人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.4 数列的应用课后作业题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.4 数列的应用课后作业题，共8页。试卷主要包含了答案等内容，欢迎下载使用。

A．1600mB．1700m
C．1800mD．1900m
2．某年年初存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则第5年年末的本利和共有( )
A．8×1.0253万元B．8×1.0254万元
C．8×1.0255万元D．8×1.0256万元
3．某工厂去年12月份的月产量为a，若该厂产量月平均增长率为p，则今年12月份的月产量比去年同期增加的比率为( )
A．(1＋p)12B．(1＋p)12－1
C．(1＋p)11D．12p
4.
如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，前n个内切圆的面积和为________.
5．某乡镇引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元．每年企业销售收入500万元，设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额).
(1)从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；
②纯利润最大时，以160万元出售该企业．
问：哪种方案最合算？
6．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量．(精确到0.1万吨，参考数据：1.055≈1.2763)
7.某地为了保护水土资源，实行退耕还林，如果2021年退耕a万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么到2028年一共退耕( )
A．10a(1.18－1)(万公顷)
B．a(1.18－1)(万公顷)
C．10a(1.17－1)(万公顷)
D．a(1.17－1)(万公顷)
8．已知斐波那契数列的前七项为1，1，2，3，5，8，13，大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层数相同的玫瑰花3朵．花瓣总数为99，假设这种玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花的层数是( )
A．5B．6
C．7D．8
9.某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S，为使S最小，电梯应当停在第________层.
10.
如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形．设初始正方形的边长为eq \r(2)，则最小正方形的边长为________.
11．2019年9月1日，小刘从各个渠道融资30万元，在某大学投资一个咖啡店，2020年1月1日正式开业，已知开业第一年运营成本为6万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加2万元，若每年的销售额为30万元，用数列{an}表示前n年的纯收入．
(注：纯收入＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)
(1)试求年平均利润最大时的年份(年份取正整数)，并求出最大值；
(2)若前n年的收入达到最大值时，小刘计划用前n年总收入的eq \f(1,3)对咖啡店进行重新装修，请问：小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修(年份取整数)？并求小刘计划装修的费用．
12．小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款项全部付清．商场提出的付款方式：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，……，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算(即本月的利息计入次月的本金生息)，求小华每期付款金额是多少．(精确到0.1，参考数据：1.00812≈1.10)
13.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的eq \f(9,10)，若这堆货物总价是[100－200(eq \f(9,10))n]万元，则n＝________.
14．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠(其余为绿洲)，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里．
(1)求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系；
(2)判断{an－eq \f(4,5)}是否是等比数列，并说明理由；
(3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(lg2＝0.3010)
15．某牛奶厂2022年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标？(精确到1万元，参考数据：1.55≈7.59)
5．4 数列的应用
必备知识基础练
1．答案：B
解析：从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为－0.7，设数列的项数为n，则14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，所以此山相对山脚的高度h＝(18－1)×100＝1700(m).故选B.
2．答案：C
解析：存入银行8万元，年利率为2.50%，每年的本利和构成等比数列{an}，公比q＝1.025，首项a1＝8，采用1年期自动转存业务，第一年年末的本利和为a2＝8×1.0251万元，所以第5年年末的本利和为a6＝8×1.0255万元．故选C.
3．答案：B
解析：由题意每月产量构成等比数列{an}，首项a1＝a，公比为1＋p，所以今年12月份的月产量为a(1＋p)12，则增加的比率为eq \f(a（1＋p）12－a,a)＝(1＋p)12－1.故选B.
4．答案：eq \f(a2,9)(1－eq \f(1,4n))π
解析：设第n个正三角形的内切圆的半径为an，因为从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的eq \f(1,2)，
每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的eq \f(1,2)，
所以a1＝eq \f(1,2)atan30°＝eq \f(\r(3),6)a，a2＝eq \f(1,2)a1，…，an＝eq \f(1,2)an－1，所以数列{an}是以eq \f(\r(3),6)a为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列，
所以an＝eq \f(\r(3),6)×(eq \f(1,2))n－1a，设前n个内切圆的面积和为Sn，
则Sn＝π(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋…＋a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) )＝πa eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) [1＋(eq \f(1,2))2＋(eq \f(1,4))2＋…＋(eq \f(1,2n－1))2]＝πa eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) [1＋eq \f(1,4)＋(eq \f(1,4))2＋…＋(eq \f(1,4))n－1]＝eq \f(4,3)·eq \f(a2,12)(1－eq \f(1,4n))π＝eq \f(a2,9)(1－eq \f(1,4n))π.
