高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图优秀综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图优秀综合训练题，共6页。

1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A．90°，90° B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
解析：选D 根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.故选D.
2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
解析：选A 平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选A.
3．如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
解析：选D 原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别在∠x′O′y′成45°和135°的坐标系中的直观图．故选D.
4.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的形状是( )
解析：选A 根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，故选A.
5．如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
解析：选C 因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD.故选C.
6.如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
解析：画出直观图，
BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．
解析：在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3eq \r(2)，所以原平面图形为一边长为6，高为6eq \r(2)的平行四边形，所以其面积为6×6eq \r(2)＝36eq \r(2).
答案：36eq \r(2)
8.在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
答案：矩形 8
9.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示．
(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝eq \f(1,2)OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝eq \f(1,2)EC.
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
10．用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图．
解：画法：(1)画轴．如图，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝eq \f(3,2) cm.
分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．
B级——面向全国卷高考高分练
1．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
解析：选C 如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．故选C.
2．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq \r(2) cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为( )
A．4 cm2 B．4eq \r(2) cm2
C．8 cm2 D．8eq \r(2) cm2
解析：选C 依题意，可知∠BAD＝45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上、下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD的高的2eq \r(2)倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.故选C.
3．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行线段长度不变，仍为5 cm.故选D.
4．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
A.eq \f(\r(73),2) B.eq \r(73)
C．5 D.eq \f(5,2)
解析：选A 由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝eq \r(73)，AB边上的中线长度为eq \f(\r(73),2).故选A.
5．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________ cm2.
解析：该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝eq \f(\r(2),4)S＝5eq \r(2)(cm2)．
答案：5eq \r(2)
6.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．
解析：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2eq \r(2)S直观图，得eq \f(1,2)OB×h＝2eq \r(2)×eq \f(1,2)×A′O′×O′B′，则h＝4eq \r(2).故△AOB的边OB上的高为4eq \r(2).
答案：4eq \r(2)
7.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．
解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示，
在直观图中，O′D′＝eq \f(1,2)OD，梯形的高D′E′＝eq \f(\r(2),4)，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝eq \f(1,2)×(1＋2)×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(3\r(2),8).
C级——拓展探索性题目应用练
如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．
解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．