时弹簧无形变，所以小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－eq \f(1,2)mv2，故D正确。
课时对点练
考点一 机械能守恒定律的理解与判断
1．关于机械能守恒的叙述，下列说法正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体，机械能一定守恒
B．物体所受的合力不等于零，机械能可能守恒
C．物体做匀速直线运动，机械能一定守恒
D．物体所受合力做功为零，机械能一定守恒
答案 B
解析 若物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故A错误；物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒，例如物体做自由落体运动，故B正确；物体在竖直方向做匀速直线运动时，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故C错误；物体所受合力做功为零，它的动能不变，重力势能可能变化，机械能不一定守恒，故D错误。
2．(2022·宿迁市测试)下列各种运动过程中，物体(弓、过山车、石块、圆珠笔)机械能守恒的是(忽略空气阻力)( )
A．将箭搭在弦上，拉弓的整个过程
B．过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程
C．在一根细线的中央悬挂着一个石块，双手拉着细线慢慢分开的过程
D．手握内有弹簧的圆珠笔，笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程
答案 D
解析 将箭搭在弦上，拉弓的整个过程中，拉力对弦做功，故弓机械能不守恒，故A错误；过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程，动能不变，重力势能变大，故机械能不守恒，故B错误；在一根细线的中央悬挂着一石块，双手拉着细线慢慢分开的过程，动能不变，重力势能增加，故机械能不守恒，故C错误；笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程中，只有重力和圆珠笔弹力做功，故圆珠笔机械能守恒，故D正确。
3.(2023·松原前郭尔罗斯县第五中学高一期中)运动员参加撑竿跳高比赛的示意图如图所示。不计空气阻力，对运动员在整个过程中的能量变化描述正确的是( )
A．越过横杆后下降过程中，运动员的机械能守恒
B．起跳上升过程中，竿的弹性势能一直增大
C．起跳上升过程中，运动员的机械能守恒
D．加速助跑过程中，运动员的重力势能不断增大
答案 A
解析 运动员越过横杆后下降过程中，只受重力作用，运动员的机械能守恒，故A正确；运动员起跳上升过程中，竿的形变量越来越小，弹性势能越来越小，故B错误；运动员起跳上升过程中，运动员所受竿的弹力做功，所以运动员的机械能不守恒，故C错误；加速助跑过程中，运动员的重心高度不变，重力不做功，重力势能不变，故D错误。
考点二 机械能守恒定律的应用
4.(2022·上海第十中学高一期末)如图，小李将篮球从其球心离地高为h处，以大小为v的速度抛出，篮球恰能进入离地高为H的篮筐。设篮球质量为m，以地面处为参考平面，则球心经过篮筐时篮球的机械能为(不计空气阻力和篮球转动的影响，重力加速度大小为g)( )
A.eq \f(1,2)mv2 B.eq \f(1,2)mv2＋mgH
C.eq \f(1,2)mv2＋mg(H－h) D.eq \f(1,2)mv2＋mgh
答案 D
5.如图，在地面上以初速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落在比地面低h的海平面上，重力加速度为g，若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则( )
A．物体在海平面上的重力势能为mgh
B．重力对物体做的功为－mgh
C．物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mv02＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mv02＋mgh
答案 C
解析 以地面为参考平面，海平面低于地面的高度为h，所以物体在海平面上的重力势能为－mgh，故A错误；重力做功与路径无关，与初、末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为h，并且重力做正功，所以整个过程重力对物体做功为mgh，故B错误；由动能定理得mgh＝Ek2－eq \f(1,2)mv02，则物体在海平面上的动能为Ek2＝eq \f(1,2)mv02＋mgh，故C正确；根据机械能守恒定律知，物体在海平面上的机械能等于抛出时的机械能，为E＝eq \f(1,2)mv02，故D错误。
6．游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来(甲图)。我们可以把这种情形抽象为乙图的模型：弧形轨道的下端与半径为R的圆轨道相接，固定在同一个竖直面内，将一个质量为m的小球由弧形轨道上A点释放。已知重力加速度为g，不考虑摩擦等阻力。为使小球可以顺利通过圆轨道的最高点，求：
(1)小球在圆轨道最高点的最小速度；
(2)A点距水平面的最小高度h。
答案 (1)eq \r(gR) (2) 2.5R
解析 (1)小球恰好能运动到圆轨道最高点时，由牛顿第二定律得mg＝meq \f(v2,R)
可得最小速度v＝eq \r(gR)
(2)从A点到圆轨道最高点，根据机械能守恒定律有mg(h－2R)＝eq \f(1,2)mv2
解得h＝2.5R。
7.(多选)如图，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其上方A位置有一小球，小球从静止开始下落到B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。不计空气阻力，则小球( )
