高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体教案，共8页。教案主要包含了百分位数定义，求原始数据的百分位数方法小结等内容，欢迎下载使用。


教学基本信息
课题
9.2.2 总体百分位数的估计
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书 数学必修第二册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 8 月
教学目标及教学重点、难点
本节课的主要内容是百分位数的理解与应用.学生通过对“某市政府为实施居民生活用水阶梯式水价而确定合理的标准”这一案例的继续探究，明确百分位数的概念，理解百分位数的统计含义，提高数据分析的能力.共设计3道例题，学生体会各种数据形式条件下样本数据的百分位数的计算，从而估计总体百分位数，为后续进一步的决策提供数据支撑.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
前面的学习中，我们对抽取的100户居民用户月均用水量的样本数据进行了整理，用频率分布表、频率分布直方图描述了某市居民用户月均用水量的样本数据.
由样本估计总体，从整体分布规律的角度，推测该市“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”，初步体会了统计中用样本估计总体的思想.
今天我们继续对这组样本数据进行分析，进一步地为政府决策服务.
在前两节课的基础上，进一步激发学生的数据分析的意识与能力
新课
问题：如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据是上节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？
思考：如何理解这个问题？
分析：根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数，使全市居民用户月均用水量中不超过的占80%，超过的占20%.
追问1：寻找的这个数 a ，反映这组数据的什么特征？
位置参数
追问2：如何寻找全市居民用户月均用水量某个位置的数a呢？
通过样本数据对 a 的值进行估计.
追问3：怎么去找这个位置参数a呢？
在我们以往的学习过程中遇到过类似的问题吗？
中位数！
追问4：100 户居民用户的月均用水量数据的中位数怎么找？
把100个样本数据按从小到大排序，得到第50个和第51个数据分别为6.4和6.8.
计算这两个数的平均数
即为这组数据的中位数.
方法小结：
求100个数据的中位数的步骤：
第一步：将原始数据按从小到大排序
第二步：计算100×1/2=50
第三步：计算第50和第51个数据的平均数，即为这100个数据的中位数
从50%到80%，我们采用类比的方法来寻找我们需要的数a，
第一步：将原始数据按从小到大排序
第二步：计算100×80%=80，
得到第80个81个数据分别为13.6和13.8
可以发现，区间（13.6,13.8）内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.为简单便于计算，一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第80百分位数，或80%分位数.
方法小结：
求100个数据的第80百分位数的步骤：
第一步：将原始数据按从小到大排序
第二步：计算100×80%=80
第三步：计算第 80 个和第 81个数据的平均数，即为第80 百分位数
根据样本数据的第80百分位数，我们可以估计总体数据的第80百分位数为13.7左右.
由于样本数据的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问题中，只要临界值近似为第80百分位数即可，因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为14t，或者把年用水量标准定为168t.
思考：若这组数据共99个，则这组数据的中位数怎么求？第80百分数呢？
我们先回顾99个数据的中位数的求法：
第一步：将原始数据按从小到大排序
第二步：计算99×1/2=49.5
第三步：取大于49.5的最小整数50，则第50个数据即为这99个数据的中位数
应用类比的方法
我们可以求99个数据的第80百分位数，
第一步：将原始数据从小到大排序
第二步：计算99×80%=79.2
第三步：取大于79.2的最小整数80，则第80个数据即为这99个数据的第80百分位数
这样，我们得到两种不同情况下的第80百分位数的计算方法.
更一般地，一组n个数据的第p百分位数的计算如下：
首先明确百分位数的定义：
一、百分位数定义：
一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.
二、求原始数据的百分位数方法小结：
我们可以通过下面的步骤计算一组个数据的第百分位数：
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算.
第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；
若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数.
.
定义
我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数.
在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.
另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.
继续对居民用户月均用水量的样本数据进行分析处理，引导学生经历一个案例的完整数据分析
分析理解问题的实质
借助已有的学习经验，采用类比的方法理解计算百分位数
进一步体会用样本的数据特征估计总体是数据特征.
体会统计思维与确定性思维的差异，归纳推断与演绎证明的差异
再次借助中位数的计算，采用类比的方法理解计算百分位数
明确百分位数的概念
从特殊到一般，总结计算一组数据的第P百分位数的方法
将旧知与新知进行联系，更好地建构知识系统.
例题
例1 根据9.1.2节问题3中女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数.
解：把27名女生的样本数据按从小到大排序,可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0
由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%x27=20.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164.
据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164.
分组数据的百分位数求解
下面我们再来探究分组数据的百分位数如何求解
在某些情况下，我们只能获得整理好的统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息.
例如由表9.2-1，我们知道在[16.2,19.2)内有5个数据，但不知道这5个数据具体是多少.此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上.
例2 （1） 根据表 9.2-1 ，估计月均用水量样本数据的第 86 百分位数，第 39 百分位数.
解:由表9.2-1可知，
月均用水量在16.2t 以下的居民用户所占比例为23%+32%+13%+9%+9%=86%，
据此，估计月均用水量样本数据的第 86 百分位数约为 16.2.