5．解析：由题意知每年的运营费用(单位：万元)是以120为首项，40为公差的等差数列．
则f(n)＝500n－[120n＋eq \f(n（n－1）,2)×40]－720＝－20n2＋400n－720.
(1)获取纯利润就是f(n)>0，
故有－20n2＋400n－720>0，解得2又n∈N＋，可知从第三年开始获取纯利润．
(2)①年平均利润eq \f(f（n）,n)＝400－20(n＋eq \f(36,n))≤160，
当且仅当n＝6时，取等号．
故此方案获利6×160＋480＝1440(万元)，此时n＝6.
②f(n)＝－20n2＋400n－720＝－20(n－10)2＋1280，
当n＝10时，f(n)max＝1280.
故此方案共获利1280＋160＝1440(万元).
比较两种方案，在同等数额获利的基础上，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故第①种方案最合算．
6．解析：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨)，则an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n，
Sn＝(a1－b1)＋(a2－b2)＋…＋(an－bn)
＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn)
＝(20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n)－[7.5＋9＋…＋(6＋1.5n)]
＝eq \f(（20×1.05）×（1－1.05n）,1－1.05)－eq \f(n,2)(7.5＋6＋1.5n)
＝420×1.05n－eq \f(3,4)n2－eq \f(27,4)n－420，
当n＝5时，S5≈63.5，
所以从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．
关键能力综合练
7．答案：A
解析：记2021年为第一年，则每年退耕还林的面积构成等比数列{an}，且a1＝a，公比q＝(1＋10%)，
第n年退耕还林的面积为数列{an}的前n项和，
所以数列{an}的前8项和为eq \f(a1（1－q8）,1－q)＝eq \f(a（1－1.18）,1－1.1)＝10a(1.18－1).
所以到2028年一共退耕10a(1.18－1)万公顷．故选A.
8．答案：C
解析：斐波那契数列的前n项和依次为1，2，4，7，12，20，33，…，一朵玫瑰花的花瓣总数为33，则该种玫瑰花有7层．故选C.
9．答案：14
解析：设停在第x层，则
S＝[1＋2＋…＋(20－x)]×2＋[1＋2＋…＋(x－2)]＝eq \f(3x2－85x,2)＋421，所以当x＝eq \f(85,6)时取最小值，而x∈{2，3，…，20}，所以当x＝14时取最小值．
10．答案：eq \f(1,16)
解析：记初始正方形的边长为a1，经过n－1次生长后的正方形的边长为an，经过n－1次生长后正方形的个数为bn，由题可知，数列{an}是以eq \r(2)为首项，eq \f(\r(2),2)为公比的等比数列，所以an＝eq \r(2)×(eq \f(\r(2),2))n－1＝21－eq \f(n,2)，由题可知，bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝eq \f(1·（2n－1）,2－1)＝2n－1，令bn＝2n－1＝1023，解得n＝10，所以最小正方形的边长为a10＝21－eq \f(10,2)＝eq \f(1,16).
11．解析：(1)由条件可知，每年的运营成本构成首项为6，公差为2的等差数列，
所以an＝30n－[6n＋eq \f(n（n－1）,2)×2]－30
＝－n2＋25n－30，
则年平均利润为eq \f(an,n)＝25－(n＋eq \f(30,n))，
由n＋eq \f(30,n)≥2eq \r(30)，当且仅当n＝eq \f(30,n)，
即n＝eq \r( ,30)时，取等号．
但n∈N＋，且n＝5或n＝6时，n＋eq \f(30,n)＝11.
此时，eq \f(an,n)取最大值14.
