高中物理人教版 (2019)必修 第二册4 机械能守恒定律优质学案设计

机械能守恒定律

单个物体机械能守恒

1. 单个物体，是指研究对象只包含一个物体，实际是该物体与地球组成的系统。

2. 单个物体机械能守恒的条件：只有重力做功。

3. 常用表达式：（1）守恒观点：

（2）转化观点：

4. 常见模型：

（1）物体做抛体运动

（2）物体沿光滑固定斜面下滑或上滑

（3）小球在细绳拉力作用下来回摆动（不计一切阻力）

5. 用机械能守恒定律解决单体问题的思路

（1）确定研究对象（单个物体）

（2）分析物体运动过程中的受力情况及各力做功情况，确定物体机械能是否守恒

（3）确定初、末状态机械能

（4）选择合适的表达式，列式求解

如图所示，质量m＝2 kg的小球用长L＝1. 05 m的轻质细绳悬挂在距水平地面高H＝6. 05 m 的O点。现将细绳拉直至水平状态，自A点无初速度释放小球，运动至悬点O的正下方B点时细绳恰好断裂，接着小球做平抛运动，落至水平地面上C点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：

（1）细绳能承受的最大拉力；

（2）细绳断裂后小球在空中运动所用的时间；

（3）小球落地瞬间速度的大小。

答案：（1）60 N　（2）1 s　（3）11 m/s

解析：（1）根据机械能守恒定律

mgL＝mv

由牛顿第二定律得

F－mg＝m

故最大拉力F＝3mg＝60 N

（2）细绳断裂后，小球做平抛运动，且

H－L＝gt2

故t＝

＝ s＝1 s

（3）整个过程，小球的机械能守恒，故：

mgH＝mv

所以vC＝＝m/s＝11 m/s

滑板运动是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜爱。如图所示是滑板运动的轨道，AB和CD是一段圆弧形轨道，BC是一段长7 m 的水平轨道。一运动员从AB轨道上的P点以6 m/s的速度下滑，经BC轨道后冲上CD轨道，到Q点时速度减为零。已知运动员与滑板的总质量为50 kg，h＝1. 4 m，H＝1. 8 m，不计圆弧轨道上的摩擦（g＝10 m/s2）。求：

运动员第一次经过B点、C点时的速度各是多少？

答案：6 m/s

解析：以水平轨道所在水平面为零势能面，从P点到B点，根据机械能守恒定律有

mv＋mgh＝mv

解得vB＝8 m/s。

从C点到Q点，根据机械能守恒定律有

mv＝mgH

解得vC＝6 m/s。

1. 单个物体机械能守恒条件：只有重力做功

2. 应用机械能守恒定律解决单体问题的基本解题思路

（答题时间：30分钟）

1. 质量为m的小球，从离地面h高处以初速度v0竖直上抛，小球上升到最高点时离抛出点距离为H，若选取最高点为零势能面，不计空气阻力，则（　　）

A. 小球在抛出点（刚抛出时）的机械能为零

B. 小球落回抛出点时的机械能为－mgH

C. 小球落到地面时的动能为mv－mgh

D. 小球落到地面时的重力势能为－mgh

2. 质量相同的小球A和B分别悬挂在长为l0和2l0的不可伸长的绳上。如图所示，先将小球拉至同一水平位置（绳张紧）从静止释放，当两绳竖直时，则 （　　）

A. 两球速度一样大

B. 两球的动能一样大

C. 两球的机械能一样大

D. 两球所受的拉力一样大

3. 如图所示为半径分别为r和R（r<R）的光滑半圆形槽，其圆心O1、O2均在同一水平面上，质量相等的两物体分别自两半圆形槽左边缘的最高点无初速度释放，在下滑过程中两物体（　　）

A. 经最低点时动能相等

B. 均能达到半圆形槽右边缘的最高点

C. 机械能总是相等的

D. 到达最低点时对轨道的压力大小不同

4. 如图所示，光滑细圆管轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，C为半圆的最高点。有一质量为m、 半径较管道略小的光滑的小球以水平初速度v0射入圆管。

（1）若要小球从C端出来，初速度v0应满足什么条件？

（2）在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种情况，初速度v0各应满足什么条件？

5. 如图所示，某大型露天游乐场中过山车的质量为1 t，从轨道一侧的顶点A处由静止释放，到达底部B处后又冲上环形轨道，使乘客头朝下通过C点，再沿环形轨道到达底部B处，最后冲上轨道另一侧的顶点D处，已知D与A在同一水平面上。A、B间的高度差为20 m，圆环半径为5 m，如果不考虑车与轨道间的摩擦和空气阻力，g取10 m/s2。试求：

