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苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形课堂教学课件ppt
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这是一份苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形课堂教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了平行四边形，公共边，多边形，有一个公共顶点，截面和底面，一些平面多边形，一直角边，垂直于底边的腰，它的直径，平面曲线等内容，欢迎下载使用。
13.1.1 棱柱、棱锥和棱台
1.我们生活中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗?2.观察下列几何体，它们有什么共同特点?
3.上述几何体分别由怎样的平面图形，按什么方向平移而得?
1.棱柱的相关概念及特点(1)棱柱的相关概念一般地，由一个平面多边形沿某一方向_______形成的空间图形叫作棱柱。
平移起止位置的两个面叫作棱柱的_____，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的_____,相邻侧面的公共边叫作_____
(2)棱柱的特点棱柱的两个底面是______的多边形,且对应边互相平行.侧面都是__________
2.棱锥的概念及特点当棱柱的一个收缩为一个点，得到的空间图形叫作棱锥
顶点:由棱柱的一个底面________而成的点;侧棱:相邻侧面的__________底面:棱柱的未收缩为一个点的________;(2)棱锥的特点棱锥的底面是_______,侧面是______________的三角形.
3.棱台的概念及特点用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,____________之间的部分称之为棱台.侧棱: 相邻侧面的公共边.
(2)棱台的特点棱台的两个底面是__________的多边形，侧面都是______，侧棱延长后都______于一点.
4.多面体的概念棱柱、棱锥和棱台都是由___________________围成的空间图形.由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体。
1.思考辨析(正确的画“√”错误的画“×”）(1)棱柱的侧面是平行四边形 （ ）(2)棱台的侧棱延长后不一定交于一点 （ ）(3)棱台的侧面是梯形. （ ）(4)面数最少的多面体是四面体 （ ）
2.(一题多空)如图所示的空间图形中，__________是棱柱, _________是棱锥，_________是棱台。
由棱柱、棱锥和棱台的定义知，①③④符合棱柱的定义，⑥符合棱锥的定义，②一个三棱柱被截去了一段，⑤符合棱台的定义，故①③④是棱柱， ⑥是棱锥， ⑤是棱台
3.下列叙述是棱台性质的是(填所有正确的序号)_______①两底面相似②侧面都是梯形③侧棱都平行④侧棱延长后交于一点
4.三棱锥是__________面体。因为三棱锥有四个面，故三棱锥是四面体
棱柱、棱锥和棱台的概念
[例1](1)下列命题中，正确的是①五棱柱中五条侧棱长度相同②三棱柱中底面三条边长度都相同;③三棱锥的四个面可以都是钝角三角形:④棱台的上底面的面积与下底面的面积之比一定小于 1.
[(1)由棱柱的特点知命题①正确；三棱柱的底面不一定为等边三角形，所以命题②不正确；如图所示，取以点O为端点的三条线段OA，OB，OC，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝100°，且OA＝OB＝ OC，这时△AOB，△BOC，△COA都是钝角三角形，
只有△ABC为等边三角形，可让点C沿OC无限靠近点O，则∠ACB就可趋近于100°，所以每个面都可以是钝角三角形，故命题③正确；由棱台的定义知，棱台是由棱锥截得的，截面是棱台的上底面，故上底面的面积一定小于下底面的面积，所以命题④正确．
(2)下列说法正确的是________①棱锥的侧面不一定是三角形:②棱锥的各侧棱长一定相等;③棱台的各侧棱的延长线交于一点.
