湘教版九年级数学下册 第2章 圆 2.5.3 切线长定理（课件）

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切线长定理湘教·九年级下册 如图, 过 ⊙O 外一点 P 作 ⊙O 的切线 , 回答问题:（1）可作几条切线？（2）作切线的依据是什么？①连 OP.②以 OP 为直径作圆，交⊙O于点 A、B.③作直线 PA，PB.由 OP 为直径,可得 OA⊥PA, OB⊥ PB,由切线判定定理知: PA、PB 为⊙O 的两条切线.经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长. 线段 PA，PB 的长度是点 P 到⊙O 的切线长.在透明纸上画出下图，设PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，沿直线 OP 将图形对折，你发现了什么？点击打开在透明纸上画出下图，设PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，沿直线 OP 将图形对折，你发现了什么？把图形沿直线 OP 对折后，线段 PA 与线段 PB 重合，∠APO 与∠BPO 重合.即 PA＝ PB，∠APO＝∠BPO.由此我们猜测：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.你能试着证明这个猜测吗？如图，连接 OA，OB.∵ PA，PB 是⊙O 的切线，∴ ∠PAO =∠PBO = 90°，即△PAO 和△PBO 均为直角三角形.又∵ OA = OB，OP = OP，∴ Rt△PAO≌Rt△PBO.∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.切线长定理 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.分析：连接 AB，因为 AD 为直径， 那么 ∠ABD ＝ 90°， 即 BD⊥ AB. 因此要证 CO∥BD，只要证 CO⊥AB 即可. 如图，AD是⊙O 的直径，点 C为⊙O 外一点，CA 和 CB 是⊙O 的切线，A 和 B 是切点，连接 BD.求证：CO∥BD.【教材P71页】证明 连接 AB.∵ CA，CB是⊙O的切线，点A，B 为切点，∴ CA = CB，∠ACO =∠BCO.∴ CO⊥AB.∵ AD 是⊙O 的直径，∴ ∠ABD ＝ 90°，即 BD⊥AB. ∴ CO∥BD. 如图，AD是⊙O 的直径，点 C为⊙O 外一点，CA 和 CB 是⊙O 的切线，A 和 B 是切点，连接 BD.求证：CO∥BD.【教材P71页】我们学过的切线，常有 五个 性质：1. 切线和圆只有一个公共点；2. 切线和圆心的距离等于圆的半径；3. 切线垂直于过切点的半径；4. 经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5. 经过切点垂直于切线的直线必过圆心；6. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.六个练习如图，已知半圆 O 与四边形 ABCD 的边 AD，AB， BC 相切，切点分别为 D，E，C. 设半圆 O 的半径为2， AB为 5，求四边形 ABCD 的周长.解：连接EO，∵四边形ABCD的边AD，AB，BC，分别与圆O相切与D，E，C，∴AE=AD，BE=BC， ∴AE+BE=AD+BC=AB=5.∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=14.【教材P72页】2. 如图，已知 PA，PB 是⊙O 的两条切线，点 A，B 为切点， 若 OP ＝ 4，PA ＝ ，求∠AOB 的度数.解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∴ ∠PAO =∠PBO = 90°，PA=PB，∴ Rt△PAO≌Rt△PBO.∴ ∠AOP =∠BOP，∵ OP ＝ 4，PA ＝ ， ∴AO=2.∴∠AOP=60°，∴∠AOB=120°【教材P72页】随堂练习1. 如图, PA 和 PB 是☉O 的切线 , A 和 B 是切点, AC 是☉O 的直径,已知∠P ＝ 40°, 则 ∠ACB 的大小是（ ） A. 40° B. 60° C. 70° D. 80°选自《创优作业》C2. 如图, P 为☉O 外一点, PA , PB 分别切☉O 于点 A , B , CD 切☉O 于点 E 且分别交 PA , PB 于点 C , D ． 若 PA ＝ 4 , 则△PCD 的周长为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10选自《创优作业》C3. 如图,直线 AB, BC, CD 分别与☉O 相切于点 E, F, G, 且 AB ∥CD .若 OB ＝ 6 cm, OC ＝ 8 cm, 则 BE＋CG 的长等于（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10选自《创优作业》D4. .如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF.（1）求证：OD∥BE；（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由.（1）解：连接OE，∵AM，DE是⊙O的切线.OA，OE是⊙O的半径，∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，∴∠AOD=∠EOD= ∠AOE，∵∠ABE= ∠AOE，∴∠AOD=∠ABE，∴OD∥BE.（2）OF= CD，理由：连接OC，∵BC，CE是⊙O的切线，∴∠OCB=∠OCE，∵AM∥BN，∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°，由（1）得∠ADO=∠EDO，∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°，在Rt△DOC中，∵F是DC的中点，∴OF= CD.课堂小结1. 说一说切线长的定义；2. 什么是切线长定理？