人教版七年级下册8.1 二元一次方程组优秀教学设计

这是一份人教版七年级下册8.1 二元一次方程组优秀教学设计，共53页。教案主要包含了情景导入，说明与建议，置疑导入，复习导入，课堂引入，探究新知，典型例题，变式训练等内容，欢迎下载使用。


二元一次方程组是第八章第一节的内容，在此之前，学生已学习了一元一次方程，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用．本节内容主要学习和二元一次方程组有关的几个概念．本节内容既是前面知识的深化和应用，又是今后用二元一次方程组解决生活中的实际问题的准备知识，占据重要的地位，是学生新的方程建模的基础课，为今后学习一次函数以及其他学科(如：物理)的学习奠定基础，同时建模的思想方法对学生今后的发展有引导作用，因此本节课具有承上启下的作用．
【情景导入】
古老的“鸡兔同笼问题”
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”
方法一：算数方法
把兔子都看成鸡，则多出94—35×2＝24只脚，每只兔子比鸡多出两只脚，由此可先求出兔子有24÷2＝12(只)，进而求出鸡有35—12＝23(只)．
方法二：列一元一次方程求解
设有x只鸡，则有(35—x)只兔子．根据题意，得2x＋4(35—x)＝94.
问题：上面的问题可以用一元一次方程来解，还有其他方法吗？
【说明与建议】 说明：以古老的数学名题引入，可以增强学生的民族自豪感，激发学生学习数学的兴趣．能用方法一来解的学生算术功底比较好，应给予高度赞赏．方法二既是对一元一次方程的复习与巩固，又为二元一次方程组的引出做好了铺垫．建议：教师利用课件出示问题，学生思考，自行解答，教师巡视．最后，在学生动手动脑的基础上，通过讨论给出各种解决方案．
【置疑导入】
播放多媒体：姚明和刘翔的合影照片．已知姚明比刘翔高37 cm，刘翔身高的2倍比姚明高152 cm，则他们的身高分别是多少？
假设姚明的身高为x cm，刘翔的身高为y cm，你能得到怎样的方程？能列几个？
【说明与建议】 说明：由同学们熟悉的姚明和刘翔的身高，为新课的引入做准备，还可以调节气氛，给学生以轻松的感觉，以对话的形式再次引出方程问题，让学生再次经历建模的同时，以相对轻松的状态进入后面的学习．建议：引导学生回答问题，小组合作完成题目，教师参与并指导．
命题角度1 认识二元一次方程(组)
1．下列方程中，为二元一次方程的是(D)
A．2x＋3＝0 B．3x－y＝2z C．x2＝3 D．2x－y＝5
2．若关于x，y的方程7x|m|＋(m－1)y＝6是二元一次方程，则m的值为(A)
A．－1 B．0 C． 1 D．2
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是(D)
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＝5,2y－z＝6)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3＝1,y＝x2)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x＋2y＝1,xy＝－1)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2,y－2x＝4))
命题角度2 二元一次方程(组)的解
4．在下列各组数中，是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＝－8，,x＋2y＝3))的解的是(D)
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝4)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3,y＝1)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝1)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1,y＝2))
5．已知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1))是关于x，y的二元一次方程x－ay＝3的一个解，则a的值是1．
命题角度3 建立二元一次方程(组)模型
6．“今有50鹿进舍，小舍容4鹿，大舍容6鹿，需舍几何？(改编自《缉古算经》)”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求所需圈舍的间数．设需要大圈舍x间，小圈舍y间，则列二元一次方程为6x＋4y＝50．
7．某公司要购买办公桌，A型办公桌每张500元，B型办公桌每张300元，购买10张办公桌共花费4 200元．设购买A型办公桌x张，B型办公桌y张，则根据题意可列方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝10,500x＋300y＝4 200))．
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8.2 消元——解二元一次方程组
第1课时 用代入消元法解方程组
本课时是在学习了一元一次方程及其解法以及二元一次方程组的基本概念之后进一步学习解二元一次方程组的第一种方法——代入消元法．本节课通过探索、尝试、比较等活动来学习代入消元法，在学习的过程中要注意让学生体会消元思想在解决数学问题中的应用．
【情景导入】
情境：某商场有如图所示的一则广告．
问题：你知道一个茶杯和一瓶可乐各多少钱吗？
【说明与建议】 说明：现实而直观的情境是使学生主动参与的最佳途径，同时让学生体验数学与生活的紧密联系．建议：以此例引出课题，使学生对新知识的学习有所期待，为顺利地完成教学内容做了思想上的准备．
【置疑导入】
问题：体育节要到了，篮球是七年级(1)班的拳头项目．为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分．那么七年级(1)班应该胜、负各几场？
你会用二元一次方程组解决这个问题吗？
根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以很容易地列出方程组：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝22，①,2x＋y＝40.②))
那么有哪些方法可以求得这个二元一次方程组的解呢？
【复习导入】
(1)下列方程是二元一次方程吗？
①x＋3y＝7；②2y＋2＝0；③2x－3＝5；④3x＋y＝9.
(2)你能把上面的二元一次方程改写成用x表示y(或用y表示x)的形式吗？
(3)二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝12，,2x＋y＝20))的解是________．
【说明与建议】 说明：通过对已有知识的回顾和思考，学生既感自然又倍添新奇，有跃跃欲试的心情．由易到难，引出课题，展示学习目标，培养学生养成回顾已学知识的习惯，并在回顾的过程中学会思考和质疑，通过质疑，自然地引出我们要研究和解决的问题．建议：培养学生独立完成回顾和探究的好习惯，如果学生确实感觉自己完成会比较困难，可小组内讨论解决．
命题角度1 用一个未知数表示另一个未知数
1．方程5x－3y＝7，变形可得x＝eq \f(7＋3y,5)，y＝eq \f(5x－7,3)．
命题角度2 用代入法解二元一次方程组
2．用代入消元法解关于x，y的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4y－3，,2x－3y＝－1))时，代入正确的是(A)
A．2(4y－3)－3y＝－1 B．4y－3－3y＝－1
C．4y－3－3y＝1 D．2(4y－3)－3y＝1
3．用代入法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝1，①,6y－3x＝5②))时，下列变形正确的是(B)
A．由①，得y＝2x＋1 B．由①，得x＝eq \f(y＋1,2)
C．由②，得y＝eq \f(3x－5,6) D．由②，得x＝eq \f(6y－5,－3)
4．用代入消元法解二元一次方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝0，,x－y＝5；)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－\f(y,4)＝1，,3x－4y＝2.))
解：（1）eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝0，①,x－y＝5，②))
由②，得x＝y＋5.③
把③代入①，得2(y＋5)＋3y＝0.
解得y＝－2.
把y＝－2代入③，得x＝3.
故原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2.))
（2）方程组整理，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－3y＝12，①,3x－4y＝2.②))
①＋②，得7x－7y＝14，
即x－y＝2.
则x＝2＋y.③
把③代入②，得3(2＋y)－4y＝2.
解得y＝4.
把y＝4代入③，得x＝6.
故原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝4.))
命题角度3 用代入法解二元一次方程组的简单应用
5．草莓基地对收获的草莓分拣成A，B两个等级销售，每千克A级草莓的价格比B级的2倍少4元，3千克A级草莓比5千克B级草莓多卖4元．求草莓基地销售A，B两个等级的草莓每千克各是多少元？
解：设草莓基地销售A等级草莓每千克为x元，销售B等级草莓每千克为y元，
根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2y－4，,3x－5y＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝28，,y＝16.))
答：草莓基地销售A等级草莓每千克是28元，销售B等级草莓每千克是16元．
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第2课时 用加减消元法解方程组(一)
本课时是在学习了代入消元法之后进一步学习求解二元一次方程组的另外一种方法——加减消元法，为后面学习函数等知识打下基础．本节课在“消元”思想的前提下提出不同的消元方法——加减消元法，在教学过程中注意让学生体会化归思想的应用，并通过加强训练提高学生求解二元一次方程组的灵活性．
【情景导入】
我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把如图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋4y＝10，,6x＋11y＝34.))请你根据如图2所示的算筹图，列出方程组，并求解．
【说明与建议】 说明：从我国古代数学趣题直接导入，让学生感受到我国数学文化历史的悠久与魅力，增强民族自豪感，激发学生探究的欲望与激情．建议：提出问题后，让学生先思考，后讨论，然后找学生说出他的解题思路，写出解题过程，让学生讨论是否正确，有没有不同的思路和观点；最后在学生充分讨论的基础上，教师用多媒体课件给出正确的答案．
命题角度1 用加减法解二元一次方程组
1．解二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝2，①,2x－y＝5②))时，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用①－②得到的方程是4y＝－3．
2．用加减消元法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋5y＝8，①,3x－4y＝5，②))先消去y，下面运算正确的是(C)
A．①×5＋②×4 B．①×5－②×4 C．①×4＋②×5 D．①×4－②×5
3．用加减消元法解下列方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，①,2x－3y＝－5；②)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－4y＝1，①,5x＋2y＝6.②))
解：（1）①－②，得4y＝12.
解得y＝3.
把y＝3代入①，得2x＋3＝7.