(2)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等故①②不正确:棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，③正确
3)下列三个命题，其中不正确的是_________①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台必须用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确。②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定②正确
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，③不正确。
对于判定关于棱柱、棱锥、棱台的命题真假的问题，求解的关键是抓住棱柱、棱锥、棱台的概念与特征.除此之外，还可以利用举例或找反例的方法来判断。
1.给出下列几个命题:①棱柱的侧面不可能是三角形②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点③多面体至少有 4 个面④将一个正方形沿不同方向平移得到的空间图形都是正方体其中真命题是__________
①②均为真命题:对于③，一个图形要成为空间空间图形，则它至少需有 4 个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有 4个顶点时，可围成4 个面，所以一个多面体至少应有 4 个面，而且这样的面必是三角形，故③也是真命题:对于④，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的空间图形才是正方体，故④不正确。故填①②③
简单多面体的结构特点及截面
[例2]如图，四边形AABB 为边长为3 的正方形，CC1=2,CC1∥AA1;CC1∥BB1，请你判断这个空间图形是棱柱吗?若是棱柱指出是几棱柱.
若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为 2的三棱柱，并指出截去的空间图形的特征，在立体图中画出截面
(1)因为这个空间图形的所有面中没有两个互相平行的面所以这个空间图形不是棱柱.
(2)在四边形ABB1A1中，在AA1 上取E 点，使AE=2;在BB1上取F点，使BF=2，连接 C1E，EF，C1F。则过 C1，E，F的截面将空间图形分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2;截去部分是一个四棱锥 C1-EA1B1F
认识一个空间图形，需要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些空间图形组成的组合体，并能用平面分割开.
2.如图所示，已知长方体ABCD-A1B1C1D1
(1)这个长方体是棱柱吗?如果是，是几棱柱?为什么?是棱柱，并且是四棱柱。因为它可以看成由四边形ADD1A1沿AB方向平移至四边形BC1CB1形成的空间图形，符合棱柱的定义.
(2)用平面 BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成的空间图形是棱柱吗?如果是，是几棱柱?并指出底面，如果不是，请说明理由
(2)截面 BCFE右边的部分是主棱柱 BEB-CFC，其中ABEB与ACFC是底面截面BCFE 左边的部分是四棱柱ABEA1-DCFD1，其中四边形ABEA和四边形DCFD是底面。
多面体及多面体的表面展开
1.观察下面四个空间图形，这些空间图形都是多面体吗?怎样定义多面体?
2.多面体哪些性质可以作为它的特征性质?多面体的每一个面都是多边形
3.根据图(1)(2)所给的空间图形的表面展开图，画出立体图形
将各平面图折起来的空间图形如图所示
[例3]画出如图所示的空间图形的表面展开图
多面体表面展开图问题的解题策略(1)绘制展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型。在解题过程中常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图。
(2)已知展开图:若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪个多面体展开的，则可把上述过程逆推。同一个空间图形的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图。
3.给出如图所示的正三角形纸片，要求剪拼成一个正三棱柱模型，使它的表面积与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标在图中，并写出简要说明。
1.本节课的重点是理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，难点是在描述和判断空间图形结构特征的过程中培养观察能力和空间想象能力.
2。本节课要重点掌握的规律方法(1)有关棱柱结构特征的解题策略(2)判断棱锥、棱台形状的方法(3)绘制展开图和由展开图还原空间图形的方法
3.本节课的易错点是理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系中出现偏差而致错
1.下列四个命题中正确的是( ）A.棱柱的底面一定是平行四边形B.棱锥的底面一定是三角形C.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
A 中棱柱的底面可以是任何平面多边形,B 中棱锥的底面可以是任何平面多边形，C中棱锥被经过顶点和底面的平面分成的两部分都是棱锥，D 中棱柱被平行于底面的平面分成两个棱柱.
2.(一题两空)棱柱的侧棱最少有________条，棱柱的侧棱长之间的大小关系是______
3.如图所示，不是正四面体的展开图的是_________.
可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体
4.画一个六面体:(1)使它是一个四棱柱。(2)使它由两个三棱锥组成。(3)使它是五棱锥.
13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
1.数学来源于生活，指出图中的空间图形是由哪些简单空间图形构成的?
2.仔细观察下面的空间图形，它们有什么共同特点或生成规律?
