1.6 等面积法求最小值模型（专项练习） 浙教版数学七年级下册基础知识讲与练(含答案)

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专题1.13 等面积法求最小值模型（专项练习） 图1 图2一、单选题1．如图，，P为直线上一动点，连接，若，则线段的最小值是（    ）A．2 B．2.4 C．2.5 D．32．如图，点A是直线m外一定点，点B，C是直线m上的两定点，点P是直线m上一动点，已知AB=6cm，BC=10cm，当动点P移动到点C处时，PA恰好垂直于AB，且此时PA=8cm，则当动点P在直线m上移动时，线段PA的最小值是（    ）A． B． C． D．3．如图所示，AC⊥BC,AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm，点P是线段AC上的一个动点，则线段BP长度的最小值为(       )A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm4．如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．55．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是(     )．A．6 B．2.4 C．8 D．4.86．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2二、填空题7．如图，在直角三角形中．点为边上一动点，连接，则的最小值是_____．8．如图所示，在中，，点为边的中点，点为上的动点，连接、，若，则的最小值为__________． 9．如图，中，，，，．点是线段上的一个动点，则的最小值为______．10．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，AB=25，点P为直线AB上的一动点，连接PC，则线段PC的最小值是______________11．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是_____．12．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是______．13．如图，直线，且a、b之间相距，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是____________．14．如图,在锐角△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，当S∆ABC=6,AC=4时,BM+MN的最小值等于_______．15．如图，点、点是直线上两点，，点在直线外，，，，若点为直线上一动点，连接，则线段的最小值是______．16．如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______．17．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．三、解答题18．如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．19．如图.（1）试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；（2）点C到直线AB的距离是多少？20．已知A，B，C三点如图所示，画直线，线段，射线，过点C画的垂线段；若线段，，，，利用三角形面积公式可以得到C点到的距离是_________．21．如图，在三角形中，．过点画的垂线，交于点；在（1）的条件下，点到直线的距离是线段______的长度；在（1）的条件下，比较与的大小，并说明理由．22．如图，∠l=∠C， ∠2+∠D=90°，BE⊥FD，垂足为G．（1）证明：AB// CD．（2）已知CF=3，FD=4，CD=5，点P是线段CD上的动点，连接FP，求FP的最小值．参考答案1．B【分析】根据三角形的面积公式、垂线段最短解答即可．解：根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时，线段PC的值最小，则3×45×CP，解得：CP＝2.4，故选：B．【点拨】本题考查的是三角形的面积计算、垂线段最短，掌握三角形的面积公式是解题的关键．2．C【分析】连接AC，过A点作AH⊥BC于H，如图，利用面积法求出AH=4.8cm，然后根据垂线段最短解决问题．解：连接AC，过A点作AH⊥BC于H，如图， ∵AC⊥AB，AH⊥BC，∴AH•BC=AC•AB，∴AH==4.8（cm），∴当点P运动到H点时，线段PA的值最小，最小值为4.8cm．故选：C．【点拨】本题考查了垂线段最短的问题．掌握利用面积法求高的方法是解题的关键．3．C【分析】根据“垂线段最短”解答．解：因为 AC⊥BC，点P是线段AC上的一个动点，所以 当线段BP的长度取最小值时，点P与点C重合，此时BP＝BC＝4cm．故选C．【点拨】本题考查了垂线段最短，实际上是求点B到直线AC的最短距离，属于基础题．4．A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．5．D【分析】根据垂线段最短的性质可知当PC⊥AB时，PC的值最小，利用三角形的面积进行求解即可.解：如图，当PC⊥AB时，PC的值最小，∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，∴AC•BC=AB•PC，即×6×8=×10PC，∴PC=4.8，故选D.【点拨】本题考查了垂线段最短，解题的关键是会利用面积法求三角形的高.6．C【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，∴5PC＝3×4，∴PC＝2.4，故选：C．【点拨】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．7．【分析】根据垂线段最短可得，当AP⊥BC时，AP值最小，所以根据直角三角形面积公式，即可求解．解：当AP⊥BC时，如图，此时AP值最小， ∵，，，BC=5，AP⊥BC，∴，∴∴AP=，故答案为：．【点拨】本题考查垂线段最短，三角形面积，掌握垂线段最短是解题的关键．8．【分析】当BE⊥AC是，BE的值最小，根据等面积法即可求解．解：当BE⊥AC是，BE的值最小，此时∴∴故答案为：．【点拨】本题考查点到直线的距离垂线段最小、等面积法，灵活运用等面积法是解题的关键．9．【分析】当CP⊥AB时，CP的值最小，利用面积法求解即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AB=13，当CP⊥AB时，CP的值最小，此时：△ABC的面积=•AB•CP=•AC•BC，∴13CP=5×12，∴PC=，故答案为：．【点拨】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．