解得x＝2.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3.))
（2）②×2＋①，得13x＝13.
解得x＝1.
把x＝1代入①，得3－4y＝1.
解得y＝eq \f(1,2).
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝\f(1,2).))
命题角度2 用加减法解二元一次方程组的应用
4．小李在水果店买了5千克苹果，3千克梨，付款52元；老王买了11千克苹果，5千克梨，付款100元．求该店的苹果和梨的单价各为多少．
解：设该店的苹果的单价为x元，梨的单价为y元，依题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x＋3y＝52，,11x＋5y＝100，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝9.))
答：该店的苹果的单价为5元，梨的单价为9元．
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第3课时 用加减消元法解方程组(二)
本节课是第八章第二节的第三课时，它是在学习了代入消元法、加减消元的基础上进行学习的．能够灵活熟练地掌握代入消元法、加减消元法，在解方程组时会更简便准确，也是为以后学习用待定系数法求一次函数、二次函数关系式打下了基础，特别是在联系实际，应用方程组解决问题方面，它会起到事半功倍的效果．
【复习导入】
1．解二元一次方程组有哪几种方法？它们的实质是什么？
2．试用两种方法解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－y＝5，,5x＋3y＝2.))
【说明与建议】 说明：第1题是让学生回顾二元一次方程组的两种解法，懂得解二元一次方程组的实质是“消元”；第2题通过用代入法和消元法解方程组，进一步熟悉两种解法的步骤，体会两种解法各自的优越性．建议：小组内完成问题，教师巡视指导，学生完成后教师进行点评．
命题角度1 选择适当的方法解二元一次方程组
1．选择合适的方法解下列方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－2y＝6，①,2x＋3y＝17；②)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)x＋\f(y,2)＝4，,\f(x＋2,5)＝\f(y＋9,3)；)) (3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－3y＝5，①,4x＋6y＝14；②)) (4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(23x＋17y＝63，①,17x＋23y＝57.②))
解：（1）①×3，得9x－6y＝18.③
②×2，得4x＋6y＝34.④
③＋④，得13x＝52.
解得x＝4.
把x＝4代入①，得12－2y＝6.
解得y＝3.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝3.))
（2）方程组可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(14x＋3y＝24，①,3x－5y＝39.②))
①×5，得70x＋15y＝120.③
②×3，得9x－15y＝117.④
③＋④，得79x＝237.
解得x＝3.
把x＝3代入②，得9－5y＝39.
解得y＝－6.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－6.))
（3）②－①，得9y＝9.
解得y＝1.
把y＝1代入①，得4x－3＝5.
解得x＝2.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))
（4）①＋②，得40x＋40y＝120.
所以x＋y＝3.③
①－②，得6x－6y＝6.
所以x－y＝1.④
③＋④，得2x＝4，解得x＝2.
③－④，得2y＝2，解得y＝1.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))
命题角度2 求含参数的二元一次方程组中的参数值
2．若关于x，y的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－by＝3，,2x－y＝6))与eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bx＋ay＝6，,x＋y＝3))的解相同，求a，b的值．
解：根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝6，①,x＋y＝3.②))
①＋②，得3x＝9，解得x＝3.
把x＝3代入①，得y＝0.
把eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝0))代入原方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a＝3，,3b＝6.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2.))
3．甲、乙两人同时解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋by＝15，①,4x＝by－2②))时，甲看错了方程①中的a，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1，))乙看错了②中的b，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝4，))求原方程组的正确解．
解：根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5a＋4b＝15，,4×（－3）＝－b－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝10.))
所以原方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－5x＋10y＝15，①,4x＝10y－2.②))
由②，得x＝2.5y－0.5.③
把③代入①，得－5(2.5y－0.5)＋10y＝15.
解得y＝－5.
把y＝－5代入③，解得x＝－13.
所以原方程组的正确解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－13，,y＝－5.))
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8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 和差倍分问题与配套问题
本节内容是第八章第三节第一课时，是在学生掌握了二元一次方程组的解法，能列二元一次方程组解较简单的应用题的基础上安排的，安排这节内容的目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面让学生能在解决实际问题的情境中运用所学数学知识，进一步提高其分析问题和解决问题的综合能力．
【复习导入】
前面我们已经学习了一元一次方程和二元一次方程组的相关知识，你能解决下面的问题吗？(课件展示)
问题1：解二元一次方程组的基本思想是消元，解法有代入消元法和加减消元法．
问题2：七年级我们学习了列一元一次方程解应用题，那么你还记得它的一般步骤吗？
【说明与建议】 说明：通过复习旧知，为本节课的学习做好铺垫，扫除知识障碍．建议：让学生回顾前面所学方程的相关知识，小组内进行交流体会，教师给予必要的提示．
命题角度1 和差倍分问题
1．“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4 mg.若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62 mg.请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量．
解：设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg，由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝62，,x＝2y－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝40，,y＝22.))
答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40 mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22 mg.
命题角度2 配套问题
2．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1 200个或螺母2 000个，一个螺钉要配两个螺母．为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
解：设分配x名工人生产螺钉，y名工人生产螺母，根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝22，,2×1 200x＝2 000y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝10，,y＝12.))
答：应该分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母．
古代数学问题
隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，问有多少商人多少银？
分析：此题译成现代文就是几个合作经营的商人正分配所得银两，某人在隔壁听见他们说：如果每人分得7两，就剩下4两；如果每人分得9两，还少半斤(旧时1斤＝16两)．你知道共有多少商人和多少银两吗？
答案：设有商人x人，银两y两，根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x＝y－4，,9x＝y＋8.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝46.))
答：有商人6人，银两46两．
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第2课时 几何图形问题与图文信息问题
本节是在前面已经学习过列二元一次方程(组)解决实际问题的基础上进一步以“探究”的形式讨论贴进我们身边的图形面积问题．学习这节课，可让学生进一步体会到方程组是分析和解决数学问题的一种重要的数学工具，进一步掌握列二元一次方程组解决实际问题的思维方法，进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型．既是前面所学知识的延伸，又是后面继续学习利用二元一次方程组解决实际问题和利用方程思想解题的预备知识．
【情景导入】
《孙子算经》中有这样一个数学问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”
意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？
你能解决这个有趣的问题吗？
【说明与建议】 说明：从我国古代数学趣题直接导入，让学生感受到我国数学文化历史的悠久与魅力，增强民族自豪感，激发学生探究的欲望与激情．建议：提出问题后，让学生先思考，后讨论，然后找学生说出他的解题思路，写出解题过程，让学生讨论是否正确，是否有不同的思路和观点；最后在学生充分讨论的基础上，老师用多媒体课件，给出正确的答案．
命题角度1 几何图形问题
1．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
解：设每块长方形地砖的长为x cm，宽为y cm.依题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4y＝60，,x＋y＝60，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝45，,y＝15.))
答：长方形地砖的长为45 cm，宽为15 cm.
命题角度2 图文信息问题
2．商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，根据图中的信息，当有10张塑料凳整齐叠放在一起时，高度是多少厘米？
解：设塑料凳凳面的厚度为x cm，腿高为h cm.根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋h＝29，,5x＋h＝35，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,h＝20.))
20＋3×10＝50(cm)．
答：有10张塑料凳整齐叠放在一起时高度是50 cm.
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第3课时 市场经济问题与行程问题
本节课是在学生已经学习过二元一次方程组的求解方法，通过解决“和差倍分”“几何图形”实际问题，对解决实际问题的步骤和方法有了基本了解的基础上进一步学习二元一次方程组的应用．和前两节课相比，本节课选择的问题数量关系更为复杂，教科书以此为载体展现了分析数量关系、建立方程组的过程和策略，在此基础上归纳列方程组解决实际问题的一般步骤，提高学生解决实际问题的能力．
【情景导入】
最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案．
电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度．一般白天的用电比较集中，用电功率比较大，而夜里人们休息时用电比较少，所以通常白天的用电称为高峰用电，即8：00～22：00，深夜的用电是低谷用电，即22：00～次日8：00.若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元，低谷电价为每千瓦时0.28元．八月份小彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？学生独立思考，容易解答．
【说明与建议】 说明：以一道生活热点问题引入，具有现实意义，激发学生的学习兴趣，同时培养学生节约用电、合理用电的意识，理解题意是关键．通过该题，旨在培养学生的读题能力和收集信息能力．建议：让学生思考，独立完成．此问题是本课时中涉及的知识点，单独拿出来让学生认真体会，以便学生快速融入本课时的学习中．
【置疑导入】
下面是小勋到商店购买2个单价相同的布丁和10根单价相同的棒棒糖的经过．
小勋：我要2个布丁和10根棒棒糖．
老板：好的！这是您要的2个布丁和10根棒棒糖，总共20元！
老板：小朋友，我算错了，我多算了2根棒棒糖的钱，退还你2元．
根据上文，判断布丁和棒棒糖的单价相差多少元？
【说明与建议】 说明：通过在商品买卖中的一段对话，让学生体会数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣．建议：如果条件许可，可以将上述情景设计成一段动画进行展示．
命题角度1 行程问题
1．一条船顺流航行，每小时行25 km；逆流航行，每小时行17 km.设轮船在静水中的速度为x km/h，水的流速为y km/h.根据题意，得到的方程组是(D)
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝25,y＋x＝17)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝17,x＝25＋y)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－25＝y,x＋y＝17)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝25,x－y＝17))
2．岳阳到长沙的公路全长140千米，甲、乙两车同时从岳阳、长沙两地相向开出，0.5 h后到达同一地点，甲车比乙车多行了20千米，求甲、乙两车的速度．
解：设甲、乙两车的速度分别为x千米/时，y千米/时，由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.5（x＋y）＝140，,x＝y＋40，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝160，,y＝120.))