（1）过山车通过B点时的动能；

（2）过山车通过C点时的速度大小；

（3）过山车通过D点时的机械能。（取过B点的水平面为零势能面）

1. 【答案】A

【解析】选取最高点位置为零势能面，小球上升到最高点时，动能为0，势能也为0，所以在最高点的机械能为0，在小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，故任意位置的机械能都为0，所以小球刚抛出时和落回抛出点时的机械能都是0，故A正确，B错误；从抛出点到落地过程中，只有重力做功，机械能守恒，则得：mv2－mv＝mgh，解得落地时的动能Ek＝mv2＝mv＋mgh，故C错误；小球落到地面时离最高的高度为－（H＋h），重力势能为－mg（H＋h），故D错误。

2. 【答案】CD

【解析】两小球运动过程中，满足机械能守恒定律，mgl＝mv2，由于两绳绳长不同，所以两小球下落到最低点时的速度、动能不同，A、B错误。由于初状态时两小球机械能相等，下落过程中，两小球的机械能不变，C项正确。两小球下落到最低点时，拉力与重力的合力充当向心力，F－mg＝m，结合mgl＝mv2可得F＝3mg，两小球所受的拉力一样大，D正确。

3. 【答案】BC

【解析】物体初始机械能相等且运动中机械能守恒，B、C对；势能的减少量等于动能的增加量，故在半径为R的半圆形槽中运动的物体经最低点时的动能大，A错；由mgr＝mv2及FN－mg＝m知，FN＝3mg，到达最低点时对轨道的压力大小相同，D错。

4. 【答案】（1）v0>2

（2）①刚好对管壁无作用力，v0＝

②对下管壁有作用力，2<v0<

③对上管壁有作用力，v0>

【解析】（1）小球恰好能达到最高点的条件是vC＝0，由机械能守恒定律，此时需要初速度v0满足

mv＝mg·2R，得v0＝2，因此要使小球能从C端出来需满足入射速度v0＞2。

（2）小球从C端出来瞬间，对管壁作用力可以有三种情况：

①刚好对管壁无作用力，此时重力恰好充当向心力，由圆周运动知识：mg＝m。

由机械能守恒定律，mv＝mg·2R＋mv，

联立解得v0＝。

②对下管壁有作用力，此时应有mg＞m，

此时相应的入射速度v0应满足2＜v0＜。

③对上管壁有作用力，此时应有mg＜m，

此时相应的入射速度v0应满足v0＞。

5. 【答案】（1）2×105J　（2） m/s　（3）2×105J

【解析】（1）过山车由A点运动到B点的过程中，由机械能守恒定律ΔEk增＝ΔEp减可得过山车在B点时的动能。

EkB＝mghAB

解得EkB＝2×105J

（2）同理可得，过山车从A点运动到C点时有

解得vC＝m/s

（3）由机械能守恒定律可知，过山车在D点时的机械能就等于在A点时的机械能，则有ED＝EA＝mghAB

解得ED＝2×105J。

系统机械能守恒

1. 多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的。

2. 系统机械能守恒的条件：重力和系统内弹力做功。

3. 机械能守恒定律表达式的选取技巧

（1）若两个物体的重力势能都在减小（或增加），动能都在增加（或减小），可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。

（2）若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。

4. 常见模型：

（1）绳连接

（2）杆连接

（3）自由滑动

注意：关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。

如图所示，轻绳连接A、B两物体，A物体悬在空中距地面H高处，B物体放在水平面上。若A物体质量是B物体质量的2倍，不计一切摩擦。由静止释放A物体，以地面为零势能参考平面。当A的动能与其重力势能相等时，A距地面的高度是多少？

答案：H

解析：设A的动能与重力势能相等时A距地面高度为h，对A、B组成的系统，由机械能守恒定律得：

mAg（H－h）＝mAv2＋mBv2①

又由题意得：mAgh＝mAv2②

mA＝2mB③

由①②③式解得：h＝H。

如图所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮。开始时两物块都位于与地面距离为H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落。若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的比值。滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计。

答案：1∶2

解析：设B刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得：

m2g·－m1g·sin 30°＝（m1＋m2）v2①

A以速度v上滑到顶点过程中机械能守恒，则：

m1v2＝m1g·sin 30°，②

由①②得＝1∶2。

1. 系统机械能守恒的常用表达式

（1）若两个物体的重力势能都在减小（或增加），动能都在增加（或减小），可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。

