2024春高中数学第六章计数原理章末检测（人教A版选择性必修第三册）

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第六章章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算C eq \o\al(5,8)＋2A eq \o\al(2,4)的值是(　　)A．64 B．80C．13 464 D．40【答案】B　【解析】C eq \o\al(5,8)＋2A eq \o\al(2,4)＝C eq \o\al(3,8)＋2A eq \o\al(2,4)＝ eq \f(8×7×6,3×2×1)＋2×4×3＝80.2．(2023年抚州期中)如图所示，若从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的情况有(　　)A．3种 B．5种C．7种 D．9种【答案】B　【解析】从五种不同属性的物质中任取两种，取出的两种物质恰好是相克关系的情况有C eq \o\al(1,5)＝5(种).3．(1－x)10展开式中x3项的系数为(　　)A．－720 B．720C．－120 D．120【答案】C　【解析】由Tr＋1＝C eq \o\al(r,10)(－x)r＝(－1)rC eq \o\al(r,10)xr，因为r＝3，所以系数为(－1)3C eq \o\al(3,10)＝－120.4．(2023年北京模拟)为贯彻落实党的二十大精神，进一步推动社会主义核心价值观深入人心，某中学举行“学习党的二十大、强国复兴有我”主题活动，活动上，学生齐诵青春誓言“请党放心，强国有我！”．表演前，为呈现最佳效果，节目编排人员将2名男领诵、2名女领诵共4名领诵人员排成一排，则2名女领诵相邻的方案有(　　)A．10种 B．12种C．20种 D．24种【答案】B　【解析】将2名女领诵捆绑，再和另外2名男领诵进行全排列，共有A eq \o\al(2,2)A eq \o\al(3,3)＝12(种).5．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于(　　)A．－5 B．5C．90 D．180【答案】D　【解析】∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴a8＝C eq \o\al(8,10)·22＝180.6．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是(　　)A．C eq \o\al(2,8)A eq \o\al(2,3) B．C eq \o\al(2,6)A eq \o\al(6,6)C．C eq \o\al(2,8)A eq \o\al(2,5) D．C eq \o\al(2,8)A eq \o\al(2,6)【答案】D　【解析】第一步可先从后排8人中选2人，共有C eq \o\al(2,8)种；第二步可认为前排放6个座位，先选出2个座位让后排的2人坐，由于其他人的顺序不变，所以有A eq \o\al(2,6)种方法．综上知不同调整方法的种数为C eq \o\al(2,8)A eq \o\al(2,6).7．在(1－x)11的展开式中，含x的奇次幂的各项系数的和是(　　)A．－210 B．210C．－211 D．211【答案】A　【解析】在(1－x)11的展开式中，含x的奇次幂的项即偶数项，由于偶数项的二项式系数和为210，偶数项的系数均为负数，故含x的奇次幂的各项系数的和为－210.8．(2023年昆明期末)右图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数是(　　)A．48 B．54C．72 D．108【答案】C　【解析】设“赵爽弦图”ABCD为①区，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形分别为②，③，④，⑤区．第一步给①区涂色，有4种涂色方法．第二步给②区涂色，有3种涂色方法．第三步给③区涂色，有2种涂色方法．第四步给④区涂色，若④区与②区同色时，⑤区有2种涂色方法．若④区与②区不同色时，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法．所以共有4×3×2×(2＋1×1)＝72.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列四个等式中正确的有(　　)A．n！＝ eq \f((n＋1)！,n＋1) B．A eq \o\al(m,n)＝nA eq \o\al(m-1,n－1)C．A eq \o\al(m-1,n－1)＝ eq \f((n－1)！,(m－n)！) D．A eq \o\al(m,n)＋mA eq \o\al(m-1,n)＝A eq \o\al(m,n＋1)【答案】ABD　【解析】 eq \f((n＋1)！,n＋1)＝ eq \f((n＋1)×n！,n＋1)＝n！，所以A正确；nA eq \o\al(m-1,n－1)＝ eq \f(n×(n－1)！,[(n－1)－(m－1)]！)＝ eq \f(n！,(n－m)！)＝A eq \o\al(m,n)，所以B正确；A eq \o\al(m-1,n－1)＝ eq \f((n－1)！,[(n－1)－(m－1)]！)＝ eq \f((n－1)！,(n－m)！)，所以C不正确；由排列数公式可知A eq \o\al(m,n)＋mA eq \o\al(m-1,n)＝ eq \f(n！,(n－m)！)＋m eq \f(n！,[n－(m－1)]！)＝ eq \f(n！,(n－m)！)× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(m,n－(m－1))))＝ eq \f(n！,(n－m)！)× eq \f(n＋1,n－(m－1))＝ eq \f((n＋1)！,[(n＋1)－m]！)＝A eq \o\al(m,n＋1)，所以D正确．10．(2023年荆州期中)对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则下列结论成立的有(　　)A．a2＝－144 B．a0＝1C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1 D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39【答案】ACD　【解析】对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9＝[－1＋2(x－1)]9，所以a2＝－C eq \o\al(2,9)×22＝－144，故A正确；令x＝1，得a0＝－1，故B不正确；令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2＋…－a9＝－39，故D正确．