新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第三中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（ ）
A. 扩大为原来的两倍B. 缩小为原来的 C. 不变D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【详解】因为△ABC三边长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
故选C.
2. 下列函数中，二次函数是( )
A. y＝﹣4x+5B. y＝x(2x﹣3)
C. y＝(x+4)2﹣x2D. y＝
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可.
【详解】解：A. y=-4x+5是一次函数，不符合题意；
B. y= x(2x-3)=2x2-3x，是二次函数，符合题意；
C. y=(x+4)2−x2=8x+16，为一次函数，不符合题意；
D. y=是组合函数，不符合题意.
故选B.
【点睛】本题考查二次函数的定义,熟知二次函数的表达形式是解答的关键.
3. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，那么下列式子中正确的是( )
A. sinA＝B. csA＝C. tanA＝D. ctA＝
【答案】A
【解析】
【详解】如图：
由锐角三角函数定义，知：，
故选A.
4. 已知非零向量，下列条件中，不能判定向量 与向量平行的是
A. ∥∥B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】A.由推知非零向量的方向相同,则，故本选项错误；
B.由不能确定非零向量的方向，故不能判定其位置关系，故本选项正确；
C.由推知,则非零向量与的方向相同,所以∥，故本选项错误；
D.由推知非零向量与的方向相反,则∥，故本选项错误.
故选B.
5. 如果二次函数的图像全部在x轴的下方，那么下列判断中正确的是
A. a＜0，b＜0B. a＞0，b＜0
C. a＜0，c＞0D. a＜0，c＜0
【答案】D
【解析】
【详解】如果二次函数的图像全部在x轴的下方，则抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，所以a＜0，c＜0.
故选D.
6. 如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵DE∥BC
∴=.
∵EF∥DC，
∴= ，
∴即AD2=AF⋅AB.
故选C.
点睛：本题考查了平行线分线段成比例.平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.注意找对应关系，以防错解.
二、填空题：（本大题共 12题，每题4分，满分48分）
7. 已知＝，则＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的基本性质，由可得，然后代入式子进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质并能灵活运用性质进行分式的化简求值是解题的关键．
8. 已知线段的长为，点是线段的黄金分割点，那么较长线段的长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割的概念得到，把代入计算即可．
【详解】解：∵线段长为，点是线段的黄金分割点，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，理解黄金分割点的概念是解题的关键．
9. 已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1= ________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据相似三角形的中线之比等于相似比，周长之比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，且周长的比值是，
∴相似比为3：2，
∵BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，
∴BE：B1E1=3：2，
∵BE=6，
∴B1E1=4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解答的关键．
10. 计算：=__________．
【答案】
【解析】
【详解】==.
故答案为.
11. 计算：3tan30°+sin45°=__________．
【答案】
【解析】
【详解】3tan30°+sin45°==.
故答案为
12. 抛物线 的最低点的坐标是__________．
【答案】（0,-4）
【解析】
【详解】根据二次函数的图象与性质可得抛物线的最低点（顶点）的坐标是（，）.
13. 将抛物线向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_________．
【答案】
【解析】
【详解】抛物线y=2x2的顶点坐标为(0，0)，点(0，，)向下平移3个单位后所得对应点的坐标为(0，-3)，所以平移后的抛物线的表达式是y=2x2-3.
故答案为：y=2x2−3.
14. 如图，已知直线分别交直线于点A、B、 C，交直线 交于点D、 E、F，且，，则_______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据题意，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：∵，，

即
∴，
故答案为： 6．
15. 如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是______(不写定义域)．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出S与x的二次函数解析式即可．
【详解】设垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边为（10﹣2x）米，根据题意得：S=x（10﹣2x）=﹣2x2+10x．
故答案为S=﹣2x2+10x．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意是解答本题的关键．
16. 如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是________米（结果保留根号形式）．
【答案】
【解析】
【详解】过点C⊥AB于点D,
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，AC=100m，
∴AD=100⋅sin∠ACD=100×=50(m)，
CD=100⋅cs∠ACD=100×= (m)
在Rt△BCD中，
∵∠BCD=45°，
∴BD=CD=m，
则AB=AD+BD=50+ (m).
