第七章 随机变量及其分布—2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册单元检测卷（B卷）

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第七章 随机变量及其分布（B卷）【满分：120分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在下，二、七在上，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为( )A. B. C. D.2.已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，记随机变量，则( )A. B. C. D.3.某一电子集成块由a，b，c三个元件并联构成，三个元件是否有故障相互独立.已知至少有一个元件正常工作时该集成块就能正常运行.若每个元件能正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为( )A. B. C. D.4.某射手每次射击击中目标的概率相同，他准备进行次射击，设击中目标的次数为X，已知，且，则( )A. B.1 C.2 D.45.立德中学举行“学习党代会,奋进新征程”交流会,共有6位老师、4位学生进行发言.现用抽签的方式决定发言顺序,事件表示“第k位发言的是学生”,则( )A. B. C. D.6.学校食堂分设有一、二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅用餐，根据统计：学生小吴第一天选择一餐厅用餐，第二天还选择一餐厅用餐的概率为0.6；第一天选择二餐厅用餐，第二天选择一餐厅用餐的概率为0.7.那么学生小吴第二天选择一餐厅用餐的概率为( )A.0.18 B.0.28 C.0.42 D.0.657.已知某产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，若该产品按件进行检测，第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱共有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于( )A. B. C. D.8.甲箱中装有编号分别为1，3，5的大小相同的小球，乙箱中装有编号分别为2，4的大小相同的小球现从甲箱中任取一个小球，上面的数字用表示，从乙箱中任取一个小球，上面的数字用表示，记则( )A.， B.，C.， D.，二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知随机变量分布列如下表;记“函数是偶函数”为事件A,则下列结论正确的有( )A. B. C. D.10.李明每天从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则( )A.B.C.李明计划前到校，应选择坐公交车D.李明计划前到校，应选择骑自行车11.甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )A.事件B与事件相互独立 B.C. D.12.学校食堂每天中午都会提供A,B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种）,经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为；前一天选择B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率也是,如此反复.记某同学第n天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为.一个月（30天）后,记甲乙丙三位同学选择B套餐的人数为X,则下列说法中正确的是( )A. B.数列是等比数列C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若，则Y的方差__________.14.已知随机变量,,,且,则____________.15.如图,电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为,,则该电路正常工作的概率__________________.16.已知随机变量,,则取最小值时,__________.四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（3）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小.（结论不要求证明）18.甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为.已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢.（1）求第四盘棋甲赢的概率：（2）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率.19.某校为庆祝元旦,举办了游园活动,活动中有一个填四字成语的游戏,游戏规则如下:该游戏共两关,第一关中四字成语给出其中三个字,参与游戏者需填对所缺的字,才能进入第二关;第二关中四字成语给出其中两个字,剩余两个字全部填对得10分,只填一个且填对得5分,只要填错一个或两个都不填得0分.（1）已知小李知道该成语的概率是,且小李在不知道该成语的情况下,填对所缺的字的概率是,在小李通过第一关的情况下,求他知道该成语的概率.（2）在过第二关时,小李每个字填与不填是等可能的,且每个字填对与填不对也是等可能的.记X表示小李在第二关中得到的分数,求X的分布列及数学期望.20.