2024春九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系学情评估新版试卷（北师大版）

这是一份2024春九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系学情评估新版试卷（北师大版），共9页。
第一章学情评估一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos B的值是(　　)A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) (第1题)　 　 (第2题)　　 (第4题)2．如图，有一斜坡AB的长为10，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅直高度AC为(　　)A．10 tan 36° B．10 sin 36° C.eq \f(10,sin 36°) D．10 cos 36°3．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝eq \f(2,3)，则AB＝(　　)A．18 B．9 C．10 D．124．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cos B的是(　　)A.eq \f(CD,AC) B.eq \f(BD,CB) C.eq \f(CD,CB) D.eq \f(CB,AB)5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AC＝eq \r(5)，BC＝2，那么sin∠ACD等于(　　)A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(2 \r(5),3) D.eq \f(\r(5),2) (第5题)　　 (第6题)6．如图，在网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠CAB的正切值是(　　)A．2 B.eq \f(2 \r(5),5) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(1,2)7．如图，圆规两脚OA，OB张开的夹角∠AOB为α，OA＝OB＝12，则两脚张开的距离AB为(　　)A．24 sin eq \f(α,2) B．24 cos eq \f(α,2) C．12 sin α D．12 cos α (第7题)　　 (第8题)　　 (第9题)8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，MN＝eq \r(3)，M，N分别是AC，AB的中点，则AB的长为(　　)A．2 B．2 eq \r(3) C．4 D．4 eq \r(3)9．如图，在高楼AB前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得楼顶的仰角为45°，则该高楼AB的高度大约为(　　)A．82 m B．163 m C．52 m D．30 m10．如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若∠DCE＝β，则矩形ABCD的周长可表示为(　　)A．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,cos β)＋\f(5,sin β))) B．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,sin β)＋\f(5,cos β)))C．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,sin β)＋\f(5,tan β))) D．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,tan β)＋\f(5,cos β))) (第10题)　 　 (第14题)二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)11．比较大小：sin 80°________sin 50°(填“＞”或“＜”)．12．若eq \r(3)tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是________．13．定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A．等腰三角形中有两条边为4和6，则底角的余切值为________．14．如图，△ABC的顶点A，C的坐标分别是(0，2 eq \r(3))，(2，0)，且∠ACB＝90°，∠B＝30°，则顶点B的坐标是__________．15．现有一架长4 m的梯子AB斜靠在墙面上，要想使人安全地攀上梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.如图，当梯子与地面的夹角为60°时，若将梯子底端沿CA方向滑动1 m到点A′处，此时________(填“能”或“不能”)安全使用这架梯子． (第15题)　　 　 (第16题)16．如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，且DE＝2CE，BE⊥AC于点F，连接DF，有下列四个结论：①△CEF∽△ACB；②AF＝2CF；③DF＝AF；④tan∠ACD＝eq \f(\r(3),3).其中正确的结论有________(填写序号即可)．三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(8分)计算：(1)2－1－eq \r(3)sin 60°＋(π－2 024)0＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))；(2)sin2 30°＋tan 45°·cos 60°.18．(8分)春节期间，小南和同学相约外出游玩．如图，他们在A地集合后，沿南偏西75°方向行走一段距离到达打卡点B，打卡后前往位于打卡点B正北方向120 m处的餐厅C用餐．已知A在C的东南方向上．求A，C两地间的距离(结果精确到个位，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(6)≈2.45)．19．