A．下落至C处速度最大
B．由A至D的过程中机械能守恒
C．由B至D的过程中，动能先增大后减小
D．由A运动到D时，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
答案 ACD
解析 小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球做加速运动，小球从C至D过程，重力小于弹力，合力向上，小球做减速运动，所以小球由B至D的过程中，动能先增大后减小，在C点动能最大，速度最大，故A、C正确；由A至B下落过程中小球只受重力，其机械能守恒，从B至D过程，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故B错误；在D位置小球速度减小到零，小球的动能为零，则从A运动到D时，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。
8.(2022·苏州市测试)以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面上分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则( )
A．h1＝h2>h3 B．h1＝h2
h2
答案 D
解析 竖直上抛的物体和沿光滑斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒定律得mgh＝eq \f(1,2)mv02，所以h＝eq \f(v02,2g)，斜上抛的物体在最高点时仍有水平方向的速度，设为v1，则mgh2＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv12，所以h29．(2022·上海第三中学高一期末)如图所示，两质量相同的小球A、B，分别用长度不同的不可伸长的细线悬在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球的悬线长。把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速度释放，以两悬点所在水平面为参考平面，不计空气阻力。两球经过最低点时，悬线上的拉力分别为FTA、FTB，两球所具有的机械能分别为EA和EB。则( )
A．FTA＝FTB、EA＝EB B．FTA>FTB、EA>EB
C．FTA＝FTB、EA>EB D．FTA>FTB、EA＝EB
答案 A
解析 由题意，两球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，初始时两球机械能相等，则经过最低点机械能也相等，即EA＝EB，设小球质量均为m，悬线长为l，小球经过最低点时速度大小为v，则根据机械能守恒定律有mgl＝eq \f(1,2)mv2，根据牛顿第二定律有FT－mg＝meq \f(v2,l)，解得FT＝3mg，由上式可知两小球经过最低点时悬线上的拉力大小与悬线长度无关，均为3mg，即FTA＝FTB，故选A。
10.(多选)如图所示，光滑的固定曲面与光滑的水平面平滑相连，一轻弹簧右端固定，质量为m的小球从高度为h处由静止下滑，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，则( )
A．小球与弹簧刚接触时，速度大小为eq \r(2gh)
B．小球与弹簧接触的过程中，小球机械能守恒
C．小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh
D．小球在压缩弹簧的过程中，小球的加速度保持不变
答案 AC
解析 小球从曲面上滑下过程中，根据机械能守恒定律得mgh＝eq \f(1,2)mv2，得v＝eq \r(2gh)，即小球与弹簧刚接触时，速度大小为eq \r(2gh)，故A正确。小球与弹簧接触的过程中，弹簧的弹力对小球做功，则小球机械能不守恒，故B错误。对整个过程，根据系统的机械能守恒可知，小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh，故C正确。小球在压缩弹簧的过程中，弹簧弹力增大，则小球的加速度增大，故D错误。
11.在一次高尔夫球锦标赛中，如图所示，假设某运动员在发球区A处通过挥杆击球，使质量为m的球以初速度v0沿如图轨迹落到球道上的B点，击球点与B处高度差为H，取A处所在平面为参考平面，不考虑空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)球在上升过程中其动能与重力势能相等的位置距离A位置的竖直高度；
(2)球落在球道B处时的机械能和落地速度大小。
答案 (1)eq \f(v02,4g) (2)eq \f(1,2)mv02 eq \r(2gH＋v02)
解析 (1)球在上升过程中机械能守恒，设距离A位置的竖直高度为h时，球的动能与重力势能相等，即Ek＝Ep＝mgh
由机械能守恒定律可得eq \f(1,2)mv02＝Ek＋Ep
联立解得h＝eq \f(v02,4g)；
(2)整个过程机械能守恒，所以球在B处时的机械能等于初始A位置处的机械能，即
E＝eq \f(1,2)mv02
从A到B由机械能守恒定律得
eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)mvB2－mgH
解得vB＝eq \r(2gH＋v02)。
12.蹦极是一项非常刺激的运动。为了研究蹦极过程，可将人视为质点，人的运动沿竖直方向，人离开蹦极台时的初速度、弹性绳的质量、空气阻力均可忽略。某次蹦极时，人从蹦极台跳下，到a点时弹性绳恰好伸直，人继续下落，能到达的最低位置为b点，如图所示。已知人的质量m＝50 kg，弹性绳的弹力大小F＝kx，其中x为弹性绳的形变量，k＝200 N/m，弹性绳的原长l0＝10 m，整个过程中弹性绳的形变始终在弹性限度内。取重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求人第一次到达a点时的速度大小v；
(2)人的速度最大时，求弹性绳的长度；
