高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念课时作业，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（共8题）
在复平面内，复数 12+32i 对应的点为 Z，将点 Z 绕原点逆时针旋转 90∘ 后得到点 Zʹ，则 Zʹ 对应的复数是
A． −12+32i B． 12−32i C． −32+12i D． 32−12i
设复数 z=a+bi（其中 a,b∈R，i 为虚数单位），则“a=0”是“z 为纯虚数”的 条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
在复平面内，复数 z=sinθ+icsθ 对应的点位于第二象限，则角 θ 的终边在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
设 A，B 为锐角三角形的两个内角，则复数 z=csB−tanA+itanB 对应的点位于复平面的
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
已知复数 z 满足 ∣z∣2−3∣z∣+2=0，则复数 z 对应点的轨迹是
A．一个圆B．两个圆C．两点D．线段
向量 OZ1 对应的复数是 5−4i，向量 OZ2 对应的复数是 −5+4i，则 OZ1+OZ2 对应的复数是
A． −10+8i B． 10−8i C． 0 D． 10+8i
已知复数 z1=2+i，z2=−i，则 ∣z1∣∣z2∣ 等于
A． 55 B． 15 C． 5 D． 5
在复平面内，复数 z 对应的点 Z 如图所示，则复数 z=
A． 2+i B． 2−i C． 1+2i D． 1−2i
二、填空题（共4题）
若 z∈C 且 ∣z−3i∣=1，则 ∣z−2+2i∣ 的最小值是 ．
在复平面内，点 A−2,1 对应的复数 z，则 ∣z+1∣= ．
已知复数 z1，z2 满足 z1≤1，−1≤Rez2≤1，−1≤Imz2≤1．若 z=z1+z1，则 z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为 ．
已知 z∈C，若 z=2，则 z+1+3i 的最大值为 ．
三、解答题（共4题）
已知复数 z=a−ia∈R，且 z1+i 是纯虚数．
(1) 求复数 z 及 ∣z∣；
(2) 在复平面内，若复数 z−mi2m∈R 对应点在第二象限，求实数 m 的取值范围．
已知复数 α=2−i，β=m−i，m∈R．
(1) 若 ∣α+β∣<2∣α∣，求实数 m 的取值范围；
(2) 若 β 是关于 x 的方程 2x2−nx+20=0n∈R 的一个根，求 m 与 n 的值．
已知 a,b∈R，i 是虚数单位，z1=a−i，z2=2+bi 在复平面上对应的点分别 A，B．
(1) 若 z12+z22 是实数，求 AB 的最小值；
(2) 设 O 为坐标原点，记 OC=OA+OB，若 OA⊥OB，且点 C 在 y 轴上，求 OA 与 OB 的夹角．
已知复数 z1=a+2+a2−3i，z2=2−3a+1i（a∈R，i 为虚数单位）．
(1) 若复数 z1−z2 在复平面上对应点落在第一象限，求实数 a 的取值范围；
(2) 若虚数 z1 是实系数一元二次方程 x2−6x+m=0 的根，求实数 m 的值．
答案
一、选择题（共8题）
1. 【答案】C
2. 【答案】B
3. 【答案】D
4. 【答案】B
【解析】因为 A，B 为锐角三角形的两个内角，
所以 A+B>π2，即 A>π2−B，sinA>csB，csB−tanA=csB−sinAcsA又 tanB>0，
所以点 csB−tanA,tanB 在第二象限．
5. 【答案】B
【解析】由 ∣z∣2−3∣z∣+2=0，得 ∣z∣−1⋅∣z∣−2=0，
所以 ∣z∣=1 或 ∣z∣=2，
由复数模的几何意义知，z 对应点的轨迹是两个圆．
6. 【答案】C
【解析】由复数的几何意义，可得 OZ1=5,−4，OZ2=−5,4，
所以 OZ1+OZ2=5,−4+−5,4=0,0，
所以 OZ1+OZ2 对应的复数为 0．
7. 【答案】C
【解析】依题意 ∣z1∣=22+12=5，∣z2∣=−12=1，
所以 ∣z1∣∣z2∣=5．
8. 【答案】B
【解析】由图可知，点 Z 对应的复数 z=2+i，则 z=2−i．
二、填空题（共4题）
9. 【答案】 5−1
10. 【答案】 2
11. 【答案】 12+π
12. 【答案】 4
【解析】设 z=x+yi，则由 z=2，知 x2+y2=4，
所以 x,y 在以 C0,0 为圆心，2 为半径的圆上．
因为 z+1+3i=x+12+y+32，其表示点 −1,−3 与 x,y 之间的距离，
又点 −1,−3 在圆 x2+y2=4 上，故 z+1+3i 的最大值为圆的直径 4．
三、解答题（共4题）
13. 【答案】
(1) 因为 z=a−ia∈R，且 z1+i 是纯虚数，
所以 a−i1+i=a+1+a−1i 是纯虚数，
则 a+1=0,a−1≠0,
即 a=−1．
所以 z=−1+i，∣z∣=−12+−12=2．
(2) z−mi2=−1−m+1i2=1−m+12+2m+1i，
由题意可得 1−m+12<0,2m+1>0,
解得 m>0．
所以实数 m 的取值范围是 0,+∞．
14. 【答案】
(1) m+22+4<25，m∈−6,2．
(2) 方程得两根为 β，β，由韦达定理得 2m=n2,m2+1=10, 解得 m=3,n=12 或 m=−3,n=−12.
15. 【答案】
(1) 455．
(2) π−arccs55．
16. 【答案】
(1) z1−z2=a+2+a2−3i−2+3a+1i=a+a2−3a−4i，
因为 z1−z2 在复平面内对应的点落在第一象限，
所以 a>0,a2−3a−4>0,
解得：a>4，
所以实数 a 的取值范围是 4,+∞．
(2) 因为虚数 z1=a+2+a2−3i 是实系数一元二次方程 x2−6x+m=0 的根，a2−3≠0，
所以 z1=a+2−a2−3i 也是实系数一元二次方程 x2−6x+m=0 的根，
Δ=36−4m<0,z1+z1=2a+2=6,z1⋅z1=∣z1∣2=a+22+a2−32=m⇒m>9,a=1,m=9+1−32=13.