故答案为50+
17. 已知点(﹣1，m)、(2，n )在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a____0(用“＞”或“＜”连接)．
【答案】>；
【解析】
【详解】∵=a(x-1)2-a-1，
∴抛物线对称轴为：x=1，
由抛物线的对称性，点（-1，m）、（2，n）在二次函数的图像上，
∵|−1−1|＞|2−1|，且m＞n，
∴a>0.
故答案为>
18. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，BC=8，点D在边BC上，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E处，联结CE、DE，当∠BDE=∠AEC时，则BE的长是 .
【答案】
【解析】
【详解】解：如图；
作CH⊥AB于H.
在Rt△ABC中，∵BC=8，，
∴AB=10，AC=8，CH=,BH=,
由题意EF=BF,设EF=BF=a,则BD=a,
∵∠BDE=∠AEC,
∴∠CED+∠ECB=∠ECB+∠B,
∴∠CED =∠B,
∵∠ECD=∠BCE,
∴△ECD∽△BCE,
∴EC2=CD·CB,
∴()2+(2a-)2=(8-a)×8,
解得a=或0，（舍）
BE=2a=
故答案为.
点睛：此题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.
三、解答题: （本大题共 7 题，满分 78 分）
19. 将抛物线向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标
和对称轴．
【答案】 ，顶点坐标是（-2，1）；对称轴是直线．
【解析】
【详解】试题分析：平移抛物线的依据是，当二次函数的二次项系数a的值相同时，二次函数图像的形状完全相同，即开口方向和开口大小完全相同，仅仅位置不同，所以他们之间可以进行平移.
试题解析：∵=，
∴平移后的函数解析式是．
顶点坐标是（-2，1）．
对称轴是直线．
20. 如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心，设．

（1） （用向量表示）；
（2）设，在图中求作．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）由DE∥BC，DE经过△ABC的重心，可得AD：AB=DE：BC=2：3，即可求得；
（2）取点BC的中点M，连接AM，则即为所求.
【详解】解：(1)∵DE∥BC，DE经过△ABC的重心，
∴AD：AB=DE：BC=2：3，，
∵，
∴ ；
（2）如图,取点AB的中点M，连接AM，则即为所求.
21. 如图，已知G、H分别是□ABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F．
（1）当时，求 的值；
（2）联结BD交EF于点M，求证：MG·ME=MF·MH.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）由，得.由于△CFH∽△DFG，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得结果；
（2）根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AD//BC，由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出答案.
【详解】解：（1）∵，
∴．
∵ □ABCD中，AD//BC,
∴ △CFH∽△DFG ，
∴()2,
∴=．
（2）证明：∵ □ABCD中，AD//BC，
∴,
∵ □ABCD中，AB//CD，
∴,
∴．
∴MG·ME=MF·MH．
22. 如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为i=1：的斜坡CD前进2米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．
（1）求点D的铅垂高度（结果保留根号）；
（2）求旗杆AB的高度（精确到0.1）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）
【答案】（1）点D的铅垂高度是米（2）旗杆AB的高度约为7.7米
【解析】
【详解】试题解析：(1)延长ED交射线BC于点H，在中，求得∠DCH=30°，根据30°角直角三角形的性质即可求得DH的长，即求得点D的铅垂高度；（2）过点E作����⊥����于F，根据题意可得，易证四边形FBHE为矩形．从而求得EF、FB的长；在中，根据锐角三角函数求得AF的长，即可求得AB的长.
试题分析：
延长ED交射线BC于点H．
由题意得．
在中，：．
．
．
，
．
答：点D的铅垂高度是米
过点E作于F．
由题意得，即为点E观察点A时的仰角，
．
，
．
四边形FBHE为矩形．
．
．
在中，．
．
答：旗杆AB的高度约为米．
23. 如图，已知，在锐角中，于点E，点D在边AC上，连接BD交CE于点F，且．
求证：；
连接AF，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）证明△EFB∽△DFC，根据相似三角形对应角相等可得∠EFB=∠FDC，从而证得BD⊥AC；
（2）由∽，可得，从而证明∽，根据相似三角形的性质可得，再根据，从而得∽，根据相似三角形的性质即可得.
