高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图练习，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱上的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则在侧视图中对应的点为（ ）
A．点B．点C．点D．点
2．某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（ ）
A．五棱锥B．三棱柱C．三棱台D．四棱台
3．如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（ ）
A．14B．10C．28D．14
4．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ）
A．4B．3C．2D．2
5．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（ ）
A．B．2C．D．3
6．棱台不具备的特点是（ ）
A．两底面相似B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等D．侧棱延长后都交于一点
7．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（ ）
A．B．C．D．
8．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）
A．B．2C．D．
9．如图，已知等腰三角形，则在如图所示的四个图中，可能是的直观图的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
10．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．1
11．球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正的项点都在半径为的球面上，球心到所在平面距离为，则、两点间的球面距离为（ ）
A．B．C．D．
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图，已知，，平行四边形的面积为，则原平面图形中的长度为___________.
14．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________．
15．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
16．在直观图中，四边形为菱形且边长为2cm，则在坐标系xOy中，原四边形OABC的面积为______．
三、解答题
17．如图所示，三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积分别为，的两部分，那么等于多少?
18．用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形（如图）的直观图.
19．画底面边长为2cm，高为3cm的正四棱柱的直观图．
20．画出一个上､下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.
21．在水平放置的平面上，画一个边长为4cm的正三角形的直观图．
参考答案：
1．C
根据三视图作出几何体的直观图，标出点的位置，由此可得出结论.
【详解】
根据三视图可知，该几何体的直观图如图所示，由图可知，在侧视图中对应的点为点，
故选：C．
2．D
根据几何体的结构判断．
【详解】
四棱台有8个顶点，不符合题意.，其他都是6个顶点．
故选：D．
3．C
根据斜二测画法的定义，还原该四边形得到梯形，根据梯形的面积公式即可计算求解.
【详解】
∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，
∴原图形是一个直角梯形．
又A′D′＝4，
∴原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，
故其面积为.
故选：C
4．D
根据圆台底面半径，母线，高之间的关系l2＝h2＋(R－r)2求解.
【详解】
设圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R，
因为上、下底面面积分别为36π和49π，
所以
因为l2＝h2＋(R－r)2，
所以，解得h＝2，即两底面之间的距离为2.
故选：D
5．D
根据斜二测画法的规则确定原图形形状，结构得出面积．
【详解】
由三视图知原几何图形是直角梯形，如图，
，
面积为．
故选：D．
6．C
根据棱台的定义结构特征求解.
【详解】
根据棱台的定义知，棱台底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点，
但是侧棱长不一定相等，
故选：C
7．B
根据斜二测画法原则，由直观图判断原图中的长度，再利用勾股定理计算.
【详解】
在直观图中，，，
由斜二侧画法知，在中，，，且；
所以．
故选：B.
8．B
可得原几何体如图所示正三棱锥，取中点，连接，设底面边长为，表示出，，即可求出，进而求出腰长.
【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥，
取中点，连接，则底面中心在上，连接，可得平面，
由三视图可知，，
设底面边长为，则，则，
则在等腰直角三角形中，，
是底面中心，则，
则，解得，
则，底面边长为，
则正视图（等腰三角形）的腰长为.
故选：B.
本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.
9．D
根据直观图的定义画法即可求解．
【详解】
根据坐标轴夹角为或，等腰三角形的直观图如图所示：
只有③④符合
故选：D
10．A
如图截面为，P为MN的中点，设，，进而可得面积最大值.
【详解】
如图所示，截面为，P为MN的中点，设
,
当时，，此时截面面积最大.
故选：A
易错点睛：先求出面积的函数表达式进而判断最大值，本题容易误认为垂直于底面的截面面积最大.
11．C
设球心为点，计算出，利用扇形弧长公式可求得结果.
【详解】
设球心为点，平面截球所得截面圆的半径为，
由正弦定理可得，，
又，所以，为等边三角形，则，
因此，、两点间的球面距离为.
故选：C.
思路点睛：求球面距离，关键就是要求出球面上两点与球心所形成的角，结合扇形的弧长公式求解，同时在计算球的截面圆半径时，利用公式（其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面的距离）来计算.
12．D
先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】
解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．
解法二:
设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，，故选D.
本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
13．
由题设可求，结合斜二测画法横等纵半，即可知原平面图形中的长度.
【详解】
由题设知：，
由斜二测画法：、长度不变，而为的2倍，
∴
故答案为：.
14．
根据斜二测画法的规则得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结果.
【详解】
根据斜二测画法的规则可知，，，，
所以，
所以的周长为.
故答案为：.
关键点点睛：掌握斜二测画法的规则是解题关键.
15．.
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．
【详解】
由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为．
本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.
16．8
由直观图判断出原四边形为矩形，再由菱形边长求得矩形的长和宽，求面积即可.
【详解】
由直观图可知，原四边形为矩形，作出其图形如图所示，易知，
故矩形面积.
故答案为：.
17．
如图，分别延长到，到，到，且，，，根据体积的大小关系得到答案.
【详解】
如图，分别延长到，到，到，且，，，连接，，，则得到三棱柱，且.
延长，，则与相交于点.
因为，所以.
连接，，则，所以，故
本题考查了组合体的体积比，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
18．画法见解析.
直接用斜二测画法画出正三角形的直观图.
【详解】
（1）如图，设为的中点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建设如图，
画相应的轴，两轴交于点，使.
（2）取，在轴上取，使.
（3）连接，去除辅助线，得到正三角形的直观图三角形.

本题考查了斜二测画法画平面图形的直观图，属于基础题.
19．见详解.
用斜二测法画直观图即可.
【详解】
20．见解析
建立空间直角坐标系,再根据斜二测画法的方法先后画出下上底面即可.
【详解】
①建立空间直角坐标系,画x轴､y轴､z轴相交于点O.使x轴与y轴的夹角为45°，y轴与z轴的夹角为90°，
②底面在y轴上取线段取，且以为中点，作平行于x轴的线段,使,在y轴上取线段,使.连接,则为正三棱台的下底面的直观图.
③画上底面在z轴上取,使,过点作,,建立坐标系.在中,类似步骤②的画法得上底面的直观图.
④连线成图连接,,,去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台即为要求画的正三棱台的直观图.

本题主要考查了立体图形的直观图画法,属于中等题型.
21．见解析
按照直观图的画法画出正三角形的直观图即可.
【详解】
如图，在已知的正三角形中，取所在直线为轴，取高线所在直线为轴，画对应的轴、轴，使；
在轴上取，在轴上取，连接，所得三角形即为正三角形的直观图．