答：甲、乙两车的速度分别为160千米/时，120千米/时．
命题角度2 销售问题
3．某超市销售时令水果，两次购进一定数量的草莓．已知第一次购买每千克的售价是第二次的1.5倍，且第二次购买400千克比第一次购买200千克多花了1 000元，求两次购买草莓每千克的售价分别是多少元．若设第一、二次购买草莓每千克的售价分别为x元和y元，根据题意可列方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1.5y,400y－200x＝1 000))．
4．春节前夕，某商场用14 500元购进某种矿泉水和无糖茶共500箱，它们的成本价与销售价如下表所示：
(1)商场这次购进矿泉水和无糖茶各多少箱？
(2)该商场售完这500箱矿泉水和无糖茶，可获利多少元？
解：(1)设购进矿泉水x箱，购进无糖茶y箱，根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝500，,25x＋35y＝14 500，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝300，,y＝200.))
答：商场这次购进矿泉水300箱，购进无糖茶200箱．
(2)(35－25)×300＋(48－35)×200＝5 600(元)．
答：该商场售完这500箱矿泉水和无糖茶，可获利5 600元．
数学诗词与二元一次方程组
人们在日常生活中少不了数学运算，在诗歌创作中也时有反映．这种数学诗语言优美、活泼，形式新颖，有利于学习兴趣的培养．它既可以打开人们思维的天地，一扫数学题目的枯燥无味之感，又可以在得到美的享受的同时，学到某些数学知识．现选取几例供大家赏析．
周瑜寿多少
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十比个位正小三，个是十位正两倍；
哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？
解：设周瑜年龄的个位数字为x，十位数字为y，根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－3，,x＝2y.))
武大郎卖饼
武大郎卖饼串满街，甜咸炊饼销得快；
甜三咸二两厘一，咸四甜二两厘二；
各买一张甜咸饼，武大郎饼价该怎卖？
解：设每张甜饼x厘，每张咸饼y厘，根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y＝2.1，,4y＋2x＝2.2.))
隔溪牧羊
甲乙隔溪牧羊，二人相互商量；
甲得乙羊九只，多乙一倍正当；
乙说得甲九只，两人羊数一样；
问甲乙羊几何，让你算个半晌．
解：设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋9＝2（y－9），,x－9＝y＋9.))
详见电子资源


*8.4 三元一次方程组的解法
本节课是在学生已经熟练掌握了二元一次方程组的概念、解法和应用的基础上进一步学习三元一次方程组．本节课通过类比二元一次方程组的求解思路，得到解三元一次方程组的思路，让学生进一步体会化未知为已知的化归思想：通过“消元”将“三元”化为“二元”，把新问题化归成已经会解决的问题．
【情景导入】
前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法．有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决．实际上，有不少问题含有更多未知数．我们看下面的问题：
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张．
自然的想法是，设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，根据题意，可以得到下面三个方程：
x＋y＋z＝12，x＋2y＋5z＝22，x＝4y.
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝12，,x＋2y＋5z＝22，,x＝4y.))
这个方程组和我们以前学过的二元一次方程组有什么区别呢？又怎样求出这个方程组的解呢？(提示课题：三元一次方程组)
【说明与建议】 说明：通过生活中的实例，引导学生列出方程组，体会生活中还存在比两个未知量还多的情况．与二元一次方程(组)比较，体会三元一次方程(组)的概念．建议：可引导学生分析题意，理清关系，让学生自己列出方程组，可能学生会列出二元或三元一次方程组，教师要引导学生比较，体会区别，合理选择．
命题角度1 三元一次方程组的概念
1．下列方程组中，是三元一次方程组的是(C)
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0,y＋z＝1,z＋w＝5)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2,y＋z＝5,z＋w＝9)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋4z＝7,2x＋3y＝9－z,5x－9y＋7z＝8)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2y＝0,y＋z＝3,x＋y＋z＝1))
命题角度2 解三元一次方程组
2．解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝1，①,x＋3y＋z＝10，②,x－2y－z＝－2.③))
解：②＋③，得2x＋y＝8.④
①＋④，得3x＝9，解得x＝3.
把x＝3代入①，得y＝2.
把x＝3，y＝2代入②，得3＋6＋z＝10，解得z＝1.
所以方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2，,z＝1.))
命题角度3 三元一次方程组的应用
3．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数．
解：设原来的三位数的百位数字为x、十位数字为y、个位数字为z，根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝17，,x＋y－z＝3，,（100z＋10y＋x）－（100x＋10y＋z）＝495.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝8，,z＝7.))
答：原来的三位数是287.
一次方程的古今表示及解法
我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中．《九章算术》的“方程”章，有许多关于一次方程组的内容，这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的：
上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共是39斗；
上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共是34斗；
上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共是26斗．
求上、中、下三等谷每束各是几斗．
下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？
《九章算术》中的算筹图是竖排的．为看图方便，上图改为横排，使三个横行表示三句话的含义．
不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有3个未知数的问题．
设上等谷每束x斗，中等谷每束y斗，下等谷每束z斗．
根据题意，得三元一次方程组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y＋z＝39， ①,2x＋3y＋z＝34， ②,x＋2y＋3z＝26. ③))(*)
与解二元一次方程组类似，通过消元可以使上面的方程组转化为二元一次方程组，进而求出各未知数．
上图实际上就是用算筹列出的方程组(*)，它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项．
我国古代解方程组时，也用算筹做计算工具，具体解法是：从一个方程累减(或累加)另一个方程．例如，解方程组(*)，将①－②可以消去z，将③连续三次减去②也可以消去z，从而得到二元一次方程组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝5，,－5x－7y＝－76.))
这里将③连续三次减去②，与③－②×3的结果一样．
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课题
8.1 二元一次方程组
授课人
素养目标
1.了解二元一次方程(组)及其相关概念，会设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系．
2．会用数学的思维判断一对数值是不是某个二元一次方程组的解.
教学重点
1.了解二元一次方程(组)及其相关概念．
2．会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.
教学难点
1.会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．
2．会设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系.
授课类型
新授课
课时
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.方程2x－3＝1是一元一次方程，其解是x＝2，有1个解．
2．下列方程中，解为x＝4的方程是(C)
A．x－1＝4 B．4x＝1
C．4x－1＝3x＋3 D．2(x－1)＝1
师生活动：学生独立完成，班内统一答案．师生共同回顾一元一次方程及其解.
通过简单的提问，帮助学生回顾一元一次方程，为学习新课做好准备.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
活动一：对话
老牛喘着气吃力地说：“累死我了！”
小马说：“你还累？这么大的个，才比我多驮了2个．”
老牛气喘吁吁地说：“哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！”
小马天真而不信地说：“真的？”
它们各驮了多少包裹呢？
设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你能得到怎样的方程？能列几个？
问题1：老牛驮的包裹数比小马驮的多2个，由此你能得到怎样的方程？
问题2：若老牛从小马背上拿来1个包裹，老牛的包裹数就是小马的包裹数的2倍，由此你又能得到怎样的方程？
活动二：多媒体展示公园门票问题，学生认真观看图片，部分学生开始在练习本上计算．
设他们中有x个成人，y个儿童，由此你能得到怎样的方程？
根据学生的生活实际和认知实际，创设具体的问题情境，让学生经历建模的同时，调节心情，以相对轻松的状态进入后面的学习.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．二元一次方程的概念
上面两个问题中，我们分别得到方程x－y＝2，x＋1＝2(y－1)和x＋y＝8，5x＋3y＝34.
(1)观察以上几个方程，它们各含有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？与一元一次方程有何异同？
(2)能否仿照一元一次方程的定义给这几个方程起个名？
归纳：
二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
它有3个特征：(1)含有两个未知数；(2)所含未知数的项的次数都是1；(3)方程的两边都是整式．
师生活动：先让学生通过观察归纳其中的共性，并用自己的语言进行描述，然后再组织学生交流．
判断一个方程是不是二元一次方程，要从元和次两个方面去判断，首先要看元，即未知数是否有两个；其次要看次，即未知数的次数，含有未知数的项的次数必须都是1.这个概念分别在元和次两个方面进行了限定，这两个方面缺一不可．
2．二元一次方程组的概念
对于公园门票问题：x＋y＝8和5x＋3y＝34这两个方程，其中x的含义是什么？y呢？两个方程中x，y的含义一样吗？
总结：两个方程中x，y的含义是一样的．
x，y必须同时满足两个方程，所以我们把它们联立起来，在前面加一个大括号，组成方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝8，,5x＋3y＝34.))