所以到2025年或2026年，年平均利润最大，最大值为14万元．
(2)由(1)可得an＝－n2＋25n－30＝－(n－eq \f(25,2))2＋eq \f(505,4)(n∈N＋)，
当n＝12或n＝13时，an取得最大值126.
因为126÷3＝42(万元)，
故小刘最早从2032年对咖啡店进行重新装修，计划装修费用为42万元．
12．解析：方法一 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak，则
A2＝5000×(1＋0.008)2－x＝5000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x，
…
A12＝5000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝eq \f(5000×1.00812,1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)＝
eq \f(5000×1.00812,\f(1－（1.0082）6,1－1.0082))≈883.5.
故小华每期付款金额约为883.5元．
方法二 设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则A2＝x，
A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)，
A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)，
…
A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810).因为年底付清欠款，所以A12＝5000×1.00812，即5000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810).
所以x＝eq \f(5000×1.00812,1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)≈883.5.
故小华每期付款金额约为883.5元．
核心素养升级练
13．答案：10
解析：由题意可得第n层的货物的价格为
an＝n·(eq \f(9,10))n－1，
这堆货物总价是Sn＝1×(eq \f(9,10))0＋2×(eq \f(9,10))1＋3×(eq \f(9,10))2＋…＋n·(eq \f(9,10))n－1， ①
由①×eq \f(9,10)可得eq \f(9,10)Sn＝1×(eq \f(9,10))1＋2×(eq \f(9,10))2＋3×(eq \f(9,10))3＋…＋n·(eq \f(9,10))n， ②
由①－②可得eq \f(1,10)Sn＝1＋(eq \f(9,10))1＋(eq \f(9,10))2＋(eq \f(9,10))3＋…＋(eq \f(9,10))n－1－n·(eq \f(9,10))n＝eq \f(1－（\f(9,10)）n,1－\f(9,10))－n·(eq \f(9,10))n＝10－(10＋n)·(eq \f(9,10))n，
所以Sn＝100－10(10＋n)·(eq \f(9,10))n，
因为这堆货物总价是[100－200(eq \f(9,10))n]万元，
所以n＝10.
14．解析：(1)由题意得an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝eq \f(4,5)an－1＋eq \f(4,25)，
所以an＝eq \f(4,5)an－1＋eq \f(4,25).
(2)由(1)得an＝eq \f(4,5)an－1＋eq \f(4,25)，
所以an－eq \f(4,5)＝eq \f(4,5)(an－1－eq \f(4,5)),
所以{an－eq \f(4,5)}是等比数列．
(3)由(2)有an－eq \f(4,5)＝eq \f(4,5)(an－1－eq \f(4,5))，
又a1＝eq \f(3,10)，所以a1－eq \f(4,5)＝－eq \f(1,2)，
∴an－eq \f(4,5)＝－eq \f(1,2)(eq \f(4,5))n－1，即an＝－eq \f(1,2)(eq \f(4,5))n－1＋eq \f(4,5)；
an＝－eq \f(1,2)(eq \f(4,5))n－1＋eq \f(4,5)>eq \f(3,5)，即(eq \f(4,5))n－1(n－1)lgeq \f(4,5)eq \f(lg\f(2,5),lg\f(4,5))＝eq \f(lg2－lg5,2lg2－lg5)＝eq \f(lg2－（1－lg2）,2lg2－（1－lg2）)＝eq \f(2lg2－1,3lg2－1)＝eq \f(2×0.301－1,3×0.301－1)
＝eq \f(0.398,0.097)≈4.1，
∴n>5.1.
∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%.
15．解析：设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标．
则2022年年底剩余资金是1000(1＋50%)－x；
2023年年底剩余资金是[1000(1＋50%)－x](1＋50%)－x＝1000(1＋50%)2－(1＋50%)x－x；
…
5年后资金达到1000(1＋50%)5－(1＋50%)4x－(1＋50%)3x－(1＋50%)2x－(1＋50%)x－x≥2000，
解得x≤424，所以这家牛奶厂每年应扣除424万元消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标．必备知识基础练
关键能力综合练
核心素养升级练