选择性必修 第三册7.5 正态分布课堂检测

7.5　正态分布

课后·训练提升

基础巩固

1.设随机变量X服从正态分布,且正态密度函数为f(x)=,x∈R,则均值与标准差分别是(　　)

A.10与8 B.10与2

C.8与10 D.2与10

答案:B

解析:由正态密度函数的定义可知,均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.

2.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),P(X<4)=0.84,则P(X≤0)等于(　　)

A.0.16 B.0.32 

C.0.68 D.0.84

答案:A

解析:∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),

∴μ=2.

∵P(X<4)=0.84,

∴P(X≥4)=1-0.84=0.16,

∴P(X≤0)=P(X≥4)=0.16.

3.已知某批零件的长度误差X(单位:mm)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间[3,6]上的概率为(　　)(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)

A.0.045 6 B.0.135 9

C.0.271 8 D.0.317 4

答案:B

解析:由正态分布的概率公式,知P(-3≤X≤3)≈0.6827,P(-6≤X≤6)≈0.9545,

故P(3≤X≤6)==0.1359,故选B.

4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)

A.2 386 B.2 718 

C.3 414 D.4 772

附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.

答案:C

解析:由P(-1≤X≤1)≈0.6827,得P(0≤X≤1)≈0.3414,则阴影部分的面积约为0.3414,故估计落入阴影部分的点的个数为10000×=3414.

5.设X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(　　)

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)

D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)

答案:C

解析:由题图可知μ1<0<μ2,σ1<σ2,

∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A错;

P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错;

当t为任意正数时,由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t),

而P(X≤t)=1-P(X≥t),P(Y≤t)=1-P(Y≥t),

∴P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确,D错.

6.如果正态变量的取值落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么这个正态变量的均值是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:B

解析:由题意知,正态曲线关于直线x=1对称,即μ=1,因此正态变量的均值是1.

7.已知一次考试共有60名学生参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数位于区间(　　)

A.[90,110] B.[95,125]

C.[100,120] D.[105,115]

答案:C

解析:∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.

∵=0.95,

∴可得大约应有57人的分数位于区间[μ-2σ,μ+2σ]内,即区间[100,120]内.

8.在某次高三联考数学测试中,学生成绩X服从正态分布(100,σ2)(σ>0),若X在(85,115)内的概率为0.75,则任意选取一名学生,该学生成绩不低于115的概率为(　　)

A.0.25 B.0.1 

C.0.125 D.0.5

答案:C

解析:由学生成绩X服从正态分布(100,σ2)(σ>0),且P(85<X<115)=0.75,

得P(X≥115)==0.125.故选C.

9.某正态密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为,则总体落在区间[0,2]上的概率为　　　　　.(精确到0.000 1) 

答案:0.477 3

解析:已知正态密度函数是f(x)=,x∈R.

若它是偶函数,则μ=0.

∵f(x)的最大值为f(μ)=,∴σ=1,

∴P(0≤X≤2)=P(-2≤X≤2)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈×0.9545≈0.4773.

10.从某校的一次学科知识竞赛成绩中,随机抽取了50名同学的成绩,统计如下:

(1)求这50名同学成绩的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(2)由频数分布表可知,本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N(μ,196),其中μ近似为样本平均数.

①利用该正态分布,求P(Z>74);

②某班级共有20名同学参加此次学科知识竞赛,记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数,利用①的结果,求E(X).

附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5.

解(1)样本平均数=35×+45×+55×+65×+75×+85×+95×=60.

(2)①由(1)可知,Z~N(60,196),

故P(Z>74)=≈0.15865.

②由①知,某名同学参加学科知识竞赛的成绩Z超过74分的概率为0.15865,依题意可知,X~B(20,0.15865),因此E(X)=20×0.15865=3.173.

能力提升

1.某市高三质量检测考试中,学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市学生约有9 450人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第(　　)

A.1 500名 B.1 700名 

C.4 500名 D.8 000名

答案:A

解析:因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),

所以P(X>108)=[1-P(88≤X≤108)]=[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(1-0.6827)≈0.1587,

所以0.1587×9450≈1500,故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名.

