专题06 二次函数的面积、周长、线段、新定义综合问题压轴题三种模型全攻略-【常考压轴题】2022-2023学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

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专题06 二次函数的面积、周长、线段、新定义综合问题压轴题三种模型全攻略

考点一 用二次函数解决面积最值问题 考点二 用二次函数解决周长、线段最值问题
考点三 用二次函数解决新定义型问题
典型例题


考点一 用二次函数解决面积最值问题
例题：（2022·湖北·咸宁市浮山学校九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点．

(1)求二次函数的关系式；
(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；
(3)在MB上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在最大值，最大值为
(3)或
【分析】（1）将、代入，列方程组求出、的值即可；
（2）先求所在直线的解析式，用含的代数式表示点的坐标及的面积，求出关于的函数关系式，用函数的性质判断并求出的最值；
（3）存在符合条件的点，分三种情况根据点的位置或勾股定理列方程求出的值及点的坐标．
（1）
解：把、代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）
解：有最大值．理由如下：
如图1，设直线的解析式为，

，
∴该抛物线的顶点坐标为，
把、代入，得，
解得，
∴，
，
∴；
由，
得；
∵当点与点重合时，不存在以、、为顶点的三角形，
∴，
∴不存在最小值；
，
∴当时，，
∴的最大值为．
（3）
解：存在，理由如下：
若，如图2，则轴，

∴，且在直线上，
∴，
解得，
∴；
若，如图3，则，

∴，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）；
∴，；
若，则，
∴，
整理，得，
解得，
此时不存在以，，为顶点的三角形，
∴舍去．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象和性质、勾股定理、用待定系数法求函数解析式、二次根式的化简等知识，解第（3）题时应分类讨论并进行必要的检验，求出所有符合条件的点的坐标．
【变式训练】
1．（2021·内蒙古·通辽市科尔沁区第七中学九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且OA＝OC，连接AC．

(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，△ACP面积的最大值为，此时点；
(3)点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）

【分析】（1）利用抛物线的解析式令时，求得点的坐标，再利用OA＝OC，求得点的坐标，代入抛物线的解析式即可求解；
（2）过点P作轴交AC于点H，利用即可求解；
（3）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用图形平移的性质和中点公式，即可求解．
（1）
解：∵抛物线的解析式为，
∴当时，，
∴（0，-3）
故OC＝3＝OA，
∴A（﹣3，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1，
故抛物线的表达式为；
（2）
设直线AC的表达式为，
∵直线AC过点（0，-3），A（﹣3，0），
∴，解得
∴直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，
过点P作轴交AC于点H，

设点P（x，），则点H（x，﹣x﹣3），
∴，
则


，
∵＜0，故△ACP面积有最大值，当时，△ACP面积的最大值为，
∴当时，
此时点P（，）；
（3）
对于，令y＝0，
即，
解得x＝﹣3或1，
故点B（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线为x＝﹣1，
设点F（m，n），即n＝m2+2m﹣3①，点E（﹣1，t），
①当AB是边时，
点A向右平移4个单位得到点B，同样点F（E）向右平移4个单位得到点E（F），
即m±4＝﹣1②，
联立①②并解得或，
故点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）；
②当AB是对角线时，A（﹣3，0），B（1，0），
由中点公式得：③，
联立①③并解得，
故点F的坐标为（﹣1，﹣4）；
综上，点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、中点坐标公式的运用、图形的平移等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
2．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）如图所示抛物线y＝a+bx+c由抛物线y＝﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位得到，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C，直线y＝kx+b过B、C两点．

(1)写出平移后的新抛物线y＝a+bx+c的解析式；并写出a+bx+c＞kx+b时x的取值范围．
(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POC，那么是否存在点P，使四边形POC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？求此时点P的坐标和△PBC的最大面积．
【答案】(1)y=-x-2
(2)存在，点P的坐标为(，-1)
(3)P点的坐标为(1，-2)，△PBC的最大面积为1
【分析】（1）由图象平移的性质即可求解；
（2）当四边形POC为菱形，则点P在OC的中垂线上，进而求解．
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点D，设P(x，-x-2)，先求出B、C的坐标，根据列出x的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出满足条件的P点坐标以及面积最大值．
（1）
解：由图象平移的性质得：y=-x+1-3=-x-2；
（2）
解：存在，理由：如图，

对于y=-x-2，令x=0，则y=2，
故点C的坐标为(0，-2)，即OC=2，
当四边形POC为菱形，则点P在OC的中垂线上，
则点P的纵坐标为-×OC=-1，
当y=-1时，即y=-x-2=-1，解得x=或x=(不符合题意，舍去)，
则点P的坐标为(，-1)．
（3）
解：过点P作y轴的平行线与BC交于点D，

设P(x，-x-2)，
∵点P是直线BC下方的抛物线上一动点，
∴PD=-+x+2，
对于抛物线y=-x-2，
当y=0时，-x-2=0，
解得：， ，
∴B(2，0)，
由(2)知：C(0，-2)，
∴
=
=-+2x
=
当x=1时，△PBC的面积最大，最大面积为1，
把x=1代入抛物线解析式，得y=-2，
此时P点的坐标为(1，-2)．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到抛物线的图象和性质，菱形的性质、中垂线的性质、平移的性质等，有一定的综合性，难度不大．
3．（2022·山东·沂水县沂新中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A点坐标为（-4，0），C点坐标为（0，2），抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