11．对于二项式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3)) eq \s\up12(5)，以下判断正确的有(　　)A．展开式中没有常数项 B．展开式中的第一项为x-5C．展开式中第二项的系数为 eq \f(1,5) D．展开式的二项式系数的和为32【答案】ABD　【解析】该二项展开式的通项为Tk＋1＝C eq \o\al(k,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) eq \s\up12(5－k)·(x3)k＝C eq \o\al(k,5)x4k-5，令4k－5＝0，得k＝ eq \f(5,4)，不合题意，故展开式中没有常数项，A正确；令k＝0，得T1＝C eq \o\al(0,5)x-5＝x-5，故B正确；令k＝1，得T2＝C eq \o\al(1,5)x-1＝5x-1，第二项的系数为5，故C错误；二项式展开式系数的和为25＝32，故D正确．12．将四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子，下列结果正确的有(　　)A．C eq \o\al(1,3)C eq \o\al(1,2)C eq \o\al(1,1)C eq \o\al(1,3) B．C eq \o\al(2,4)A eq \o\al(3,3)C．C eq \o\al(1,3)C eq \o\al(2,4)A eq \o\al(2,2) D．18【答案】BC　【解析】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个放2个球，剩下的2个盒子各放1个，有两种解法：(1)分两步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，有C eq \o\al(2,4)种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A eq \o\al(3,3)种放法，则没有空盒的放法有C eq \o\al(2,4)A eq \o\al(3,3)种．(2)分两步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有C eq \o\al(1,3)C eq \o\al(2,4)种情况；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A eq \o\al(2,2)种放法，则没有空盒的放法有C eq \o\al(1,3)C eq \o\al(2,4)A eq \o\al(2,2)种．故选BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．由数字4，0，7，3组成的没有重复数字的四位偶数的个数为________(用数字作答).【答案】10　【解析】个位数字为0时，符合要求的四位偶数有A eq \o\al(3,3)＝6(个)；个位数字为4时，符合要求的四位偶数有A eq \o\al(1,2)A eq \o\al(2,2)＝4(个).故由数字4，0，7，3组成的没有重复数字的四位偶数的个数为6＋4＝10.14．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________．【答案】729　【解析】因为(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x＝－1，可得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝(2＋1)6＝729.15．(2023年泉州期末)泉州洛阳桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成的，素有“海内第一桥”之誉．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有________种(用数字作答).【答案】840　【解析】依题意相当于将8个相同的小球，放入5个盒子中，且每个盒子不空，则在8个小球中的7个空档插入4个板，分为5堆，则有C eq \o\al(4,7)＝35(种)分法，即通过的桥孔组合有35种，再对4艘参赛船全排列有A eq \o\al(4,4)＝24(种)排法，故共有C eq \o\al(4,7)A eq \o\al(4,4)＝35×24＝840(种)方法．16．已知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(1,x)))(2x＋1)5(a≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a＝________，展开式中常数项为________．【答案】－ eq \f(2,3)　10　【解析】设 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(1,x)))(2x＋1)5＝a0＋a1x＋…＋a6x6，其展开式中各项的系数和为a0＋a1＋…＋a6，令x＝1，得(a＋1)·35＝81，解得a＝－ eq \f(2,3)，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)x＋\f(1,x)))(2x＋1)5的展开式中的常数项为 eq \f(1,x)·C eq \o\al(4,5)·2x＝10.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知集合A＝{3，4，5，6，7}，B＝{x||x－6|<3，x∈N*}，从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？解：A＝{3，4，5，6，7}，B＝{x||x－6|<3，x∈N*}＝{4，5，6，7，8}．从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34(个)不同的点．18．(12分)已知在(1－2log2x)n的展开式中，所有奇数项的二项式系数的和为64.(1)求n的值；(2)求展开式中所有项的系数之和．解：(1)由题意知C eq \o\al(0,n)＋C eq \o\al(1,n)＋C eq \o\al(2,n)＋…＋C eq \o\al(n,n)＝2×64，即2n＝128，则n＝7.(2)设(1－2log2x)7＝a0＋a1log2x＋a2(log2x)2＋…＋a7(log2x)7，令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2log22)7＝－1，即展开式中所有项的系数之和为－1.19．