10．12【分析】作CP⊥AB于P，根据垂线段最短可知此线段PC就是最小值，根据三角形的面积公式求出PC即可．解：作CP⊥AB于P，如图：由垂线段最短可知，此时PC最小，S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×15×20＝×25×PC，解得，PC＝12，故答案为：12．【点拨】本题考查的是三角形的面积公式、垂线段最短．解题的关键是熟知垂线段最短的性质．11．【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，根据三角形的面积法求解即可；解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=3，BC=4，AB=5，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：•AB•PC= •AC•BC，∴PC=，故答案为．【点拨】本题考查了垂线段最短和三角形的面积等知识，解题的关键是学会理由面积法求高，属于中考常考题型．12．【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可；解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：•AB•PC=•AC•BC，∴PC=，故答案为．【点拨】本题考查垂线段最短，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．13．4【分析】通过平行线之间垂线段最短的理论可知PQ垂直于两条直线时，PQ的值最小，再根据a、b之间距离求出PQ即可．解：当时，根据垂线段最短，可以知道此刻PQ取最小值，且a、b之间的距离为4cm，的最小值是4cm，故答案为：4．【点拨】本题考查了平行线之间的距离的定义，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键．14．3.【分析】作N关于AD的对称点为R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值．解：作N关于AD的对称点为R，作AC边上的高BE（E在AC上），∵AD平分∠CAB，△ABC为锐角三角形，∴R必在AC上，∵N关于AD的对称点为R，∴MR=MN，∴BM+MN=BM+MR，即BM+MN=BR≥BE（垂线段最短），∵S∆ABC=6,AC=4，∴ ×4×BE=6，∴BE=3，即BM+MN的最小值为3．故答案为3．【点拨】本题考查轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，关键是根据角平分线的性质定理及垂线段最短，得三角形的高线BE即是最短路径．15．4.8【分析】根据垂线段最短可知：当时，有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解的最小值．解：当时，有最小值，，，，，，即，解得．故答案为：．【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到最小时的点位置是解题的关键．16．##【分析】过C作CF⊥AB于F，交AD于E．则CE+EF的最小值为CF，利用三角形等面积法求出CF，即为CE+EF的最小值．解：过C作CF⊥AB于F，交AD于E，则CE+EF的最小值为CF．∵BC=5，AC=12，AB=13，∴AB•CF=BC•AC，∴CF=，即CE+EF的最小值为：，故答案为：．【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．17．4.8【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．解：当MP⊥AB时，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB•MP＝AM•BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案为：4.8．【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．18．（1）小雨家到街道BC的距离为：900m，小樱家到街道AC的距离为：1200m；（2）CD即为小丽家到街道AB距离试题分析：（1）利用点到直线的距离定义分别得出答案；（2）过点C作CD⊥AB进而得出答案．解：（1）∵AC=900米，BC=1200米，AB=1500米，∴AC⊥BC，∴小雨家到街道BC的距离为：900m，小樱家到街道AC的距离为：1200m；（2）如图所示：CD即为小丽家到街道AB距离．点睛：此题主要考查了点到直线的距离定义，正确把握定义是解题关键．19．（1）点A到直线BC的距离、点B到直线AC的距离分别是9，12；（2）【分析】根据点到直线的距离即为垂线段的距离，求解即可.解：（1）∵，∴点A到直线BC的距离、点B到直线AC的距离分别是9，12.（2）设点C到直线AB的距离为h，的面积为，∴，∴.∴点C到直线AB的距离为.【点拨】此题主要考查对垂线段的理解，熟练掌握，即可解题.20．(1)作图见分析 (2)【分析】（1）过画直线 连接 以为端点画射线 再利用三角尺过作 垂足为 从而可得答案；（2）先求解的面积为6，再利用 再解方程即可得到答案.（1）解：如图，直线 线段射线 垂线段即为所求作的直线，线段，射线，垂线段.（2）解： 解得： 所以C点到的距离是 故答案为：【点拨】本题考查的是画直线，线段，射线，垂线段，以及点到直线的距离的含义，掌握“简单几何图形的作图及利用等面积法求解点到直线的距离”是解本题的关键.21．(1)见分析 (2)AH (3)AB>AH【分析】（1）根据垂线的做法，过C点往AB作垂线即可；（2）根据点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，可知点到直线的距离是线段AH的长度；（3）根据垂线段最短，进行判定即可．（1）解：如图所示（2）∵，∴点到直线的距离是线段AH的长度，故答案为：AH；（3）AB>AH，理由如下：∵∴AB>BC，∵，∴∴BC >CH，∴AB>AH．【点拨】本题主要考查的是垂线段的画法以及性质，直角三角形的性质，需要熟练掌握垂线的画法，准确判断点到直线的垂线段．22．（1）证明见分析；（2）．【分析】（1）先证明CF∥BE，得到，进而证明，得到即可证明AB∥CD；（2）先确定的最小值是点F到直线CD的垂线段的长度，过点F作，垂足为P，再由等面积法即可计算出FP的值．解：（1）证明：∵，∴CF∥BE，∴． ∵，垂足为G，∴，∴．∵，∴， ∵，∴，∴ AB∥CD．（2）根据题意，可知的最小值是点F到直线CD的垂线段的长度．过点F作，垂足为P．因为，所以．因为，，，所以，所以．故FP的最小值为．【点拨】本题考查了平行线的性质及判定、三角形的等面积法的运用，解题的关键是熟悉平行线的性质以及判定．