(3)已知弹性绳的形变量为x时，它的弹性势能Ep＝eq \f(1,2)kx2，求人的最大速度大小。
答案 (1)10eq \r(2) m/s (2)12.5 m (3)15 m/s
解析 (1)人由蹦极台第一次到达a点的运动过程中，根据机械能守恒定律有mgl0＝eq \f(1,2)mv2
解得v＝10eq \r(2) m/s
(2)人的速度最大时，重力等于弹力，即kx＝mg
解得x＝2.5 m
此时弹性绳的长度l＝l0＋x＝12.5 m
(3)设人的最大速度为vm，根据人和弹性绳组成的系统机械能守恒得mgl＝eq \f(1,2)kx2＋eq \f(1,2)mvm2
解得vm＝15 m/s。项目
表达式
物理意义
说明
从守恒的角度看
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
必须先选参考平面
从转化角度看
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
不必选参考平面
从转移角度看
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
A．FTA＝FTB、EA＝EB B．FTA>FTB、EA>EB
C．FTA＝FTB、EA>EB D．FTA>FTB、EA＝EB
答案 A
解析 由题意，两球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，初始时两球机械能相等，则经过最低点机械能也相等，即EA＝EB，设小球质量均为m，悬线长为l，小球经过最低点时速度大小为v，则根据机械能守恒定律有mgl＝eq \f(1,2)mv2，根据牛顿第二定律有FT－mg＝meq \f(v2,l)，解得FT＝3mg，由上式可知两小球经过最低点时悬线上的拉力大小与悬线长度无关，均为3mg，即FTA＝FTB，故选A。
10.(多选)如图所示，光滑的固定曲面与光滑的水平面平滑相连，一轻弹簧右端固定，质量为m的小球从高度为h处由静止下滑，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，则( )
A．小球与弹簧刚接触时，速度大小为eq \r(2gh)
B．小球与弹簧接触的过程中，小球机械能守恒
C．小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh
D．小球在压缩弹簧的过程中，小球的加速度保持不变
答案 AC
解析 小球从曲面上滑下过程中，根据机械能守恒定律得mgh＝eq \f(1,2)mv2，得v＝eq \r(2gh)，即小球与弹簧刚接触时，速度大小为eq \r(2gh)，故A正确。小球与弹簧接触的过程中，弹簧的弹力对小球做功，则小球机械能不守恒，故B错误。对整个过程，根据系统的机械能守恒可知，小球压缩弹簧至最短时，弹簧的弹性势能为mgh，故C正确。小球在压缩弹簧的过程中，弹簧弹力增大，则小球的加速度增大，故D错误。
11.在一次高尔夫球锦标赛中，如图所示，假设某运动员在发球区A处通过挥杆击球，使质量为m的球以初速度v0沿如图轨迹落到球道上的B点，击球点与B处高度差为H，取A处所在平面为参考平面，不考虑空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)球在上升过程中其动能与重力势能相等的位置距离A位置的竖直高度；
(2)球落在球道B处时的机械能和落地速度大小。
答案 (1)eq \f(v02,4g) (2)eq \f(1,2)mv02 eq \r(2gH＋v02)
解析 (1)球在上升过程中机械能守恒，设距离A位置的竖直高度为h时，球的动能与重力势能相等，即Ek＝Ep＝mgh
由机械能守恒定律可得eq \f(1,2)mv02＝Ek＋Ep
联立解得h＝eq \f(v02,4g)；
(2)整个过程机械能守恒，所以球在B处时的机械能等于初始A位置处的机械能，即
E＝eq \f(1,2)mv02
从A到B由机械能守恒定律得
eq \f(1,2)mv02＝eq \f(1,2)mvB2－mgH
解得vB＝eq \r(2gH＋v02)。
12.蹦极是一项非常刺激的运动。为了研究蹦极过程，可将人视为质点，人的运动沿竖直方向，人离开蹦极台时的初速度、弹性绳的质量、空气阻力均可忽略。某次蹦极时，人从蹦极台跳下，到a点时弹性绳恰好伸直，人继续下落，能到达的最低位置为b点，如图所示。已知人的质量m＝50 kg，弹性绳的弹力大小F＝kx，其中x为弹性绳的形变量，k＝200 N/m，弹性绳的原长l0＝10 m，整个过程中弹性绳的形变始终在弹性限度内。取重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求人第一次到达a点时的速度大小v；
(2)人的速度最大时，求弹性绳的长度；
(3)已知弹性绳的形变量为x时，它的弹性势能Ep＝eq \f(1,2)kx2，求人的最大速度大小。
答案 (1)10eq \r(2) m/s (2)12.5 m (3)15 m/s
解析 (1)人由蹦极台第一次到达a点的运动过程中，根据机械能守恒定律有mgl0＝eq \f(1,2)mv2
解得v＝10eq \r(2) m/s
(2)人的速度最大时，重力等于弹力，即kx＝mg
解得x＝2.5 m
此时弹性绳的长度l＝l0＋x＝12.5 m
(3)设人的最大速度为vm，根据人和弹性绳组成的系统机械能守恒得mgl＝eq \f(1,2)kx2＋eq \f(1,2)mvm2
解得vm＝15 m/s。项目
表达式
物理意义
说明
从守恒的角度看
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
必须先选参考平面
从转化角度看
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
不必选参考平面
从转移角度看
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
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