（2）若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。

2. 绳连接和杆连接：注意寻找物体间的速度关系和位移关系。

（答题时间：30分钟）

1. 长L的轻杆两端分别固定有质量为m的小铁球，杆的三等分点O处有光滑的水平转动轴。用手将该装置固定在杆恰好水平的位置，然后由静止释放，当杆到达竖直位置时，轴对杆的作用力F的大小和方向为　（　　）

A. 2. 4mg　竖直向上

B. 2. 4mg　竖直向下

C. 6mg　竖直向上

D. 4mg　竖直向上 

2. 如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是　 （　　）

A. A球到达最低点时速度为零

B. A球机械能减小量等于B球机械能增加量

C. B球向左摆动所能达到的最高位置应等于A球开始运动时的高度

D. 当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度

3. 如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直平面内，C是圆环最低点。两个质量均为m的小球A、B套在圆环上，用长为R的轻杆相连，轻杆从竖直位置静止释放，重力加速度为g，则（　　）

A. 当轻杆水平时，A、B两球的总动能最大

B. A球或B球在运动过程中机械能守恒

C. A、B两球组成的系统机械能守恒

D. B球到达C点时的速度大小为

4. 如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是（　　）

A. 2R   B.

C.    D.

5. 如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？

6. 如图所示，在一长为2L不可伸长的轻杆两端各固定一质量为2m与m的小球A、B，系统可绕过轻杆的中点且垂直纸面的光滑固定转轴O转动。初始时轻杆处于水平状态，无初速度释放后轻杆转动，当轻杆转至竖直位置时，求小球A的速率。

1. 【答案】A

【解析】对于整个系统而言，机械能守恒，有mgL（－）＝m（Lω）2＋m（Lω）2，当杆运动到竖直位置时，顶端的小球向心力为F1＋mg＝m（L）ω2，底端的小球向心力为F2－mg＝m（L）ω2，解以上三式得轴对杆的作用力F的大小为F2－F1＝2. 4mg，方向竖直向上，选项A正确。

2. 【答案】BD

【解析】若当A到达最低点时速度为0，则A减少的重力势能等于B增加的重力势能，只有A与B的质量相等时才会这样，因A、B质量不等，故A错误；系统机械能守恒，即A、B两球的机械能总量保持不变，故A球机械能的减少量等于B球机械能的增加量，故B正确；B球质量小于A球，故B上升高度h时增加的势能小于A球减少的势能，故当B和A球等高时，仍具有一定的速度，即B球继续升高，故C错误；因为不计一切阻力，系统机械能守恒，故当支架从左向右摆动时，A球一定能回到起始高度，故D正确。

3. 【答案】AC

【解析】A、B组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，在杆从竖直状态到水平状态的过程中，系统重力势能下降最大，A、B两球的总动能最大，故A正确；A球和B球从开始时的位置运动的过程中，除重力对其做功外，杆的作用力对它们都做功，A球或B球的机械能不守恒，而A、B两球组成的系统机械能守恒，故B错误，C正确；因为A与B一起沿圆周运动，它们的相对位置保持不变，所以A与B具有相等的线速度；由于杆的长度也是R，所以当B运动到C点时，A球恰好运动到B点如图所示：

A球下降的高度是R，B球下降的高度：h＝R·cos 60°＝0. 5R，

根据机械能守恒得，mgR＋0. 5mgR＝·2mv2

所以：v＝，故D错误。

4. 【答案】C

【解析】设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面，B恰运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，机械能守恒，故有2mgR－mgR＝（2m＋m）v2，当A落地后，B球以速度v竖直上抛，到达最高点时上升的高度为h′＝，故B上升的总高度为R＋h′＝R，选项C正确。

5. 【答案】－0. 2mgL　0. 2mgL

【解析】设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，因为机械能没有转化为其它形式的能，故系统机械能守恒，可得：mgL＋mgL＝mv＋mv

因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，

故vB＝2vA

联立得：vA＝，vB＝。

根据动能定理，杆对A、B做的功：

对A有：WA＋mg＝mv－0，

WA＝－0. 2mgL。

对B有：WB＋mgL＝mv－0，WB＝0. 2mgL。

6. 【答案】

【解析】A球和B球组成的系统机械能守恒

由机械能守恒定律，得：

2mgL－mgL＝mv＋（2m）v①

又vA＝vB②

由①②解得vA＝。