含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
师生活动：总结归纳出二元一次方程组的定义后，注意引导学生理解未知数x和y表示的意义相同，并规范方程组的表示方法．最后让学生尝试自己举例．
二元一次方程组的判断要点：首先要看方程中是不是含有两个未知数；其次要看含有未知数的项的次数是否都为1.这两个重要条件必须同时满足的两个方程组成的方程组才能称为二元一次方程组．
3．二元一次方程(组)的解
做一做：
(1)x＝6，y＝2适合方程x＋y＝8吗？x＝5，y＝3呢？x＝4，y＝4呢？你还能找到其他x，y的值适合方程x＋y＝8吗？
(2)x＝5，y＝3适合方程5x＋3y＝34吗？x＝2，y＝8呢？
(3)你能找到一组x，y的值同时适合方程x＋y＝8和5x＋3y＝34吗？
总结：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解．
x＝5，y＝3是二元一次方程x＋y＝8的一个解，记作eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3.))同样eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3))也是二元一次方程5x＋3y＝34的一个解．
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3))同时适合方程x＋y＝8和5x＋3y＝34，那么，我们就说eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3))是二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝8，,5x＋3y＝34))的解．
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
师生活动：学生分组讨论后进行回答，教师帮助学生对比得到二元一次方程(组)的解的定义，并引导学生理解一个二元一次方程一般有无数个解.
1.学生通过类比学习，抓住二元一次方程的关键特征，归纳、概括得出二元一次方程的概念．
2．通过分组讨论得到二元一次方程组的概念，提高学生学习的积极性，同时增强学生的语言组织能力.
3．深刻理解二元一次方程(组)的解的概念，体会二元一次方程的解的不唯一性.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 下列方程有哪些是二元一次方程：(1)(3)(6)．
(1)x＋3y－9＝0；(2)3x2－2y＋12＝0；
(3)3a－4b＝7； (4)3x－eq \f(1,y)＝1；
(5)mn＋m＝7； (6)eq \f(m,2)－5n＝1；
(7)xy－1＝0； (8)x＋y＋z＝2.
例2 下列方程组中，属于二元一次方程组的是(A)
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝5,y＝2)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2,y－z＝6)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xy＝4,y＝1)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－1＝0,x＋y＝5))
例3 下列四组数中，哪些是二元一次方程2x＋y＝10的解？
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝6；)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝4；)) (3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝3；)) (4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝－2.))
解：(2)，(4)是二元一次方程2x＋y＝10的解．
例4 二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝10，,y＝2x))的解是(C)
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝3)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝6)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝4)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝2))
例5 某旅店一共有70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，480个学生刚好住满．设大房间有x个，小房间有y个，则列出方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝70,8x＋6y＝480)).
【变式训练】
1．若(a－1)x＋4y|a|＝3是二元一次方程，则a＝－1．
2．小明在解题时发现二元一次方程□x－y＝3中，x的系数已经模糊不清(用“□”表示)，但查看答案发现eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝5))是这个方程的一组解，则“□”表示的数为－4．
师生活动：学生先独立思考并作答，然后分小组交流讨论，派学生代表进行讲解，教师最后进行完善.
1.典型例题进一步巩固新知，提高学生的应用能力.
2.变式训练拓展学生思维，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.
活动四：
课堂检测
【课堂检测】
1.下列各组数中，不是x＋y＝5的解的是(B)
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝3)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝6)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2,y＝7)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝5))
2．在方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝1，,y＝3z＋1；))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,3y－x＝1；))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,3x－y＝5；))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xy＝1，,x＋2y＝3；))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)＝1，,x＋y＝1))中，
是二元一次方程组的有(A)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列各组数是二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y＝7，,y－x＝1))的解的是(A)
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝2)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝1)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝7,y＝0)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝－2))
4．如图，设他们中有x个成人，y个儿童，根据图中的对话可得方程组(C)
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝30,30x＋15y＝195)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝195,30x＋15y＝8))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝8,30x＋15y＝195)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝15,30x＋15y＝195))
5．若方程xm－1－3yn＋1＝5是关于x，y的二元一次方程，则m＋n＝2．
师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解课堂学习效果的目的.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)二元一次方程组及其解的概念是怎样的？
(2)如何检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解？
2．布置作业：
(1)教材第89页练习．
(2)教材第90页习题8.1第1，2，3，5题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
教学反思
反思，更进一步提升.
课题
8.2 第1课时 用代入消元法解方程组
授课人
素养目标
1.会用代入消元法解二元一次方程组．
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”．
3．在解决问题的过程中学会交流与合作，感受二元一次方程组的实用价值.
教学重点
会用代入消元法解二元一次方程组.
教学难点
如何灵活地“消元”，把“二元”转化为“一元”.
授课类型
新授课
课时
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.下列方程是二元一次方程吗？
(1)x＋3y＝7；(2)2y＋2＝0；(3)2x－3＝5；(4)eq \f(x,3)－eq \f(y,2)＝1.
2．你能把上面的二元一次方程改写成用x表示y(或用y表示x)的形式吗？
3．解一元一次方程的步骤是什么？
回顾旧知，为学习新知做好准备.
活动一：
创设情境、导入新课
【课堂引入】
上节课我们学习了老牛和小马驮包裹的问题，经过大家的共同努力，得出了二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,x＋1＝2（y－1），))它们分别驮了多少包裹呢？这就需要我们去解这个二元一次方程组．我们会解一元一次方程，那么二元一次方程组如何解呢？
通过提出实际问题，充分调动学生的积极性，激发学生的学习动力和兴趣.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
问题1：老牛和小马驮包裹的问题中，你能否列一元一次方程？如何求解？
解：设老牛驮了x个，则小马驮了(x－2)个．根据题意，得
x＋1＝2(x－2－1)，
x＋1＝2x－4－2，
x－2x＝－4－2－1，
－x＝－7，
x＝7.
问题2：如果设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你还记得怎么列的方程组吗？
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,x＋1＝2（y－1）.))
问题3：针对同样的问题，如何求二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,x＋1＝2（y－1）))的解呢？
提示：(1)对照一元一次方程的解法，问题2比问题1多了一个未知数y，y相当于问题1中的____________．
(2)一元一次方程会解，如何解二元一次方程呢？能否化成一元一次方程？换句话说，多出来的未知数y可以转化成____________，然后代入____________．
学生自己分析求解，教师规范解题格式．
解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2， ①,x＋1＝2（y－1）. ②))
由①，得y＝x－2.③
将③代入②，得x＋1＝2(x－2－1)．解得x＝7.
把x＝7代入③，得y＝5.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝5.))
探索与归纳：
(1)给前面解方程组的方法取个什么名字好？
(2)解方程组的基本思路是什么？
(3)解方程组的主要步骤有哪些？
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法叫代入消元法，简称代入法.
基本思路：二元一次方程组⇨一元一次方程
解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程．
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值．
第四步：回代求出另一个未知数的值．
第五步：把方程组的解表示出来．
第六步：检验，即把求得的解代入每一个方程看其是否成立．
代入法解二元一次方程组的小窍门：
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
1.通过利用一元一次方程解决实际问题，引导学生将求解二元一次方程组的问题转化为消“二元”为“一元”，调动学生思考问题的积极性，同时提高学生分析问题、解决问题的能力．
2．通过问题罗列及小组讨论，让学生发挥学习的主动性，同时让学生养成学会观察、分析、归纳的好习惯.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第91页例1)用代入法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝3，①,3x－8y＝14.②))
解：由①，得x＝y＋3.③
把③代入②，得3(y＋3)－8y＝14.
解得y＝－1.
把y＝－1代入③，得x＝2.
所以这个方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1.))
例2 (教材第92页例2)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
两种产品的销售数量比为2∶5，即销售的大瓶数目与小瓶数目的比为2∶5.这里的数目以瓶为单位．
【分析】 问题中包含两个条件：
大瓶数∶小瓶数＝2∶5，
大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量．
解：设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶．根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x＝2y，①,500x＋250y＝22 500 000.②))
由①，得y＝eq \f(5,2)x.③
把③代入②，得500x＋250×eq \f(5,2)x＝22 500 000.解得x＝20 000.
把x＝20 000代入③，得y＝50 000.
所以这个方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝20 000，,y＝50 000.))
答：这个工厂一天应生产20 000大瓶和50 000小瓶消毒液.
总结：上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
【变式训练】
1．用代入法解下列方程组：
（1）eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝－19，①,x＝1－5y；②))（2）eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝16，①,x＋4y＝13.②))
解：（1）把②代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19.解得y＝3.
把y＝3代入②，得x＝1－5×3＝－14.
所以方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－14，,y＝3.))
（2）由②，得x＝13－4y.③
把③代入①，得2(13－4y)＋3y＝16.解得y＝2.
把y＝2代入③，得x＝13－4×2＝5.
所以方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2.))
2．游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．如果每位男孩看到的蓝色游泳帽是红色游泳帽的两倍，而每位女孩看到的蓝色游泳帽比红色游泳帽多12顶，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
解：设游泳池里男孩有x人，女孩有y人，根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1＝2y，,x－（y－1）＝12，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝21，,y＝10.))
答：游泳池里男孩有21人，女孩有10人．
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.