1.圆柱、圆锥和圆台的概念(1)圆柱、圆锥和圆台的定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、__________、 ________________所在的直线旋转一周，形成的空问图形分别叫作圆柱、圆锥、圆台
(2)与圆柱、圆锥、台有关的概念绕着旋转的这条直线叫作_______.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作______.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作______，无论旋转到什么位置，这条边都叫作______
2.球的定义及其有关的概念半圆绕着________所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球. ______围成的空间图形叫作球体，简称球，如图所示
思考:球和球面的区别?球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面及其围成的空间构成的空间图形，而球面只指球的表面部分.
1.思考辨析(正确的画“√”错误的画“×”(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥（ ）(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆（ ）(3)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个圆锥和个圆台. （ ）
[解析] (1)直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥．(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．(3)用一个平行于底面的平面去截圆锥得到一个圆锥与圆台．
2．如图将图ABCD所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图所示的空间图形的是哪一个图形( )
A B C D
3．下列说法中正确的是( )A．半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球B．空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面C．球面和球是同一个概念D．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的空间图形，叫球，A不正确；B正确；球面和球是两个不同的概念，C错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故D错误．
4．下列各命题：①圆锥的轴截面是等腰三角形，且只有一个；②球的任意截面都是圆面；③圆台所有母线的延长线交于一点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)
圆锥的轴截面是等腰三角形，但其轴截面有无数个，故①错误；由球的特征性质可知②正确；由圆台的特征性质可知③正确．
【例1】 下列说法：①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；②分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确说法的序号是________．[思路点拨] 要紧扣住圆柱、圆锥、圆台的形成过程进行判断．
①错误．若以直角梯形的不垂直于底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥和圆台的组合体．②正确．若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同．③错误．当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到．
简单组合体的结构特征
有关旋转体的计算问题
1．本节课的重点是了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征，难点是能根据结构特征识别和区分这些空间图形．
2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断旋转体结构特征的方法及旋转体轴截面的应用．(2)简单组合体的构成形式及识别方法．3．本节课的易错点是对概念理解不到位而致错．
1．下列命题中正确的是( )A．圆柱上底面圆上任一点与下底面上任一点的连线都是圆柱的母线B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的空间图形是圆台C．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形D．在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球
A错，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；B错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的空间图形是由一个圆柱与一个圆锥组成的空间图形；C正确；D错，点的集合应为球面．
2．下面空间图形的截面一定是圆面的是( )A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的空间图形只有球．
3．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.则此圆台还原成圆锥的母线长为______cm.圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底面半径O1A＝2(cm)，下底面半径OB＝5(cm)，又因为腰长为12 cm，
4．如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单空间图形组成的？(1) (2)
[解] 旋转后的图形草图分别如图①②所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的．
13.1.3 直观图的斜二测画法
在工程制图中，正投影被广泛应用于绘制三视图，但三视图的直观性较差．如何把立体图形画在纸上？思考 平面图形水平放置图应怎么画图，才能体现图形的立体感？
1．用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图的规则(1)画轴：在已知图形中取互相________的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成______于x′轴或y′轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度_____，平行于y轴的线段，长度为原来的____．
2．空间图形的直观图的斜二测画法规则(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝____，且∠yOz＝____.