(8分)如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，eq \f(BC,CD)＝eq \f(3,2)，E是AB的中点，tan D＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长．20．(8分)如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转，得到Rt△A′OB′，使点A的对应点A′落在AB边上，过点B′作B′C∥AB，交AO的延长线于点C.(1)求证：∠BA′O＝∠C；(2)若OB＝2OA，求tan∠OB′C的值．21．(10分)王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，如图，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2eq \r(10) m到达斜坡上D点处，在D点处测得大树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为1∶3(点E，C，B在同一水平线上)．(1)求王刚同学从C点到D点的运动过程中上升的高度；(2)求大树AB的高度(结果保留根号)．22．(10分)在物理学中，速度具有大小和方向．如图①，点O受到两个速度v1，v2的影响，大小方向用有向线段OA，OB表示，以线段OA，OB为邻边作平行四边形，则对角线OC的大小和方向表示合速度(即实际速度)v的大小和方向，这种方法称为平行四边形法则．下面利用平行四边形法则解决实际问题．(1)已知小河的水流速度大小为3 km/h，小船在静水中的航行速度大小也为3 km/h.如图②，当小船朝着垂直于河岸的方向航行时，根据平行四边形法则可知，小船的实际速度方向为北偏东________°，大小为________km/h.(2)已知小河的水流速度大小仍为3 km/h.如图③，若要使小船的实际速度方向为垂直于河岸的方向，大小为3 eq \r(3) km/h，则小船应该朝哪个方向航行，速度大小为多少？答案一、1.D　2.B　3.B　4.C　5.A　6.D　7.A　8.C　9.A10．B　二、11.>　12.20°　13.eq \f(\r(2),4)或eq \f(3 \r(7),7)　14.(8，2 eq \r(3))　15.不能16．①④三、17.解：(1)原式＝eq \f(1,2)－eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＋1＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(3,2)＋1＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,4).18．解：如图，过B作BM⊥AC于M，则∠BMC＝90°.由题意易得，∠C＝45°，∠ABC＝75°，∴∠BAC＝60°，∠CBM＝45°，∴BM＝CM＝BC·cos C＝eq \f(\r(2),2)BC＝60 eq \r(2)(m)，∴AM＝eq \f(BM,tan ∠BAC)＝eq \f(60 \r(2),\r(3))＝20 eq \r(6)(m)，∴AC＝CM＋AM＝60 eq \r(2)＋20 eq \r(6)≈134(m)．∴A，C两地间的距离为134 m.19．解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°.∵E是AB的中点，CE＝1，∴AE＝BE＝CE＝1，∴AB＝2，∠B＝∠ECB.∵eq \f(BC,CD)＝eq \f(3,2)，∴设BC＝3x(x≠0)，则CD＝2x.在Rt△ACD中，∵tan D＝2，∴eq \f(AC,CD)＝2.∴AC＝4x.在Rt△ACB中，由勾股定理得AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝5x，∴sin∠ECB＝sin B＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(4,5).∵AB＝2，∴5x＝2，∴x＝eq \f(2,5).∴AD＝eq \r(AC2＋CD2)＝eq \r(（4x）2＋（2x）2)＝2 eq \r(5)x＝2 eq \r(5)×eq \f(2,5)＝eq \f(4 \r(5),5).20．(1)证明：如图．∵B′C∥AB，∴∠A＋∠C＝180°.由旋转得OA′＝OA，∴∠1＝∠A.∵∠1＋∠BA′O＝180°，∴∠A＋∠BA′O＝180°，∴∠BA′O＝∠C. (2)解：如图，由旋转得∠A′OB′＝∠AOB＝90°，∴∠2 ＋∠3＝90°.易得∠3＋∠4＝90°，∴∠2＝∠4.又∵∠BA′O＝∠C，∴180°－∠2－∠BA′O＝180°－∠4－∠C，∴∠B＝∠OB′C.在Rt△AOB中，∵OB＝2OA，∴tan∠OB′C＝tan B＝eq \f(OA,OB)＝eq \f(1,2).21．解：(1)如图，过点D作DH⊥CE于点H.由题意知CD＝2eq \r(10) m.∵斜坡CF的坡比为1∶3，∴eq \f(DH,CH)＝eq \f(1,3).设DH＝x m(x>0)，则CH＝3x m，∵DH2＋CH2＝DC2，∴x2＋(3x)2＝(2eq \r(10))2，解得x＝2(负值舍去)．∴DH＝2 m.答：王刚同学从C点到D点的运动过程中上升的高度为2 m.(2)如图，过点D作DG⊥AB于点G.易得四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2 m．设AB＝y m，则AG＝(y－2)m.∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝y m.由(1)易知CH＝6 m，∴BH＝DG＝(y＋6) m.∵∠ADG＝30°，∴eq \f(AG,DG)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).∴eq \f(y－2,y＋6)＝eq \f(\r(3),3)，解得y＝6＋4 eq \r(3).经检验，y＝6＋4 eq \r(3)符合题意．答：大树AB的高度是(6＋4 eq \r(3))m.22．解：(1)45；3 eq \r(2)(2)如图，∵小河的水流速度大小仍为3 km/h，小船的实际速度大小为3 eq \r(3)km/h，小船的实际速度方向为垂直于河岸的方向，∴易得小船在静水中的航行速度大小为eq \r(32＋（3 \r(3)）2)＝6(km/h)．设小船朝北偏西β方向航行，易得tan β＝eq \f(3,3 \r(3))＝eq \f(\r(3),3)，∴β＝30°.答：小船应该朝北偏西30°方向航行，速度大小为6 km/h.