1.进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路，熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程．
2．让学生解决数学问题，将新知识融入学生已有的认知结构中，提高认识知识的效率，促进学生能运用所学知识和技能解决问题，同时为学生提供充分发挥创造力的空间，更大地调动学生的积极性.
活动四：
课堂检测
【课堂检测】
1.用代入法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝7，,y＝1－x))时，代入正确的是(C)
A．x－2－x＝7 B．x－2－2x＝7
C．x－2＋2x＝7 D．x－2＋x＝7
2．用代入法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2s＋t＝1，①,3s－5t＝8，②))下面四个选项中正确的是(C)
A．由②，得t＝eq \f(3s＋8,5)，再代入①
B．由②，得s＝eq \f(8－5t,3)，再代入①
C．由①，得t＝1－2s，再代入②
D．由①，得s＝eq \f(1＋t,2)，再代入②
3.用代入法解方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x－3，①,3x＋2y＝8；②)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝5，①,3x＋4y＝2.③))
解：（1）将①代入②，得
3x＋2(2x－3)＝8，
解得x＝2.
将x＝2代入①，得y＝1.
故方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))
（2）由①，得y＝2x－5.③
将③代入②，得3x＋4(2x－5)＝2.
解得x＝2.
将x＝2代入③，得y＝－1.
故方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1.))
4．为了更好地保护环境，治污公司决定购买若干台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，已知购买1台A型号设备比购买1台B型号设备多5万元，购买2台A型号设备和3台B型号设备共45万元．求每台A，B型号设备的价格是多少万元？
解：设每台A型号设备的价格是x万元，每台B型号设备的价格是y万元，依题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝5，,2x＋3y＝45，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝7.))
答：每台A型号设备的价格是12万元，每台B型号设备的价格是7万元．
师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
通过设置课堂检测，促进学生进一步巩固新知，及时检测学生的学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)用代入消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的？
(2)代入消元中应注意哪些问题？
2．布置作业：
(1)教材第93页练习第1，2，3，4题．
(2)教材第97～98页习题8.2第1，2，4，9题.
学生在反思中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
教学反思
反思教学设计，更进一步提升教师教学能力.
课题
8.2 第2课时 用加减消元法解方程组(一)
授课人
素养目标
1.会用加减消元法解二元一次方程组．
2．了解解二元一次方程组时的“消元思想”和“化未知为已知”的化归思想.
教学重点
用加减消元法解二元一次方程组.
教学难点
在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
授课类型
新授课
课时
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.解二元一次方程组的基本思路是什么？
2．用代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么？
回顾旧知，为学习新知做好准备.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
怎样解下面的方程组？
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋5y＝21，①,2x－5y＝－11.②))
小明：把②变形为x＝eq \f(5y－11,2)，代入①，不就消去x了！
小亮：把②变形为5y＝2x＋11，就可以直接代入①呀！
小丽：5y和－5y互为相反数……
按小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
以实例引入，既巩固旧知，又引入新课.
活动二：
实践探究、
交流新知
【探究新知】
解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋5y＝21，①,2x－5y＝－11.②))你有几种方法？
解法1：由②，得x＝eq \f(5y－11,2).③
把③代入①……
解法2：由②，得5y＝2x＋11.③
把5y当作整体，将③代入①……
(此种解法体现了整体的思想)
解法3：①＋②，得5x＝10，解得x＝2.
把x＝2代入①，得y＝3.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3.))
在方程组中，方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据相反数的和为零将方程①和②的左右两边分别相加，然后根据等式的基本性质消去未知数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的．
师生活动：学生先独立对方程组进行求解，然后分小组进行解法的交流，并比较解法的复杂程度，最终教师进行引导，帮助归纳得到加减消元法的特点和思路．
归纳：在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数互为相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，则可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
特点：某一个未知数的系数相同或互为相反数．
基本思路：二元―→一元．
主要步骤：
(1)加减消去一个元；
(2)分别求出两个未知数的值；
(3)写出方程组的解.
1.通过对一道练习题的解答，鼓励学生一题多解，不要局限于教师教过的方法，而要注意观察、发现题目中的特点，找到解决问题的其他方法，同时通过一题多解，拓展学生的思维.
2.总结归纳加减消元法的解题思路、步骤，让学生体会加减消元法与代入消元法的区别，合理恰当地选择解题方法.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第95页例3)用加减法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋4y＝16，①,5x－6y＝33.②))
解：①×3，得9x＋12y＝48.③
②×2，得10x－12y＝66.④
③＋④，得19x＝114.
解得x＝6.
把x＝6代入①，得3×6＋4y＝16.
解得y＝－eq \f(1,2).
所以这个方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝－\f(1,2).))
例2 (教材第95页例4)2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割同时工作5 h共收割小麦8 hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2.
根据两种工作方式的相等关系，得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2（2x＋5y）＝3.6，,5（3x＋2y）＝8.))
去括号，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋10y＝3.6，①,15x＋10y＝8.②))
②—①，得11x＝4.4.
解得x＝0.4.
把x＝0.4代入①，得y＝0.2.
因此，这个方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0.4，,y＝0.2.))
答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2.
【变式训练】
1．用加减法解下列方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8x＋5y＝11，①,4y－3x＝－10；②)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋4y＝10，①,4x－3y＝5.②))
解：（1）①×4，得32x＋20y＝44.③
②×5，得20y－15x＝－50.④
③－④，得47x＝94.解得x＝2.
把x＝2代入①，得16＋5y＝11.
解得y＝－1.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1.))
（2）①×4，得12x＋16y＝40.③
②×3，得12x－9y＝15.④
③－④，得25y＝25.解得y＝1.
把y＝1代入①，得3x＋4＝10.
解得x＝2.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))
2．某物流公司用4辆小卡车和5辆大卡车一次共运货物27 t，6辆小卡车和10辆大卡车一次共运货物51 t，问小卡车和大卡车每辆每次运货各多少吨？
解：设小卡车每辆每次运货x吨，大卡车每辆每次运货y吨，根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋5y＝27，,6x＋10y＝51，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1.5，,y＝4.2.))
答：小卡车每辆每次运货1.5吨，大卡车每辆每次运货4.2吨．
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.
1.巩固利用加减法求二元一次方程组的解，掌握解题步骤.
2.让学生解决数学问题，将新知识融入学生已有的认知结构中，提高认识知识的效率，促进学生能运用所学知识和技能解决问题，同时为学生提供充分发挥创造力的空间，更大地调动学生的积极性.
活动四：
课堂检测
【课堂检测】
1.用加减法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝1，,3x－2y＝8))时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形结果：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6x＋9y＝1，,6x－4y＝8；))(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋6y＝1，,9x－6y＝8；))(3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6x＋9y＝3，,－6x＋4y＝－16；))(4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋6y＝2，,9x－6y＝24，))其中变形正确的是(B)
A．(1)(2) B．(3)(4) C．(1)(3) D．(2)(4)
2．解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝1，①,3x－6y＝7②))时，用加减法消去y，需要(C)
A．①×2－② B．①×3－②×2
C．①×2＋② D．①×3＋②×2
3．用加减消元法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋3y＝6，,4x－3y＝2，))若先求出x的值，应先将两个方程相加；若先求出y的值，应先将两个方程相减．
4.用加减消元法解下列方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝4，①,x－y＝－1；②)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6x＋7y＝－19，①,6x－5y＝17；②))
(3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－2y＝9，①,x－y＝7；②)) (4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝3，①,3x＋4y＝－1.②))
解：(1)①＋②，得3x＝3.解得x＝1.
把x＝1代入②，得y＝2.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
(2)①－②，得12y＝－36，解得y＝－3.
把y＝－3代入②，得6x＋15＝17，解得x＝eq \f(1,3).
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝－3.))
(3)①－②×2，得x＝－5.
把x＝－5代入②，得y＝－12.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝－12.))
(4)①×2＋②，得5x＝5.解得x＝1.
把x＝1代入①，得1－2y＝3.解得y＝－1.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1.))
5．某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了50间大寝室和55间小寝室，也正好住满．求该校的大、小寝室每间各住多少人？
解：设该校的大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(55x＋50y＝740，,50x＋55y＝730，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝6.))
答：该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人．
师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
通过设置课堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)用加减消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的？
(2)加减消元中应注意哪些问题？
2．布置作业：
(1)教材第96～97页练习第1，2，3题．
(2)教材第98页习题8.2第3，6题.
学生在反思中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.
教学反思
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
课题
8.2 第3课时 用加减消元法解方程组(二)
授课人
素养目标
1.熟练掌握加减消元法．
2．会根据方程组的特点选择合适的方法解方程组．
3．在用加减消元法解二元一次方程组的过程中，大胆地尝试使用同一问题的不同解法，并在体验成功的快乐同时激发学生浓厚的学习兴趣.
教学重点
理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想.
教学难点
分析实际问题中的数量关系，建立数学模型.
授课类型
新授课
课时
课堂活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.解二元一次方程组有哪几种方法？它们的实质是什么？
2．试用两种方法解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－3y＝11，①,3x＋y＝5.②))
第1题学生交流后回答；
第2题让两名学生在黑板上展示．(一人用一种方法)
回顾二元一次方程组的两种解法，懂得解二元一次方程组的实质是“消元”.