(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于_____、_____或_____的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中______________；平行于y轴的线段，长度为__________．
思考：画平面图形直观图的关键和注意点是什么？提示：(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长度不变，垂线长度减半，直角画45°(或135°)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变．( )(2)原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的．( )
(3)画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°．( )(4)在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．( )
2．下列说法正确的是( )A．相等的角，在直观图中仍相等B．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等C．若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行D．若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直
C [由斜二测画法规则知，角度、长度都可能改变，平行性不变，所以A、B、D错误，C正确．]
3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________ cm.由空间直观图的画法知，在z轴上或平行于z轴的线段长度保持不变，所以两顶点间的距离为2 cm＋3 cm＝5 cm
由斜二测画法规则知，在直观图中，AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形．
画水平放置的平面图形的直观图
【例1】 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．
[解] 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点， 建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD．(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
1．画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)．
【例2】 有一个正三棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正三棱锥的直观图．[思路点拨] 根据斜二测画法，选择恰当的坐标系画出正三角形的直观图，进而确定出正三棱锥的顶点即可．
[解] (1)先画出水平放置的边长为3 cm的正三角形的直观图，如图(1)所示．
(2)过正三角形中心O′建立z′轴，画出正三棱锥顶点V′，使V′O′＝3 cm，连接V′A′，V′B′，V′C′，如图(2)所示．
(3)擦去辅助线，遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图(3)．
1．用斜二测画法作空间图形的直观图时，应建立适当的空间直角坐标系，常寻找原图中共点且互相垂直的三条直线为坐标轴，或利用图形的对称性建系．
2．在画棱柱、棱台的直观图时，可确定下底面的直观图，确定好高度后，把坐标系平移上来，再画上底面的直观图即可．3．z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．
2．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．[解] (1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面：在平面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长．(4)成图：顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图(2)所示．
将直观图还原为原平面图形
1．如图所示，一个平面图形的直观图为平行四边形，则四边形ABCD的实际形状是什么图形？
[提示] 矩形．因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．
2．如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，这个平面图形本身是等腰梯形吗？其面积是多少？
【例3】 如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，将其还原成平面图形．
[解] (1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，如图(1)所示．在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
(3)连接AB，BC，得△ABC．则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图(2)所示．
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长度的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
3．已知△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．
把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C，使OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．
1．本节课的重点是了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤，会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图，难点是用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．
2．本节课要重点掌握的规律方法(1)画平面图形直观图的方法步骤．(2)画简单空间图形直观图的方法步骤．(3)直观图与原图形之间的关系．
3．本节课的易错点是直观图、原空间图形形状之间的相互转换．
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点B [根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．]
A [根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A．]
[解] 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D′＝1，OC＝O′C′＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D′A′＝2.在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A′B′＝2.连接BC，即得到了原图形(如图)．
13.1.1 棱柱、棱锥和棱台
1.我们生活中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗?2.观察下列几何体，它们有什么共同特点?
3.上述几何体分别由怎样的平面图形，按什么方向平移而得?
1.棱柱的相关概念及特点(1)棱柱的相关概念一般地，由一个平面多边形沿某一方向_______形成的空间图形叫作棱柱。
平移起止位置的两个面叫作棱柱的_____，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的_____,相邻侧面的公共边叫作_____
(2)棱柱的特点棱柱的两个底面是______的多边形,且对应边互相平行.侧面都是__________
2.棱锥的概念及特点当棱柱的一个收缩为一个点，得到的空间图形叫作棱锥
顶点:由棱柱的一个底面________而成的点;侧棱:相邻侧面的__________底面:棱柱的未收缩为一个点的________;(2)棱锥的特点棱锥的底面是_______,侧面是______________的三角形.
3.棱台的概念及特点用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,____________之间的部分称之为棱台.侧棱: 相邻侧面的公共边.
(2)棱台的特点棱台的两个底面是__________的多边形，侧面都是______，侧棱延长后都______于一点.
4.多面体的概念棱柱、棱锥和棱台都是由___________________围成的空间图形.由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体。
1.思考辨析(正确的画“√”错误的画“×”）(1)棱柱的侧面是平行四边形 （ ）(2)棱台的侧棱延长后不一定交于一点 （ ）(3)棱台的侧面是梯形. （ ）(4)面数最少的多面体是四面体 （ ）
2.(一题多空)如图所示的空间图形中，__________是棱柱, _________是棱锥，_________是棱台。
由棱柱、棱锥和棱台的定义知，①③④符合棱柱的定义，⑥符合棱锥的定义，②一个三棱柱被截去了一段，⑤符合棱台的定义，故①③④是棱柱， ⑥是棱锥， ⑤是棱台
3.下列叙述是棱台性质的是(填所有正确的序号)_______①两底面相似②侧面都是梯形③侧棱都平行④侧棱延长后交于一点
4.三棱锥是__________面体。因为三棱锥有四个面，故三棱锥是四面体
棱柱、棱锥和棱台的概念
[例1](1)下列命题中，正确的是①五棱柱中五条侧棱长度相同②三棱柱中底面三条边长度都相同;③三棱锥的四个面可以都是钝角三角形:④棱台的上底面的面积与下底面的面积之比一定小于 1.