2.设某地区某一年龄段的儿童的身高服从均值为135 cm,方差为100的正态分布,令X表示从中随机抽取的一名儿童的身高,则下列概率中最大的是(　　)

A.P(120<X<130) B.P(125<X<135)

C.P(130<X<140) D.P(135<X<145)

答案:C

解析:由题意知X~N(135,100),因此在长度都是10的区间上,概率最大的应该是在对称轴两侧关于对称轴对称的区间.故选C.

3.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(X≤-1.96)=0.025,则P(|X|<1.96)等于(　　)

A.0.025 B.0.050 

C.0.950 D.0.975

答案:C

解析:由随机变量X服从正态分布N(0,1),

知P(X≥1.96)=P(X≤-1.96)=0.025.

所以P(|X|<1.96)=P(-1.96<X<1.96)=1-2P(X≤-1.96)=1-2×0.025=0.950.

4.某厂生产的零件外径(单位:cm)X~N(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件,测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm,则根据3σ原则可认为(　　)

A.上午生产情况正常,下午生产情况异常

B.上午生产情况异常,下午生产情况正常

C.上午、下午生产情况均正常

D.上午、下午生产情况均异常

答案:A

解析:因为测量值X为随机变量,且X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2.

记I=[μ-3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],则9.9∈I,9.3∉I.所以上午生产情况正常,下午生产情况异常.

5.(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),其正态曲线在区间(-∞,80)内单调递增,在区间(80,+∞)内单调递减,且P(72≤X≤88)≈0.682 7,则(　　)

A.μ=80  B.σ=4

C.P(X≥64)=0.977 25 D.P(64≤X≤72)=0.135 9

答案:ACD

解析:因为正态曲线在区间(-∞,80)内单调递增,在区间(80,+∞)内单调递减,

所以正态曲线关于直线x=80对称,所以μ=80,A正确;

因为P(72≤X≤88)≈0.6827,结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,可知σ=8,B错误;

因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,且P(X<64)=P(X>96),

所以P(X<64)≈×(1-0.9545)=×0.0455=0.02275,

所以P(X≥64)=0.97725,C正确;

因为P(X<72)=×[1-P(72≤X≤88)]≈×(1-0.6827)=0.15865,

所以P(64≤X≤72)=P(X≥64)-P(X>72)=0.97725-(1-0.15865)=0.1359.

6.为了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(单位:kg)服从正态分布N(μ,22),且正态密度曲线如图所示.若体重范围在[58.5,62.5]属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为　　　　　. 

答案:683

解析:依题意可知,μ=60.5,σ=2,故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,

从而属于正常情况的人数为1000×0.6827≈683.

7.已知正态分布N(μ,σ2)的密度曲线是f(x)=,x∈R的图象.给出以下四个命题:

①对任意x∈R,f(μ+x)=f(μ-x)成立;

②如果随机变量X服从N(μ,σ2),且F(x)=P(X<x),那么F(x)是R上的增函数;

③如果随机变量X服从N(108,100),那么X的均值是108,标准差是100;

④若随机变量X服从N(μ,σ2),P(X<1)=,P(X>2)=p,则P(0<X<2)=1-2p.

其中,真命题是　　　　　　　　.(写出所有真命题的序号) 

答案:①②④

解析:如果随机变量X~N(108,100),

所以μ=108,σ2=100,即σ=10,故③错;

又f(μ+x)=,

f(μ-x)=,

故①正确;

由正态密度函数性质以及概率的计算知②④正确,

故填①②④.

8.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图如下图所示.

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布,求P(187.8≤Z≤212.2);

②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8,212.2]上的产品件数,利用①的结果,求E(X).

(附:≈12.2)

解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,

s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02

=150.

(2)①由(1)知,Z~N(200,150),

从而P(187.8≤Z≤212.2)=P(200-12.2≤Z≤200+12.2)≈0.6827.

②由①知,一件产品的质量指标值位于区间[187.8,212.2]的概率为0.6827,

依题意知X~B(100,0.6827),

所以E(X)=100×0.6827=68.27.