活动一：
创设情境、
导入新课
【课堂引入】
某天，小明从菜场附近经过，听到两位阿姨的对话：
王阿姨：我今天花了65元，在菜市场买回2斤萝卜、3斤排骨，准备做萝卜排骨汤．
张阿姨：我上个星期，也买了1斤萝卜、1斤排骨，花了22元．
已知这两个星期，排骨和萝卜的单价都没有改变，请你根据王阿姨和张阿姨的对话求出排骨和萝卜的单价分别是多少元？
通过对实际问题的解决，让学生体会用二元一次方程组解决实际问题的基本思路.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
阅读应用题后思考：
问题一：题目中存在的等量关系是总价＝单价×数量．
问题二：如果设排骨的单价是x元，萝卜的单价是y元，那么2斤萝卜、3斤排骨的总价是(3x＋2y)元；1斤萝卜、1斤排骨的总价是(x＋y)元．
问题三：根据题目中的等量关系，可列方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y＝65,x＋y＝22))
观察方程组：
(1)可以用代入消元法求解吗？
(2)根据方程组中各未知数系数的特点，能直接用加减法求解吗？
(3)若要使未知数x的系数相同，方程应分别做怎样的变化？
(4)求出方程组的解．
师生活动：让各组同学互相合作、交流、探讨，找出题目中的等量关系，进一步列方程组并解之．教师巡视指导，对个别学生加以点拨．学生完成后，由一名组长进行讲解，其他小组如有不同意见，待其完成后再发表意见．教师根据学生的讲解适当进行点评．提醒学生要把x，y的值代入所列方程组检验．最后让学生结合课本明确具体解题过程.
通过对代入法和加减法解二元一次方程组的探讨，进一步体会两种方法各自的优越性.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 用适当的方法解下列方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝3，①,3x＋2y＝1；②)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－5y＝6，①,x＋4y＝－15.②))
解：(1)由①，得x＝3－2y.③
把③代入②，得3(3－2y)＋2y＝1，解得y＝2.
把y＝2代入③，得x＝3－2×2＝－1.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2.))
(2)①×4＋②×5，得17x＝－51，解得x＝－3.
把x＝－3代入①，得3×(－3)－5y＝6，解得y＝－3.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－3.))
例2 若方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5y－x－3＝0，,mx＋ny－7＝0))与eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2mx－19＝3ny，,3x－2y－4＝0))有相同的解，求m，n的值．
解：由题意，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5y－x－3＝0，,3x－2y－4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))把eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))代入eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx＋ny－7＝0，,2mx－19＝3ny，))得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m＋n－7＝0，,4m－19＝3n，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝4，,n＝－1.))
【变式训练】
1．用适当的方法解下列方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝9，①,x＝2y＋1；②)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝6，①,3x＋2y＝2.②))
解：(1)把②代入①，得2(2y＋1)＋3y＝9，解得y＝1.
把y＝1代入②，得x＝2＋1＝3.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))
(2)①×2，得4x－2y＝12.③
②＋③，得7x＝14，解得x＝2.
把x＝2代入①，得4－y＝6，解得y＝－2.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2.))
2．甲、乙两人解同一个方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋ay＝13，①,bx－3y＝9，②))甲因看错①中的a解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝7，))乙因看错了②中的b解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5，))请求出原方程组的解．
解：把eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝7))代入②，得6b－21＝9，解得b＝5.
把eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5))代入①，得3＋5a＝13，解得a＝2.
所以原方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y＝13，①,5x－3y＝9.②))
①×3＋②×2，得19x＝57，解得x＝3.
把x＝3代入①，得9＋2y＝13，解得y＝2.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2.))
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.
应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力.
活动四：
课堂检测
【课堂检测】
1.对于方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＝5，①,3x＋4y＝33②))而言，你能设法让两个方程中x的系数相等吗？你的方法是①×3，②×2；若让两个方程中y的系数互为相反数，你的方法是①×4，②×3．
2．已知关于x，y的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝k－3，,3x＋5y＝2k＋8))的解满足x＋y＝2，则k的值为1．
3．若|a－b＋1|与eq \r(a＋2b＋4)互为相反数，则a－2b＝0．
师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
让学生加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，促进学生灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)本节课学到了什么知识？
(2)还存在什么困惑？
2．布置作业：
教材第98页习题8.2第5，7，8题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
教学反思
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
课题
8.3 第1课时 和差倍分问题与配套问题
授课人
素养目标
1.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组．
2．学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答．
3．在用二元一次方程组解决实际问题的过程中，培养应用数学的意识，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣.
教学重点
以方程组为工具，分析、解决含有多个未知数的实际问题.
教学难点
确定解题策略，比较估算与精确计算.
授课类型
新授课
课时
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
问题1：解二元一次方程组的方法有哪些？
问题2：列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
回顾旧知，为学习新知做好准备.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．
教师利用课件出示教材第99页探究1.
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7～8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
开门见山，直接提出本节学习内容，强化本章的中心问题．以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
学生思考、讨论．
判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：
方法一：先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验．
方法二：根据问题中给定的数量关系求出每头大牛和每头小牛1天各约用的饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．
学生在比较探究后发现用方法二较简单．
设问：如果选择方法二，如何计算每头大牛和每头小牛1天各约用的饲料量？
思考：(1)题中有哪些已知量？哪些未知量？
(2)题中等量关系有哪些？
(3)如何解这个应用题？
本题的等量关系：(1)30头大牛和15头小牛一天需用饲料675 kg；
(2)(30＋12)头大牛和(15＋5)头小牛一天需用饲料940 kg.
解：设每头大牛1天约需饲料x kg，每头小牛1天约需饲料y kg.
根据题目中的两个相等关系，利用所设未知数，列方程组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(30x＋15y＝675，①,42x＋20y＝940.②))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝20，,y＝5.))
答：每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg，饲料员李大叔估计每头大牛1天需用饲料18～20千克正确，而估计每头小牛1天需用7～8千克与计算有一定的出入．
总结解应用题的方法，思考下列问题：
(1)在列方程组之前我们先做了哪些工作？
(2)列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
①审：找出已知量、未知量和相等关系；
②设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
③列：依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；
④解：解方程组，得到方程组的解；
⑤验：检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解；
⑥答：写出答案.
引导学生探寻解题思路，并对各种方法进行比较，方法一主要是估算的运用，而方法二是方程思想的应用．
分步到位，渗透模型化的思想；规范解题步骤，培养学生有条理地思考、表达的习惯．让学生认识到检验的重要性，并学会正确作答.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克．若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2 560元，求两种型号的粽子各多少千克．
解：设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x－20，,28x＋24y＝2 560，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝40，,y＝60.))
答：订购了A型粽子40千克，B型粽子60千克．
例2 根据小敏、小聪、小东、小强四人的对话内容，请你设计一下，分别安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套？
解：设安排x立方米木料做桌面，y立方米木料做桌腿，依题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝5.5，,4×50x＝300y＋100，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3.5，,y＝2.))
答：应安排3.5立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套．
【变式训练】
1．实验室需要一批无盖的长方体模型，一张大纸板可以做成长方体的侧面30个，或长方体的底面25个，一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现有26张大纸板，则用多少张做侧面，多少张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余？
解：设用x张做侧面，y张做底面，根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝26，,30x＝4×25y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝20，,y＝6.))
答：用20张做侧面，6张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余．
2．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子∶5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
解：设大头儿子现在的年龄是x岁，小头爸爸现在的年龄是y岁，由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋23，,y＋5＝2（x＋5）＋8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝10，,y＝33.))
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.
进一步巩固用列二元一次方程组解应用题的思想，以及掌握用列二元一次方程组解应用题的方法和步骤.
活动四：
课堂检测
【课堂检测】
1.某校去年有学生1 000名，今年比去年增加4.4%，其中寄宿学生增加了6%，走读学生减少了2%.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名？设去年有寄宿学生x名，走读学生y名，则可列出的方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝1 000,（1＋6%）x＋（1－2%）y＝1 000×（1＋4.4%）))．
2．甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
解：设甲原来每小时加工x件，乙原来每小时加工y件，依题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3（x＋y）＝126，,（5－1）（x＋10）－5（y－1）＝15，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝20，,y＝22.))
答：甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件．
3．一套仪器由2个A部件和3个B部件构成，用1 m3钢材可做20个A部件或15个B部件．发现用90 m3钢材制作的部件配比成套后剩余B部件45个，问：恰好配成这种仪器多少套？
解：设用x m3钢材做A部件，y m3钢材做B部件，由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝90，,20x∶（15y－45）＝2∶3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝29，,y＝61.))
则共做A部件个数为29×20＝580(个)，B部件个数为61×15＝915(个)．
一套仪器由2个A部件和3个B部件构成，故恰好配成这种仪器套为580÷2＝290(套)．
答：恰好配成这种仪器290套．
师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
检验学生对本节课知识的掌握程度和运用程度．引导学生运用所归纳的列方程组的方法解决问题，提高学生解决问题的能力.
课堂小结
1.课堂小结：
通过这节课的学习，你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤吗？
2．布置作业：
教材第102页习题8.3第4，5题.