[(1)由棱柱的特点知命题①正确；三棱柱的底面不一定为等边三角形，所以命题②不正确；如图所示，取以点O为端点的三条线段OA，OB，OC，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝100°，且OA＝OB＝ OC，这时△AOB，△BOC，△COA都是钝角三角形，
只有△ABC为等边三角形，可让点C沿OC无限靠近点O，则∠ACB就可趋近于100°，所以每个面都可以是钝角三角形，故命题③正确；由棱台的定义知，棱台是由棱锥截得的，截面是棱台的上底面，故上底面的面积一定小于下底面的面积，所以命题④正确．
(2)下列说法正确的是________①棱锥的侧面不一定是三角形:②棱锥的各侧棱长一定相等;③棱台的各侧棱的延长线交于一点.
(2)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等故①②不正确:棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，③正确
3)下列三个命题，其中不正确的是_________①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台必须用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确。②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定②正确
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，③不正确。
对于判定关于棱柱、棱锥、棱台的命题真假的问题，求解的关键是抓住棱柱、棱锥、棱台的概念与特征.除此之外，还可以利用举例或找反例的方法来判断。
1.给出下列几个命题:①棱柱的侧面不可能是三角形②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点③多面体至少有 4 个面④将一个正方形沿不同方向平移得到的空间图形都是正方体其中真命题是__________
①②均为真命题:对于③，一个图形要成为空间空间图形，则它至少需有 4 个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有 4个顶点时，可围成4 个面，所以一个多面体至少应有 4 个面，而且这样的面必是三角形，故③也是真命题:对于④，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的空间图形才是正方体，故④不正确。故填①②③
简单多面体的结构特点及截面
[例2]如图，四边形AABB 为边长为3 的正方形，CC1=2,CC1∥AA1;CC1∥BB1，请你判断这个空间图形是棱柱吗?若是棱柱指出是几棱柱.
若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为 2的三棱柱，并指出截去的空间图形的特征，在立体图中画出截面
(1)因为这个空间图形的所有面中没有两个互相平行的面所以这个空间图形不是棱柱.
(2)在四边形ABB1A1中，在AA1 上取E 点，使AE=2;在BB1上取F点，使BF=2，连接 C1E，EF，C1F。则过 C1，E，F的截面将空间图形分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其侧棱长为2;截去部分是一个四棱锥 C1-EA1B1F
认识一个空间图形，需要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些空间图形组成的组合体，并能用平面分割开.
2.如图所示，已知长方体ABCD-A1B1C1D1
(1)这个长方体是棱柱吗?如果是，是几棱柱?为什么?是棱柱，并且是四棱柱。因为它可以看成由四边形ADD1A1沿AB方向平移至四边形BC1CB1形成的空间图形，符合棱柱的定义.
(2)用平面 BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成的空间图形是棱柱吗?如果是，是几棱柱?并指出底面，如果不是，请说明理由
(2)截面 BCFE右边的部分是主棱柱 BEB-CFC，其中ABEB与ACFC是底面截面BCFE 左边的部分是四棱柱ABEA1-DCFD1，其中四边形ABEA和四边形DCFD是底面。
多面体及多面体的表面展开
1.观察下面四个空间图形，这些空间图形都是多面体吗?怎样定义多面体?
