高中数学5.3.1 等比数列第二课时课时练习

这是一份高中数学5.3.1 等比数列第二课时课时练习，共5页。试卷主要包含了答案等内容，欢迎下载使用。

A．－4B．±4
C．－2D．±2
2．(多选题)已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝( )
A．6B．－6
C．－12D．12
3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，ac＝________．
4．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
5．已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝________．
6．在等比数列{an}中，若a7a11＝6，a4＋a14＝5，则eq \f(a20,a10)＝________．
7.(多选题)设数列{an}为等比数列，则下面四个数列是等比数列的有( )
A．{aeq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n))}
B．{pan}(p为非零常数)
C．{an·an＋1}
D．a1，a3，…，a2k－1，…(k∈N＋)
8．在等比数列{an}中，a4和a12是方程x2＋3x＋1＝0的两根，则a8＝( )
A．3B．5
C．－1D．±1
9．(多选题)已知等比数列{an}，则下列式子对任意正整数k都成立的是( )
A．ak·ak＋1>0
B．ak·ak＋2>0
C．ak·ak＋1·ak＋2>0
D．ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3>0
10．已知等比数列{an}中的各项均为正数，a5a6＝e2，则lna1＋lna2＋…＋lna10＝________．
11．在eq \f(8,3)和eq \f(27,2)之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的这三个数的乘积为________.
12．在等比数列{an}(n∈N＋)中，a1>1，公比q>0.设bn＝lg2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an.
13.已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2).
(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
14．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1>1，a2020a2021>1，(a2020－1)(a2021－1)<0，则下列选项错误的是( )
A．0B．S2020＋1>S2021
C．T2020是数列{Tn}中的最大项
D．T4041>1
第2课时 等比数列的性质
必备知识基础练
1．答案：A
解析：因为a4是a1与a7的等比中项，所以a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝a1a7，即64＝－16a7，故a7＝－4.故选A.
2．答案：AB
解析：因为a＝eq \f(1＋2,2)＝eq \f(3,2)，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，所以ab＝±6.故选AB.
3．答案：－3 9
解析：因为b是－1，－9的等比中项，所以b2＝9，b＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.
4．答案：eq \f(2,3) －1
解析：因为a2，a3，a7成等比数列，所以eq \f(a3,a2)＝eq \f(a7,a3)，所以a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝a2a7，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
即2d＋3a1＝0.①
又因为2a1＋a2＝1，所以3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝eq \f(2,3)，d＝－1.
5．答案：π2
解析：因为数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，所以a4(a2＋2a4＋a6)＝a4a2＋2a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋a4a6＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋2a3a5＋a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝(a3＋a5)2＝π2.
6．答案：eq \f(2,3)或eq \f(3,2)
解析：因为{an}是等比数列，所以a7a11＝a4a14＝6，又a4＋a14＝5，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a4＝2，,a14＝3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a4＝3，,a14＝2.))
因为eq \f(a14,a4)＝q10，所以q10＝eq \f(3,2)或q10＝eq \f(2,3).而eq \f(a20,a10)＝q10，所以eq \f(a20,a10)＝eq \f(2,3)或eq \f(3,2).
关键能力综合练
7．答案：ABCD
解析：设{an}的公比为q，因为eq \f(a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n＋1)) ,a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) )＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,an)))eq \s\up12(3)＝q3，所以{a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) }是等比数列，所以A正确；因为eq \f(pan＋1,pan)＝eq \f(an＋1,an)＝q，所以{pan}是等比数列，所以B正确；因为eq \f(an·an＋1,an－1·an)＝eq \f(an＋1,an－1)＝q2，所以{an·an＋1}是等比数列，所以C正确；D中是等比数列的奇数项，所以D正确．故选ABCD.
8．答案：C
解析：设等比数列的公比为q(q≠0)，因为a4和a12是方程x2＋3x＋1＝0的两根，所以a4·a12＝1，a4＋a12＝－3，所以a4＜0，a12＜0，由等比数列的性质得，a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) ＝a4·a12＝1，所以a8＝a4q4＜0，则a8＝－1.故选C.
9．答案：BD
解析：对于A，当q＜0时，ak·ak＋1＜0，A不一定成立；对于B，ak·ak＋2＝(akq)2＞0，B一定成立；对于C，ak·ak＋1·ak＋2＝(ak＋1)3＞0不一定成立；对于D，ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＝(ak＋1·ak＋2)2＞0一定成立．故选BD.
10．答案：10
解析：由题意，等比数列{an}中的各项均为正数，满足a5a6＝e2，由等比数列的性质可得a1a10＝a2a9＝…＝a5a6＝e2所以lna1＋lna2＋…＋lna10＝lna1a2a3…a10＝ln (e2)5＝10lne＝10.
11．答案：216
解析：方法一 设这个等比数列为{an}，公比为q，则a1＝eq \f(8,3)，a5＝eq \f(27,2)＝a1q4＝eq \f(8,3)q4，所以q4＝eq \f(81,16)，q2＝eq \f(9,4).所以a2·a3·a4＝a1q·a1q2·a1q3＝a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ·q6＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))eq \s\up12(3)＝216.
方法二 设这个等比数列为{an}，则a1＝eq \f(8,3)，a5＝eq \f(27,2)，由题意知a1，a3，a5也成等比数列，且a3＞0，所以a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝eq \f(8,3)×eq \f(27,2)＝36，所以a3＝6，所以a2·a3·a4＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ·a3＝a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝216.
12．解析：(1)证明：因为bn＝lg2an，所以bn＋1－bn＝lg2an＋1－lg2an＝lg2eq \f(an＋1,an)＝lg2q(q＞0)为常数，所以数列{bn}为等差数列，且公差d＝lg2q.
(2)因为b1＋b3＋b5＝6，所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又因为a1＞1，所以b1＝lg2a1＞0.
又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b3＝2，,b5＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b1＋2d＝2，,b1＋4d＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b1＝4，,d＝－1，))因此Sn＝4n＋eq \f(n（n－1）,2)·(－1)＝eq \f(9n－n2,2).
又因为d＝lg2q＝－1，所以q＝eq \f(1,2)，b1＝lg2a1＝4，即a1＝16，所以an＝25－n(n∈N＋).
核心素养升级练
13．解析：(1)证明：因为an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2).
又a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15，
所以an＋2an－1≠0(n≥2)，
所以eq \f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3(n≥2)，
所以数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
则an＋1＝－2an＋5×3n，
所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n).
又因为a1－3＝2，所以an－3n≠0，
所以{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．
所以an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝(－1)n－1·2n＋3n(n∈N＋).
14．答案：D
解析：等比数列{an}的公比为q，若a2020a2021＞1，则(a1q2019)(a1q2020)＝(a1)2(q4039)＞1，由a1＞1，可得q＞0，则数列{an}各项均为正值，若(a2020－1)(a2021－1)＜0，当q≥1时，由a1＞1则an＞1恒成立，显然不适合，故0＜q＜1，且a2020＞1，0＜a2021＜1，故A正确；因为0＜a2021＜1，所以S2020＋1＞S2020＋a2021＝S2021，故B正确；根据a1＞a2＞…＞a2020＞1＞a2021＞…＞0，可知T2020是数列{Tn}中的最大项，故C正确；由等比数列的性质可得a1a4041＝a2a4040＝…＝a2020a2022＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2021)) ，0＜a2021＜1，所以T4041＝a1a2…a4041＝a eq \\al(\s\up1(4041),\s\d1(2021)) ＜1，故D错误．故选D.必备知识基础练
关键能力综合练
核心素养升级练