以问题的形式出现，引导学生思考、交流，梳理所学知识，建立起符合自身认知特点的知识结构．训练学生的口头表达能力，让学生养成及时归纳总结的良好学习习惯.
教学反思
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
课题
8.3 第2课时 几何图形问题与图文信息问题
授课人
素养目标
1.进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型．
2．会找出实际问题中的已知量和未知量，分析它们之间的数量关系，列出方程组.
教学重点
借助几何图形分析题目中的各个量之间的关系.
教学难点
借助图形分析问题中所蕴含的数量关系.
授课类型
新授课
课时
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.二元一次方程组的解法有哪些？
2．利用二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么？
回顾旧知，为学习新知做好准备.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．
教师利用课件出示教材第99页探究2.
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？
以学生身边的实际问题展开学习，突出数学与现实的联系，培养学生运用数学的意识.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
问题1：【课堂引入】中的问题是长方形面积的分割问题，认真阅读题目，你能画出示意图帮助自己理解吗？
问题2：“甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2”是什么意思？
若甲种作物的单位面积产量是a，那么乙种作物的单位面积产量是2a.
问题3：“甲、乙两种作物的总产量的比为3∶4”是什么意思？
种植甲种作物的总产量∶种植乙种作物的总产量＝3∶4.
问题4：本题中有哪些相等关系？
相等关系：种植甲种作物的面积＋种植乙种作物的面积＝总面积；
种植甲种作物的总产量∶种植乙种作物的总产量＝3∶4.
问题5：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.此时设AE＝x m，BE＝y m，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝200，,（100xa）∶（100y×2a）＝3∶4))．
问题6：利用方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝200，,（100xa）∶（100y×2a）＝3∶4，))能求出x，y的值吗？
可解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝120，,y＝80.))
问题7：如何表述你的种植方案？
过长方形土地的长边上离一端约120 m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大的一块土地种甲种作物，较小的一块土地种乙种作物．
问题8：还有其他设计方案吗？
如图，一种种植方案为甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形DEFC和EABF.此时设DE＝x m，AE＝y m，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝100，,200x∶（2×200y）＝3∶4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝60，,y＝40.))
若把长方形纸片折成面积之比为1∶2的两个小长方形，又有哪些折法？
如图所示．
师生比较列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题有哪些相同点和不同点？
①能列二元一次方程组解决的实际问题，一般都可以通过列一元一次方程加以解决．但是，随着实际问题中未知量的增多和数量关系的复杂，列方程组将更加简单、直接，因为问题有几个相等关系就可以列出几个方程．
②两者相同点是都需要先分析题意，把实际问题转化为数学问题(设未知数，列方程或方程组)，再检验解的合理性，进而得到实际问题的解，这一过程就是建模的过程.
1.一步步引导学生学习分析问题，解决问题的方法.
2.通过问题串的形式指导学生分析题目，确定未知数及相等关系的大致思路.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 如图1，将边长为x cm的大正方形剪去一个边长为y cm的小正方形，剩余部分的面积为21 cm2，并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图2所示的形状，即宽为3 cm的长方形，请你求出大正方形和小正方形的边长．
解：依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝3，,3（x＋y）＝21，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2.))
答：大正方形的边长为5 cm，小正方形的边长为2 cm.
例2 在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形，其中AB＝5 cm，BC＝7 cm.
(1)求小长方形的长和宽；
(2)求阴影部分图形的总面积．
解：(1)设小长方形的长为x cm，宽为y cm，依题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y＝7，,x＋y＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1.))
答：小长方形的长为4 cm，宽为1 cm.
(2)7×5－5×4×1＝15(cm2)．
答：阴影部分图形的总面积为15 cm2.
【变式训练】
1．一个长方形的长减少5 cm，宽增加2 cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，这个长方形的长、宽各是多少？
解：设这个长方形的长为x cm，宽为y cm，由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－5＝y＋2，,2（x－5）＝5y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(25,3)，,y＝\f(4,3).))
答：这个长方形的长为eq \f(25,3) cm，宽为eq \f(4,3) cm.
2．某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6米的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区(如图1)，要求两个大棚之间有间隔4米的路，设计方案如图2，已知每个大棚的周长为44米．
(1)求每个大棚的长和宽各是多少？
(2)现有两种大棚造价的方案，方案一是每平方米60元，超过100平方米优惠500元，方案二是每平方米70元，超过100平方米优惠总价的20%，试问选择哪种方案更优惠？
解：(1)设大棚的宽为a米，长为b米，根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝22，,2a＋4－b＝6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝8，,b＝14.))
答：大棚的宽为8米，长为14米．
(2)大棚的面积为2×14×8＝224(平方米)，
若按照方案一计算，大棚的造价为224×60－500＝12 940(元)，
若按照方案二计算，大棚的造价为224×70×(1－20%)＝12 544(元)．
因为12 544<12 940，所以选择方案二更好．
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.
进一步训练学生利用二元一次方程组解决实际问题的能力.
活动四：
课堂检测
【课堂检测】
1.一个长方形的周长为36厘米，若长减少4厘米，宽增加2厘米，长方形就变成正方形，求正方形的边长．
解：设长方形的长为x厘米，宽为y厘米，由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝\f(1,2)×36，,x－4＝y＋2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝6.))
则x－4＝12－4＝8.
答：正方形的边长为8厘米．
2．在长为10 m，宽为8 m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其示意图如图所示．则小长方形花圃的长和宽分别是多少？
解：设小长方形花圃的长为x m，小长方形花圃的宽为y m，根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝10，,x＋2y＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝2.))
答：小长方形花圃的长为4 m，小长方形花圃的宽为2 m.
师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
通过设置课堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)用二元一次方程组解决实际问题的步骤是怎样的？
(2)如何快速准确寻找题目中的等量关系？
2．布置作业：
教材第102页习题8.3第7题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
教学反思
反思，更进一步提升.
类别
成本价/(元·箱－1)
销售价/(元·箱－1)
矿泉水
25
35
无糖茶
35
48
课题
8.3 第3课时 市场经济问题与行程问题
授课人
素养目标
1.会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组．
2．进一步经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
3．培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值.
教学重点
用列表的方式分析题目中各个量的关系.
教学难点
借助列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系.
授课类型
新授课
课时
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
填一填：
(1)某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20%，则今年的总产值是(1＋20%)x万元；
(2)若该厂去年的总支出是y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是(1－10%)y万元；
(3)若该厂今年的利润为780万元，那么由(1)(2)问可得方程(1＋20%)x－(1－10%)y＝780.
通过回顾收入、支出、利润三者之间的关系，为新课的学习做好铺垫，同时调动课堂气氛.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
利用二元一次方程组解决实际问题
教师利用课件展示：
如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
学生自主探索、合作交流．
问题1：如何设未知数？
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重x t，原料重y t.
问题2：本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？
一类是公路运费和铁路运费；另一类是产品数量和原料数量.
问题3：如何确定题中的数量关系？
设产品重x t，原料重y t．根据题中数量关系填写下表．
产品x t
原料y t
合计
公路运费/元
1.5×20x
1.5×10y
1.5(20x＋10y)
铁路运费/元
1.2×110x
1.2×120y
1.2(110x＋120y)
价值/元
8 000x
1 000y
问题4：通过上面的表格你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1.5（20x＋10y）＝15 000，,1.2（110x＋120y）＝97 200.))
先化简，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝1 000，,11x＋12y＝8 100.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝300，,y＝400.))
销售款－原料费－运输费＝8 000×300－1 000×400－(15 000＋97 200)＝1 887 800(元).
所以这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元.
问题5：本题采用了设间接未知数的方法解决问题，思考下面的问题：
(1)在什么情况下考虑选择设间接未知数？
当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数.
(2)如何更好地分析这种数量关系比较复杂的实际问题？
师生活动：学生讨论、分析，教师加以引导，对学生给出的答案给予鼓励和指正.
1.通过让学生自学教材，培养学生的自学能力和探究能力．
2．读懂表格含义，锻炼学生的语言组织表达能力．
3．通过讨论让学生认识到合理设定未知数的意义．借助表格辅助分析题中较复杂的数量关系，不失为一种好方法.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例 李师傅从杭州驾车到椒江办事，汽车在高速路段平均油耗为0.06 L/km，在非高速路段平均油耗为0.075 L/km，从杭州到椒江的总油耗为16.5 L，总路程为270 km.
(1)求此次杭州到椒江高速路段的路程；
(2)若汽油价格为8元/L，高速路段过路费为0.45元/km，求此次杭州到椒江的单程交通费用(交通费用＝油费＋过路费).
【分析】(1)设此次杭州到椒江高速路段的路程为x km，非高速路段的路程为y km，由从杭州到椒江的总油耗为16.5 L，总路程为270 km列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)求出此次杭州到椒江的单程油费和过路费，即可解决问题.
解：(1)设此次杭州到椒江高速路段的路程为x km，非高速路段的路程为y km，由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝270，,0.06x＋0.075y＝16.5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝250，,y＝20.))
答：此次杭州到椒江高速路段的路程为250 km.