2.多面体哪些性质可以作为它的特征性质?多面体的每一个面都是多边形
3.根据图(1)(2)所给的空间图形的表面展开图，画出立体图形
将各平面图折起来的空间图形如图所示
[例3]画出如图所示的空间图形的表面展开图
多面体表面展开图问题的解题策略(1)绘制展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型。在解题过程中常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图。
(2)已知展开图:若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪个多面体展开的，则可把上述过程逆推。同一个空间图形的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图。
3.给出如图所示的正三角形纸片，要求剪拼成一个正三棱柱模型，使它的表面积与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标在图中，并写出简要说明。
1.本节课的重点是理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，难点是在描述和判断空间图形结构特征的过程中培养观察能力和空间想象能力.
2。本节课要重点掌握的规律方法(1)有关棱柱结构特征的解题策略(2)判断棱锥、棱台形状的方法(3)绘制展开图和由展开图还原空间图形的方法
3.本节课的易错点是理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系中出现偏差而致错
1.下列四个命题中正确的是( ）A.棱柱的底面一定是平行四边形B.棱锥的底面一定是三角形C.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
A 中棱柱的底面可以是任何平面多边形,B 中棱锥的底面可以是任何平面多边形，C中棱锥被经过顶点和底面的平面分成的两部分都是棱锥，D 中棱柱被平行于底面的平面分成两个棱柱.
2.(一题两空)棱柱的侧棱最少有________条，棱柱的侧棱长之间的大小关系是______
3.如图所示，不是正四面体的展开图的是_________.
可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体
4.画一个六面体:(1)使它是一个四棱柱。(2)使它由两个三棱锥组成。(3)使它是五棱锥.
13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
1.数学来源于生活，指出图中的空间图形是由哪些简单空间图形构成的?
2.仔细观察下面的空间图形，它们有什么共同特点或生成规律?
1.圆柱、圆锥和圆台的概念(1)圆柱、圆锥和圆台的定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、__________、 ________________所在的直线旋转一周，形成的空问图形分别叫作圆柱、圆锥、圆台
(2)与圆柱、圆锥、台有关的概念绕着旋转的这条直线叫作_______.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作______.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作______，无论旋转到什么位置，这条边都叫作______
2.球的定义及其有关的概念半圆绕着________所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球. ______围成的空间图形叫作球体，简称球，如图所示
思考:球和球面的区别?球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面及其围成的空间构成的空间图形，而球面只指球的表面部分.
1.思考辨析(正确的画“√”错误的画“×”(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥（ ）(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆（ ）(3)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个圆锥和个圆台. （ ）
[解析] (1)直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥．(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．(3)用一个平行于底面的平面去截圆锥得到一个圆锥与圆台．
2．如图将图ABCD所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图所示的空间图形的是哪一个图形( )
A B C D
3．下列说法中正确的是( )A．半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球B．空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面C．球面和球是同一个概念D．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的空间图形，叫球，A不正确；B正确；球面和球是两个不同的概念，C错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故D错误．
4．下列各命题：①圆锥的轴截面是等腰三角形，且只有一个；②球的任意截面都是圆面；③圆台所有母线的延长线交于一点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)
圆锥的轴截面是等腰三角形，但其轴截面有无数个，故①错误；由球的特征性质可知②正确；由圆台的特征性质可知③正确．
【例1】 下列说法：①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；②分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确说法的序号是________．[思路点拨] 要紧扣住圆柱、圆锥、圆台的形成过程进行判断．
①错误．若以直角梯形的不垂直于底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥和圆台的组合体．②正确．若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同．③错误．当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到．
简单组合体的结构特征
有关旋转体的计算问题
1．本节课的重点是了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征，难点是能根据结构特征识别和区分这些空间图形．
2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断旋转体结构特征的方法及旋转体轴截面的应用．(2)简单组合体的构成形式及识别方法．3．本节课的易错点是对概念理解不到位而致错．
1．下列命题中正确的是( )A．圆柱上底面圆上任一点与下底面上任一点的连线都是圆柱的母线B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的空间图形是圆台C．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形D．在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球
A错，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；B错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的空间图形是由一个圆柱与一个圆锥组成的空间图形；C正确；D错，点的集合应为球面．
2．下面空间图形的截面一定是圆面的是( )A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的空间图形只有球．
3．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.则此圆台还原成圆锥的母线长为______cm.圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底面半径O1A＝2(cm)，下底面半径OB＝5(cm)，又因为腰长为12 cm，
4．如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单空间图形组成的？(1) (2)
[解] 旋转后的图形草图分别如图①②所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的．
13.1.3 直观图的斜二测画法
在工程制图中，正投影被广泛应用于绘制三视图，但三视图的直观性较差．如何把立体图形画在纸上？思考 平面图形水平放置图应怎么画图，才能体现图形的立体感？
1．用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图的规则(1)画轴：在已知图形中取互相________的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成______于x′轴或y′轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度_____，平行于y轴的线段，长度为原来的____．
2．空间图形的直观图的斜二测画法规则(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝____，且∠yOz＝____.