月均用水量在4.2t以下的居民用户所占比例为23%，
月均用水量在7.2t以下的居民用户所占比例为23%+32%=55%，
第 39 百分位数一定位于[4.2,7.2)区间内.
3×1/2=1.5 4.2+1.5=5.7
据此，估计月均用水量样本数据的第 39 百分位数约为5.7
例2（2）继续根据表 9.2-1 ，估计月均用水量样本数据的第 80 百分位数，第 95 百分位数.
解析：根据频率分布表，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为
23%+32%+13%-9%=77%
在16.2t以下的居民用户所占的比例为77%+9%=86%
因此，80%分位数一定位于[13.2,16.2)内.
由
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2
类似地,由
可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95

方法小结：
根据频率分布表求百分位数的方法与步骤：
第1步，计算各小组的累计频率
第2步，确定第p百分位数所在小组区间
第3步，按比例计算出不足频率部分对应的区间长度
第4步，计算得出第p百分位数
练习1：
根据图 9.2-1 ，估计月均用水量的样本数据的 80% 分位数.
解析：根据图9.2-1得：0.077×3=0.231，0.107×3=0.321，
0.231+0.321=0.552, 0.043×3=0.129，
0.030×3=0.09，0.030×3=0.09，……
月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为
月均用水量在 16.2t 以下的居民用户所占比例为 0.771+0.09=0.861
因此，第 80 百分位数一定位于[13.2,16.2)区间内.
由
可以估计月均用水量的样本数据的 80% 分位数约为14.2.
对比分析：
原始数据
频率分布表
频率分布直方图
13.7
14.2
14.2
依据原始数据计算的第 80 百分位数为13.7，依据频率分布表或频率分布直方图计算的第 80 百分位数为14.2，稍有差异，但相差不大.
练习2：
根据图 9.2-1 ，估计月均用水量的样本数据的 60% 分位数.
解析：根据图9.2-1得：0.077×3=0.231，0.107×3=0.321，
0.043×3=0.129，……
月均用水量在7.2t以下的居民用户所占比例为 0.231+0.321=0.552,
月均用水量在 16.2t 以下的居民用户所占比例为 0.552+0.129=0.681
因此，第 60 百分位数一定位于[7.2,10.2)区间内.
由
可以估计月均用水量的样本数据的60% 分位数约为8.32.
练习3：
为了分析某校高一年级数学期末测试成绩情况，抽取了50名同学的测试成绩如下：
37
45
54
56
64
76
82
89
93
95
96
99
103
104
104
105
105
108
108
110
110
115
115
116
119
120
120
122
122
122
123
124
125
125
126
127
129
129
129
130
130
131
132
132
132
134
137
138
141
145
估计该校高一数学期末测试成绩的第 5, 50, 95 百分位数.
解：把这 50 个样本数据按从小到大排序，
50×5%=2.5
所以样本数据的第 5 百分位数为第 3 项数据 54.
据此估计该校高一数学期末测试成绩的第 5 百分位数约为 54.
同样地，计算第50百分位数，50×50%=25，样本数据的第25个数据是119，第26个数是120，所以样本数据的第 50 百分位数为第 25、26 项数据的平均数 119.5.
据此估计该校高一数学期末测试成绩的第 50 百分位数约为 119.5.
计算第95百分位数，50×95%=47.5，所以样本数据的第 95 百分位数为第 48 项数据 138.
据此估计该校高一数学期末测试成绩的第 95 百分位数约为 138.
通过对例1的分析求解，熟练掌握求一组数据的第P百分位数的方法与步骤
通过对例2的分析求解，体会根据统计图表估计一组数据的第P百分位数的方法与步骤
小结根据频率分布表求分组数据的百分位数的方法
分析频率分布表与频率分布直方图的联系与差异
将原始数据根据和根据分组数据（统计图表）求得的百分位数进行比较，体会“用数据说话”
总结
本节课我们对阶梯水价案例中的样本数据进行数据分析，
重点学习了百分位数；
采取了类比的方法，从一般到特殊地
总结了依据原始数据、
分组数据求百分位数的方法与步骤；
并由样本数据的百分位数对总体百分位数进行估计推断，体会统计思想的应用.
回顾整理本节研究的内容（基本知识和基本技能）、研究方法（基本思想方法）、和研究途径（基本活动经验），让学生明确本节课学习的内容和要求（四基）
作业
基础作业：
（1）在居民用户月均用水量标准制定的问题中，根据教科书中的调查数据，如果要让60%的居民不超出标准，居民用户月均用水量标准定为多少合适?
（2）根据树人中学高一年级男生身高的样本数据，请你估计树人中学高一年级男生的第25，50，75百分位数.如果要减少估计的误差，你觉得应该怎么做？
173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0
（3）根据图9.2-1中的数据，估计这组数据的月均用水量的第80和95百分位数.
你所在的地区是采用阶梯水价吗？标准是多少？
巩固强化本节课学习的百分位数的求解步骤.