(2)此次杭州到椒江的单程油费为8×16.5＝132(元)，
此次杭州到椒江的单程过路费为0.45×250＝112.5(元)，
∴此次杭州到椒江的单程交通费用为132＋112.5＝244.5(元).
答：此次杭州到椒江的单程交通费用为244.5元.
【变式训练】
小林在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表：
购买商品A的
数量/个
购买商品B的
数量/个
购买总费用/元
第一次购物
6
5
1 140
第二次购物
3
7
1 110
第三次购物
9
8
1 062
(1)小明以折扣价购买商品是第三次购物；
(2)求商品A，B的标价；
(3)若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
解：(2)设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元．根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6x＋5y＝1 140，,3x＋7y＝1 110，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝90，,y＝120.))
答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元.
(3)设商店是打m折出售这两种商品，由题意，得
(9×90＋8×120)×eq \f(m,10)＝1 062，解得m＝6.
答：商店是打六折出售这两种商品的.
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.
1.帮助学生进一步掌握利用二元一次方程组解决实际问题的方法. 2.变式训练可拓宽学生的视野，促进学生能够运用二元一次方程组在新情景下解决具体问题.
活动四：
课堂检测
【课堂检测】
1.某商店购进A，B两种商品共50件，已知这两种商品的进货单价与销售单价如下表所示，且将这两种商品销售完毕共可获利660元．设商店购进A种商品x件，购进B种商品y件，则根据题意可列方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝50,（40－30）x＋（55－40）y＝660)).
商品类别
进货单价/元
销售单价/元
A
30
40
B
40
55
2.某种电器产品，每件若以原定价的八折销售，可获利120元；若以原定价的六折销售，则亏损20元，该种商品每件的进价为440元.
3.从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3 km，平路每小时走4 km，下坡路每小时走5 km，那么从甲地到乙地需40 min，从乙地到甲地需30 min，甲地到乙地的全程是多少？
解：设从甲地到乙地的上坡路有x km，平路有y km，根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(y,4)＝\f(40,60)，,\f(y,4)＋\f(x,5)＝\f(30,60)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,4)，,y＝1，))
∴x＋y＝eq \f(5,4)＋1＝eq \f(9,4).
答：甲地到乙地的全程是eq \f(9,4) km.
4.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．
(1)求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
(2)若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5 300名学生就餐？请说明理由．
解：(1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名，y名学生就餐，根据题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝1 680，,2x＋y＝2 280.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝960，,y＝360.))
答∶1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名，360名学生就餐．
(2)能．理由：因为5×960＋2×360＝5 520>5 300.
所以，若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5 300名学生就餐．
师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
在练习设计上，遵循由浅入深、循序渐进的原则，让学生带着问题走出课堂，走向生活，使不同的人在数学上得到不同的发展，使学生发现问题、解决问题的能力得到进一步提升.
课堂小结
1.课堂小结：
在用二元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？
2．布置作业：
教材第101～102页习题8.3第2，3，6，8题.
课堂小结是知识沉淀的过程，学生由此对本节课所学内容进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈、自主发展的意识.
教学反思
反思，更进一步提升.
课题
*8.4 三元一次方程组的解法
授课人
素养目标
1.了解三元一次方程和三元一次方程组．
2．会解简单的三元一次方程组．
3．掌握解三元一次方程组过程中化“三元”为“二元”和“一元”的化归思想．
4．应用三元一次方程组解决简单的实际问题．
5．通过三元一次方程组的解法练习，培养分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法和消元对象．培养计算能力，训练解题技巧.
教学重点
会解简单的三元一次方程组，进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思路，灵活运用代入法，加减法等重要方法.
教学难点
根据方程组的特点，选择最合适的解法.
授课类型
新授课
课时
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
问题1：什么叫二元一次方程和二元一次方程组？
问题2：解二元一次方程组的基本思路是什么？
问题3：求解二元一次方程组有哪些方法？主要步骤有哪些？
通过回顾复习二元一次方程组相关知识，为三元一次方程组的学习做好准备.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数．
解法1：我们设甲数为x，则乙数为(x－1)，丙数为(2x＋x－1－20)，可列一元一次方程x＋(x－1)＋(2x＋x－1－20)＝23，解这个一元一次方程得x＝9，所以甲数为9，乙数为8，丙数为6.
解法2：我们设甲数为x，乙数为y，则丙数为2x＋y－20，可列二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝y＋1，,x＋y＋2x＋y－20＝23.))解这个二元一次方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝8.))所以甲数为9，乙数为8，丙数为6.
1.分别用一元一次方程和二元一次方程组解决问题，让学生比较其不同，为下面三元一次方程组解法作铺垫．
2．通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．三元一次方程(组)有关概念
上例中，我们还有其他方法吗？
如果设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝23，①,x－y＝1，②,2x＋y－z＝20.③))
师：这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
生：①未知数的个数和方程都比二元一次方程组多一个；②未知数次数都是一次.
引出三元一次方程组的概念：
在这个方程组中，x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．
关注概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系．
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解．
2．三元一次方程组的解法
如果能解出这个方程组就好了．
引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元，以及消元的基本方法(代入消元、加减消元)，尝试对eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝23，①,x－y＝1，②,2x＋y－z＝20.③))进行消元，从而解决问题．
解：由方程②，得x＝y＋1.④
把④分别代入①③，得
2y＋z＝22，⑤
3y－z＝18.⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝8，,z＝6.))
把y＝8代入④，得x＝9.
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝8，,z＝6.))
解上面的方程组时，你能先消去未知数y(或z)，从而得到方程组的解吗？
(1)用代入消元法：由于方程组②式的特点，可将②式化为y＝x－1分别代入①③式，消去y，从而转化为关于x，z的二元一次方程组；
(2)用加减消元法：由于②式中没有含z，可以将①③两式联立相加，消掉z，从而得到关于x，y的二元一次方程组．
议一议：
上述不同的解法有什么共同之处？与二元一次方程组的解法有什么联系？解三元一次方程组的思路是什么？
解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”，再化为“一元”．
即eq \x(三元一次方程组)eq \(――→,\s\up7(消元))eq \x(二元一次方程组)eq \(――→,\s\up7(消元))eq \x(一元一次方程)
归纳总结：
解三元一次方程组的一般步骤：
(1)观察方程组的系数特点，确定先消哪个未知数．
(2)消元，得到一个二元一次方程组．
(3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值．
(4)求出第三个未知数的值，写出方程组的解.
1.结合实例，用类比法学习三元一次方程组的有关概念，由于内容比较容易理解，以谈话的方式解决即可.
2.类比二元一次方程组的解法，师生共同分析，得到三元一次方程组的解法，由学生独立尝试写出解答过程，结合板演规范并梳理解题步骤，让学生明确解三元一次方程组的基本思想是“消元”．
3．体会三元一次方程组的不同解法之间的异同，增强思维的灵活性.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例 解三元一次方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝4，①,x－y＋z＝8，②,4x＋2y＋z＝17.③))
解：②－①，得－2y＝4，
解得y＝－2.
把y＝－2代入①，得x－2＋z＝4，
即x＋z＝6.④
把y＝－2代入③，得4x－4＋z＝17，
即4x＋z＝21.⑤
由④和⑤组成一个二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋z＝6，,4x＋z＝21，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,z＝1.))
所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝－2，,z＝1.))
【变式训练】
中超联赛中A，B，C，D，E五支球队的积分和胜负情况如下表：
队名
比赛场次
胜场
平场
负场
积分
A
16
8
4
4
28
B
16
0
16
0
16
C
16
0
12
4
12
D
16
2
8
6
a
E
16
b
8
2
c
从中可知a＝14，b＝6，c＝26.
提示：间接设胜一场得x分，平一场得y分，负一场得z分，列方程组解题即可.
师生活动：学生独立思考，教师适当引导设未知数.
进一步巩固新知，举一反三，灵活选择简便的方法进行消元，熟练解题.
活动四：
课堂检测
【课堂检测】
1.解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＋2z＝3，,2x＋y－4z＝11，,7x＋y－5z＝1，))若要使运算简便，消元的方法应选取(B)
A.先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对
2.下列四组数值中，为方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＋z＝0，,2x－y－z＝1，,3x－y－z＝2))的解的是(D)
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝1,z＝－2)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝0,z＝1)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝－1,z＝0)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝－2,z＝3))
3.解下列方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝11，,y＋z－x＝5，,z＋x－y＝1；)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝12，,x＋2y＋5z＝22，,x＝4y；))
(3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋z＝6，,x－y＋2z＝－1，,x＋2y－z＝5；)) (4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,7)＝\f(y,10)＝\f(z,5)，,3x＋5y＝71.))
解：(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝5，,z＝3.)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝2，,z＝2.)) (3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，,z＝－1.)) (4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝10，,z＝5.))
4．某单位职工在植树节当天去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组和的eq \f(1,4)，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？
解：设甲组植树x株，乙组植树y株，丙组植树z株．由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝50，,y＝\f(1,4)（x＋z），,x＝y＋z.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝25，,y＝10，,z＝15.))
答：甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株．
师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解课堂学习效果的目的.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法；
(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说．
2．布置作业：
教材第106页习题8.4第1，2，3题.
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
教学反思
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.