(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于_____、_____或_____的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中______________；平行于y轴的线段，长度为__________．
思考：画平面图形直观图的关键和注意点是什么？提示：(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长度不变，垂线长度减半，直角画45°(或135°)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变．( )(2)原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的．( )
(3)画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°．( )(4)在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．( )
2．下列说法正确的是( )A．相等的角，在直观图中仍相等B．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等C．若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行D．若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直
C [由斜二测画法规则知，角度、长度都可能改变，平行性不变，所以A、B、D错误，C正确．]
3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________ cm.由空间直观图的画法知，在z轴上或平行于z轴的线段长度保持不变，所以两顶点间的距离为2 cm＋3 cm＝5 cm
由斜二测画法规则知，在直观图中，AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形．
画水平放置的平面图形的直观图
【例1】 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．
[解] 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点， 建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD．(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
1．画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)．
【例2】 有一个正三棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正三棱锥的直观图．[思路点拨] 根据斜二测画法，选择恰当的坐标系画出正三角形的直观图，进而确定出正三棱锥的顶点即可．
[解] (1)先画出水平放置的边长为3 cm的正三角形的直观图，如图(1)所示．
(2)过正三角形中心O′建立z′轴，画出正三棱锥顶点V′，使V′O′＝3 cm，连接V′A′，V′B′，V′C′，如图(2)所示．
(3)擦去辅助线，遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图(3)．
1．用斜二测画法作空间图形的直观图时，应建立适当的空间直角坐标系，常寻找原图中共点且互相垂直的三条直线为坐标轴，或利用图形的对称性建系．
2．在画棱柱、棱台的直观图时，可确定下底面的直观图，确定好高度后，把坐标系平移上来，再画上底面的直观图即可．3．z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．
2．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．[解] (1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面：在平面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长．(4)成图：顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图(2)所示．
将直观图还原为原平面图形
1．如图所示，一个平面图形的直观图为平行四边形，则四边形ABCD的实际形状是什么图形？
[提示] 矩形．因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．
2．如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，这个平面图形本身是等腰梯形吗？其面积是多少？
【例3】 如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，将其还原成平面图形．
[解] (1)画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，如图(1)所示．在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
(3)连接AB，BC，得△ABC．则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图(2)所示．
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长度的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
3．已知△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．
把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C，使OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．
1．本节课的重点是了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤，会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图，难点是用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．
2．本节课要重点掌握的规律方法(1)画平面图形直观图的方法步骤．(2)画简单空间图形直观图的方法步骤．(3)直观图与原图形之间的关系．
3．本节课的易错点是直观图、原空间图形形状之间的相互转换．
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点B [根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．]
A [根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A．]
[解] 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D′＝1，OC＝O′C′＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D′A′＝2.在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A′B′＝2.连接BC，即得到了原图形(如图)．
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