为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求,提高市民“反诈”意识,某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛,共有10000名市民参与了知识竞赛,现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人,得分统计如下：(1)现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩,求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率;(2)若该市所有参赛市民的成绩X近似服从正态分布,试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）;(3)为了进一步增强市民“反诈”意识,得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动,规则如下：①参加答题的市民的初始分都设置为100分;②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量,每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格）,规定答第k题时所需的分数为;③每答对一题得2分,答错得0分;④答完n题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）.已知市民甲答对每道题的概率均为0.6,且每题答对与否都相互独立,则当他的答题数量n为多少时,他获得的平均话费最多？参考数据：若,则,,答案以及解析1.答案：C解析：由题意可知，阳数为1，3，5，7，9，共5个，阴数为2，4，6，8，10，共5个，设取出的3个数中阳数的个数为X，则X服从超几何分布，故.故选C.2.答案：A解析：因为抛物线的对称轴在y轴的左侧，所以，即a，b同号且均不为零，故抛物线共有条.易知的可能取值为0，1，2，所以，，，所以.故选A.3.答案：A解析：记事件A为该集成块能够正常工作，事件B为有且仅有一个元件出现故障，则为该集成块不能正常工作，所以，，所以.故选A.4.答案：D解析：设该射手每次射击击中目标的概率为.由题意可知.因为，所以，所以，又，所以，所以.故选D.5.答案：C解析：因为,所以A错误.因为,所以B错误.因为,所以C正确.因为,所以D错误.故选：C.6.答案：D解析：设事件为“学生小吴第一天选择一餐厅用餐”，事件B为“学生小吴第一天选择二餐厅用餐”，事件为“学生小吴第二天选择一餐厅用餐”，则，，，由全概率公式可知，.故选D.7.答案：C解析：由题意得该产品能销售的概率为，设表示一箱产品中可以销售的件数，则，则，，1，2，3，4，易知X的取值为，，，40，160，所以，，，故.故选C.8.答案：C解析：由题意可知，摸球的结果共有6种，即①甲1，乙2，②甲3，乙2，③甲5，乙2，④甲1，乙4，⑤甲3，乙4，⑥甲5，乙4，每一种结果的概率均为，各种结果所对应的X，Y的取值分别为，；，；，；，；，；，..故，，，，，，，，，，，，，.故选C.9.答案：BC解析：由随机变量的分布列知,所以,故B正确;,故A错误,函数偶函数为事件A,满足条件的事件A的的可能取值为或1,,故C正确,D错误;故选:BC.10.答案：BCD解析：由题意可得，，故，故A错误；，，所以，故B正确；，所以，故C正确；，，所以，故D正确.故选BCD.11.答案：BD解析：易知事件的发生对事件B的发生有影响，故A错误；由题意得，，，，，，故，故B正确；，，故，故C错误；，故D正确.故选BD.12.答案：ABD解析：由于每人每次只能选择A,B两种套餐中的一种,所以,所以A正确,依题意,,则,又时,,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,所以,,当时,,所以,,.13.答案：6解析：同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.记X为遇到红灯的次数，则，，，.14.答案：解析：,,,,,,解得,故答案为：.15.答案：解析：由题,该电路正常工作指的是A元件正常工作且B,C中至少有一个能正常工作,设A,B,C元件能正常工作为事件A,B,C,该电路正常工作为事件D,由题A,B,C相互独立,则故答案为：.16.答案：6解析：由题意可知,,所以,所以,所以,当且仅当,即时,等号成立, 所以的最小值为8,此时,所以.故答案为：6.17.答案：（1）；（2）（3）解析：（1）记“该校男生支持方案一”为事件A，“该校女生支持方案一”为事件B，由于所有学生对活动方案是否支持相互独立，则由表中数据可知抽取的男生总人数为，支持方案一的有200人，则估计该校男生支持方案一的概率.抽取的女生总人数为，支持方案一的有300人，故估计该校女生支持方案一的概率.（2）记“从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，这3人中恰有2人支持方案一”为事件C，则事件C包含“名男生支持，一名男生不支持，一名女生支持”“两名男生支持，一名女生不支持”，由（1）可知.（3）.18.答案：（1）（2）解析：（1）记第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件，的和，，，则，所以第四盘棋甲赢的概率是.（2）记甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和，甲只在第三盘赢的事件为、只在第四盘赢的事件为、只在第五盘赢的事件为，则，，，则有，所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为.19.答案：（1）（2）分布列见解析,数学期望为.解析：（1）记事件A为“小李通过第一关”,事件B为“小李知道该成语”,则,,,由全概率公式可得,则所求概率为.（2）设事件表示小明填了个字,,2,C表示填到的字都是正确的.X的可能取值为0,5,10,,,.随机变量X的分布列为故.20.答案：(1)(2)1587(3)或解析：（1）从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩,基本事件总数为,设“抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分”为事件A,则事件A包含的基本事件的个数为,因为每个基本事件出现的可能性都相等,所以,即抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率为;（2）因为,所以,故参赛市民中成绩超过79分的市民数约为;（3）以随机变量表示甲答对的题数,则且,记甲答完n题所加的分数为随机变量X,则,所以,依题意为了获取答n道题的资格,甲需要的分数为：,设甲答完n题后的最终得分为,则.由于,所以当或时,取最大值.即当他的答题数量为或时,他获得的平均话费最多.01Pmn男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人成绩（分）频数61218341686X0P