数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布巩固练习

这是一份数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布巩固练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大
B．σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等
2．设随机变量X～N(μ，9)，若P(X<1)＝P(X>7)，则( )
A．E(X)＝4，D(X)＝9
B．E(X)＝3，D(X)＝3
C．E(X)＝4，D(X)＝3
D．E(X)＝3，D(X)＝9
3．设随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X≤1)＝0.3，P(1A．1 B．2 C．3 D．4
4．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位：mm)服从正态分布N(180，σ2)，且P(z≤190)＝0.9，P(z≤160)＝0.04，则P(190A．0.1B．0.04
C．0.05D．0.06
5．(多选)若随机变量X，Y的正态密度函数分别为f(x)＝，g(x)＝，f(x)，g(x)的图象如图所示(σ1>0，σ2>0)，则下列结论正确的是( )
A．P(X>1)＝P
B．σ1<σ2
C．P(X>2)＝0.158 65
D．P(0.7≤Y≤1.3)＝0.042 8
二、填空题
6．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝________．
7．若随机变量ξ服从正态分布N(9，16)，则P(－3≤ξ≤13)＝________．
参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3．
8．(2023·河南郑州期末)在某次高三联考中，学生的数学成绩(单位：分)服从正态分布N(95，100)．已知参加本次考试的学生有100 000人，则本次考试数学成绩大于105分的大约有________人．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．
三、解答题
9．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)，若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
10．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，P(ξ≤6)＝0.84，则P(ξ≤0)＝( )
A．0.16B．0.34
C．0.66D．0.84
11．甲、乙两类产品的质量(单位：kg)分别服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲类产品的平均质量小于乙类产品的平均质量
B．乙类产品的质量比甲类产品的质量更集中于平均值左右
C．甲类产品的平均质量为1 kg
D．乙类产品的质量的方差为2
12．(多选)若随机变量ξ～N(0，2)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，则下列等式成立的有( )
A．φ(－x)＝1－φ(x)
B．φ(2x)＝2φ(x)
C．P(|ξ|D．P(|ξ|>x)＝2－2φ(x)
13．设随机变量ξ服从正态分布N(φ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ＝_____________．
14．某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)试估计该校高三年级男生的平均身高；
(2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；
(3)在这50名身高在172 cm以上(含172 cm)的男生中任意抽取2人，将该2人身高纳入全市排名(从高到低)，能进入全市前135名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
15．已知某训练营新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表：
(1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；
(2)从这个训练营随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m 步枪射击个人平均成绩在区间[7.9，8.8]的概率．
参考数据：≈0.9．
课时分层作业(十八)
1．D [对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D．]
2．A [∵随机变量X~N(μ，9)，且P(X<1)＝P(X>7)，∴σ2＝9，μ＝＝4，∴E(X)＝4，D(X)＝9．故选A．]
3．C [由于随机变量X~N(μ，σ2)，满足P(X≤1)＝0.3，P(1因此P(X≥5)＝1－P(X≤1)－P(14．D [因为生产的零件尺寸z(单位：mm)服从正态分布N(180，σ2)，
所以P(z>190)＝1－P(z≤190)＝0.1，
P(z≥200)＝P(z≤160)＝0.04，
所以P(190190)－P(z≥200)＝0.1－0.04＝0.06．]
5．AC [由解析式可得，μ1＝1，σ1＝1，μ2＝－0.5，σ2＝0.6，故A选项正确，B选项错误；P(X>2)＝[1－P(06．0.14 [由题意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(27．0.84 [∵随机变量ξ服从正态分布N(9，16)，
∴对称轴方程为x＝μ＝9，σ＝4，
则P(－3≤ξ≤13)＝P(μ－3σ≤ξ≤μ＋σ)
＝[P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＋P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]
≈(0.9973＋0.6827)＝0.84．]
8．15865 [设本次联考中学生的数学成绩为X分，由题意知X~N(95，100)，∴μ＝95，σ＝10，∴P(85≤X≤105)≈0.6827，
∴P(X>105)≈＝0.15865，∴本次考试数学成绩大于105分的大约有100000×0.15865＝15865(人)．]
9．解：(1)∵X~N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2，
∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
故尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比大约是68.27%．
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24~26mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%，
∴这批零件中不合格的零件大约有5000×2.14%＝107(个)．
10．A [由题意得随机变量ξ的样本均值为3，
所以P(ξ≤0)＝P(ξ≥6)，
又P(ξ≤6)＝0.84，所以P(ξ≥6)＝1－P(ξ≤6)＝1－0.84＝0.16，
所以P(ξ≤0)＝0.16．]
11．A [由题图可知，甲类产品的平均质量为μ1＝0.5kg，乙类产品的平均质量为μ2＝1kg，甲类产品质量的方差明显小于乙类产品质量的方差．
故甲类产品的质量比乙类产品的质量更集中于平均值左右，故A正确，B、C错误；由正态密度函数的解析式f(x)＝，
可知当x＝μ时，f(x)取得最大值，
∴＝4，∴σ＝，
∴σ2＝≠2，故D错误．
故选A．]
12．ACD [因为ξ~N(0，2)，所以其正态曲线关于直线x＝0对称，
因为φ(x)＝P(ξ≤x)，x>0，
所以φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝1－φ(x)，A正确；
因为φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)＝2φ(x)不一定成立，B不正确；
因为P(|ξ|因为P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝2－2φ(x)，D正确．]
13．4 [因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4．]
14．解：(1)由频率分布直方图可知，该校高三年级男生的平均身高约为(162×0.05＋166×0.07＋170×0.08＋174×0.02＋178×0.02＋182×0.01)×4＝168.72(cm)．
(2)由频率分布直方图知，后3组的频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数为10．
(3)全市100000名男生的身高X服从正态分布N(168，16)，则P(168－3×4≤X≤168＋3×4)＝P(156≤X≤180)≈0.9973．
由正态曲线的对称性可知，P(X≥180)≈＝0.00135，且0.00135×100000＝135，
故全市约前135名男生的身高在180cm及以上．
这50人中身高在180cm及以上的人数为50×0.01×4＝2．
随机变量ξ的可能取值为0，1，2，则
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×．
15．解：(1)由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率)：
E(X)＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7，
方差D(X)＝(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02＝0.8．
用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8．
(2)由(1)知X~N(7，0.8)，因为≈0.9，所以σ≈0.9，
因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，
所以P(7.9≤X≤8.8)
＝×[P(5.2≤X≤8.8)－P(6.1≤X≤7.9]≈×(0.9545－0.6827)＝0.1359，
即从这个训练营随机抽取1名新兵，此新兵的50m步枪射击个人平均成绩在区间[7.9，8.8]的概率约为0.1359．
X
4
5
6
7
8
9
频数
1
2
26
40
29
2
X
4
5
6
7
8
9
P
0.01
0.02
0.26
0.40
0.29
0.02