(12分)已知有10件不同厂生产的同类产品．(1)在商品评选会上，若有2件商品因瑕疵不能参加评选，从剩下的商品中要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的2件商品放上，有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A eq \o\al(4,8)＝1 680(种).(2)分步完成．先将获金质奖章的2件商品布置在6个位置中的2个位置上，有A eq \o\al(2,6)种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A eq \o\al(4,8)种方法，共有A eq \o\al(2,6)·A eq \o\al(4,8)＝50 400(种).20．(12分)已知(x＋ eq \f(1,2\r(x)))n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．(1)求n的值；(2)求展开式中所有二项式系数的和；(3)求展开式中所有的有理项．解：二项式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2\r(x)))) eq \s\up12(n)展开式的通项公式为Tr＋1＝C eq \o\al(r,n)xn－r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(x)))) eq \s\up12(r)＝C eq \o\al(r,n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(r)xn－ eq \s\up6(\f(3,2))r(r＝0，1，2，…，n).(1)根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得C eq \o\al(1,n)· eq \f(1,2)＝C eq \o\al(2,n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)，即 eq \f(1,2)·n＝ eq \f(1,4)· eq \f(n(n－1),2)，解得n＝5.(2)展开式中所有二项式系数的和为C eq \o\al(0,5)＋C eq \o\al(1,5)＋C eq \o\al(2,5)＋…＋C eq \o\al(5,5)＝25＝32.(3)二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C eq \o\al(r,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(r)x5- eq \s\up6(\f(3,2))r(r＝0，1，2，…，5).当r＝0，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为T1＝C eq \o\al(0,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(0)x5＝x5，T3＝C eq \o\al(2,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)x2＝ eq \f(5,2)x2，T5＝C eq \o\al(4,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(4)x-1＝ eq \f(5,16x).21．(12分)有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科(包含语文、数学)的课代表，分别求出符合下列条件的选法种数．(1)某女生一定要担任语文课代表；(2)某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表；(3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．解：(1)除去该女生后，相当于从剩余的7名学生中挑选4名任除语文外其余四科的课代表，不同的选法种数为A eq \o\al(4,7)＝840.(2)(先选后排)从剩余的7名学生中选出4名有C eq \o\al(4,7)种选法，该男生的安排方法有C eq \o\al(1,4)种，其余4人全排列，有A eq \o\al(4,4)种，所以选法共有C eq \o\al(4,7)C eq \o\al(1,4)A eq \o\al(4,4)＝3 360(种).(3)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有C eq \o\al(3,6)种选法，该男生的安排方法有C eq \o\al(1,3)种，其余3人全排列，有A eq \o\al(3,3)种，因此满足题意的选法共有C eq \o\al(3,6)C eq \o\al(1,3)A eq \o\al(3,3)＝360(种).22．(12分)4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有多少种放法？(2)恰有2个盒不放球，共有多少种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有多少种放法？”，即把4个球分成2，1，1的三组，然后进行全排列，共有C eq \o\al(1,4)· eq \f(C eq \o\al(2,4)C eq \o\al(1,2)C eq \o\al(1,1),A eq \o\al(2,2))·A eq \o\al(3,3)＝144(种)放法．(2)确定2个空盒有C eq \o\al(2,4)种方法.4个球放进2个盒子可分成(3，1)，(2，2)两类，第一类为有序不均匀分组，有C eq \o\al(3,4)C eq \o\al(1,1)A eq \o\al(2,2)种放法；第二类为有序均匀分组，有 eq \f(C eq \o\al(2,4)C eq \o\al(2,2),A eq \o\al(2,2))·A eq \o\al(2,2)种放法．故共有 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C eq \o\al(3,4)C eq \o\al(1,1)A eq \o\al(2,2)＋\f(C eq \o\al(2,4)C eq \o\al(2,2),A eq \o\al(2,2))·A eq \o\al(2,2)))Ceq \o\al(2,4)＝84(种).