试题解析：（1），
，
，
∽，
，
，
，
，
；
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
．
24. 已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线l在第三象限上的点，连接AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；
(3)在(2)的条件下，连接AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】 （1）；（2） ；（3）E的坐标为（-2，-4）或（4，-4）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）把A、B两点带入抛物线解析式，求得a、b的值，即可得到抛物线解析式；
（2）由AC=AB且点C在点A的左侧，及线段CP是线段CA、CB的比例中项，可得CP=，
由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，可得△CPA∽△CBP，由此∠CPA= ∠CBP.
过P作PH⊥x轴于H，易得PH=4，H（-7，0），BH=12. 由于P（-7，-4），可求；
（3）分两种情况：点E在M左侧和点E在M右侧讨论即可.
试题解析：（1）∵ 抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0），
∴,
解得
∴ 抛物线的解析式为 .
（2）∵ A（1，0），B（5，0），
∴ OA=1，AB=4.
∵ AC=AB且点C在点A的左侧，
∴ AC=4 .
∴ CB=CA+AB=8.
∵ 线段CP是线段CA、CB的比例中项，
∴ .
∴ CP=.
又 ∵ ∠PCB是公共角，
∴ △CPA∽△CBP .
∴ ∠CPA= ∠CBP.
过P作PH⊥x轴于H.
∵ OC=OD=3，∠DOC=90°，
∴ ∠DCO=45°.∴ ∠PCH=45°
∴ PH=CH=CP=4，
∴ H（-7，0），BH=12，
∴ P（-7，-4），
∴ ，
tan∠CPA=.
（3） ∵ 抛物线的顶点是M（3，-4），
又 ∵ P（-7，-4），
∴ PM∥x轴 .
当点E在M左侧， 则∠BAM=∠AME.
∵ ∠AEM=∠AMB，
∴ △AEM∽△BMA.
∴,
∴.
∴ ME=5，∴ E（-2，-4）.
过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，-4）.
当点E在M右侧时，记为点，
∵ ∠AN=∠AEN，
∴ 点与E 关于直线AN对称，则（4，-4）.
综上所述，E的坐标为（-2，-4）或（4，-4）.
点睛：本题主要考查二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，证得△AEM∽△BMA是解题的关键.
25. 如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）当△EFD为等腰三角形时，FG的长度是：．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由等边对等角得∠B=∠BED，由同角的余角相等可得∠A=∠GEF，进而由两角分别相等的两个三角形相似，可证△EFG∽△AEG；
（2）作EH⊥AF于点H，由tanA=及△EFG∽△AEG，得AG=4x，AF=3x，EH=，
可得y关于x的解析式；
（3）△EFD是等腰三角形，分三种情况讨论：①EF=ED；②ED=FD；③ED=EF三种情况讨论即可.
试题解析：（1）∵ ED=BD，
∴ ∠B=∠BED．
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠B+∠A=90°．
∵ EF⊥AB，
∴ ∠BEF=90°．
∴ ∠BED+∠GEF=90°．
∴ ∠A=∠GEF．
∵ ∠G是公共角，
∴ △EFG∽△AEG；
（2）作EH⊥AF于点H．
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴tanA==，
∴ 在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA==,
∵ △EFG∽△AEG，
∴ ,
∵ FG=x，
∴ EG=2x，AG=4x．
∴ AF=3x．
∵ EH⊥AF，
∴ ∠AHE=∠EHF=90°．
∴ ∠EFA+∠FEH=90°．
∵ ∠AEF=90°，
∴ ∠A+∠EFA=90°,
∴ ∠A=∠FEH
∴ tanA =tan∠FEH,
∴ 在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH==,
∴ EH=2HF,
∵ Rt△AEH中，∠AHE=90°，tanA==，
∴ AH=2EH，
∴ AH=4HF，
∴ AF=5HF，
∴ HF=，
∴EH=，
∴y=FG·EH=x·=定义域：（0（3）当△EFD为等腰三角形时，
①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD，
∵∠BED=∠EFH，
∴∠BEH=∠AHG，
∵∠ACB=∠AEH=90°，
∴∠CEF=∠HEF，即EF为∠GEH平分线，
则ED=EF=x，DG=8−x，
∵anA=，
∴x=3，即BE=3；
②若FE=FD, 此时FG的长度是;
③若DE=DF, 此时FG的长度是.
点睛：此题考查了相似三角形的性质与判定，也考查了求函数解析式，综合性比较强，解题的关键是多次利用相似三角形的判定和性质解决问题.