(1)①直接写出点B的坐标；
②求抛物线表达式；
(2)在对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)若点P为直线AC上方抛物线上的一点，连接PA，PC． 求ΔPAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】(1)①B（1,0）；②
(2)存在，
(3)最大值为4，此时
【分析】（1）由A，B关于对称轴对称，即可求得B点坐标，将A，B，C代入解析式即可求得答案．
（2）A，B关于对称轴对称，当A，Q，C共线时最小，求直线AC与对称轴交点即可得到Q点坐标．
（3）过P作y轴的平行线，交直线AC于点H，表示出，当PH最大时，最大，同时得到取最大值时点P坐标．
（1）
解：①∵A，B关于直线对称，且A（-4，0）
∴B（1,0）
②∵抛物线与x轴交于点A（-4，0），B（1,0）
∴
把C（0，2）代入解析式
得
∴
所以抛物线解析式为：
（2）
解：存在Q使得△QBC的周长最小
∵Q在对称轴上，A，B关于对称轴对称
∴当Q在直线AC与对称轴交点时，最小值
∵A（-4，0），C（0，2）
∴：
∴
（3）
解：过P作y轴的平行线，交直线AC于点H


设，
则

∵
∴开口向下
当时，PH最大值为2
∴最大值为4
此时
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，包含将军饮马线段和最小、面积最值问题．掌握将军饮马模型、线段和面积最值问题解决方法是解题关键．
4．（2022·广东·广州市南武中学九年级阶段练习）如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，-9），该函数的图象与y轴交于点A（0，-5），与x轴交于点B，C．

(1)求该二次函数的解析式；
(2)求点B的坐标；
(3)过点A作ADx轴，交二次函数的图象于点D，M为二次函数图象上一点，设点M的横坐标为m，且0＜m≤5，过点M作MNy轴，交AD于点N，连接AM，MD，设△AMD的面积为s．
①求s关于m的函数解析式；
②判断出当点M在何位置时，△AMD的面积最大，并求出最大面积．
【答案】(1)该二次函数的解析式为；
(2)点B的坐标（-1，0）；
(3)①s关于m的函数解析式为；②当点M与点C重合时，△AMD的面积最大，最大面积为10．

【分析】（1）根据顶点坐标（2，-9），设出抛物线顶点形式，将（0，-5）代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）当y=0时，，求得x的值，即可得出点B的坐标；
（3）①先根据当y=-5时，，求得D（4，-5），再分两种情况讨论：当0＜m＜4时，点M在AD的下方的抛物线上；当4≤m≤5时，点M在CD之间的抛物线上，分别求得s关于m的函数解析式；②分两种情况，求得当点M与点C重合时，△AMD的面积最大，最大面积为10．
（1）
解：∵顶点坐标（2，-9），
设二次函数的解析式为，
将点A（0，-5）代入，得
-5=4a-9，
解得a=1，
∴抛物线解析式为；
（2）
解：当y=0时，，
解得=5，=-1，
∴点B的坐标（-1，0），点C的坐标（5，0）；
（3）
解：①当y=-5时，，
解得=0，=4，
∴D（4，-5），
∵点M的横坐标为m，且0＜m≤5，
∴当0＜m＜4时，点M在AD的下方的抛物线上，
设M（m，），则
△AMD的面积=×AD×MN，
即；
当4≤m≤5时，点M在CD之间的抛物线上，
△AMD的面积=×AD×MN，
即；
综上所述，s关于m的函数解析式为；
②当点M与抛物线顶点重合时，m=2，
此时，，
当点M与点C重合时，m=5，
此时，，
∴当点M与点C重合时，△AMD的面积最大，最大面积为10．
【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．解决问题的关键是掌握运用二次函数的顶点式：（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；解题时注意分类思想的运用．
5．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．

(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2)若点M在直线上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
【答案】(1)，
(2)，当时，S有最大值为
(3)满足条件的点P坐标为，，

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，-+m+），则N（m，-m+），可得S△MBC=•MN•OB=+，再求解即可；
（3）设Q（0，t），P（m，- +m+），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
（1）
解：把点和分别代入可得
，
解得
∴抛物线的解析式为
把代入可得
∴；
（2）
解：作直线，作轴交直线于点N

设直线的解析式为（）
把点和分别代入
可得
解得
∴直线的解析式为
设点M的横坐标为m
∴，
∴

∴
（）
∴当时，S有最大值为
把代入可得
∴；
（3）
解：当以为边时，只要，且即可
∴点P的横坐标为4或-4
把代入可得
把代入可得
∴此时，
当以为对角线时，作轴于点H

∵四边形是平行四边形
∴
∴
在和中

∴
∴
∴
∴点P的横坐标为2
把代入可得
∴此时
综上所述，满足条件的点P坐标为，，
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
6．（2021·辽宁·大连育文中学九年级阶段练习）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线经过，两点．

(1)直接写出各点坐标：：___________，：___________，：___________；
(2)直线的解析式是：___________；
(3)如图，是第一象限内抛物线上的一点，连接．若点的横坐标为，的面积是，求为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(4)当的面积最大时，在如图所示的抛物线上是否还存在不同于的点，使得？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由___________．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，S取得最大值
(4)存在，或

【分析】（1）对于抛物线解析式，令求出x的值，确定出A，B的坐标，令求出y的值，得出C的坐标；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）过点D作x轴的垂线，交于点E，表示出的长，根据面积公式列函数解析式求解即可；
（4）作    交于点F，表示出QF的长，根据，=列方程求出n的值，进而可求出点Q的坐标．
（1）
解：当时，，
解得或，
∴，，
在中，当时，，
∴，
故答案为：；
（2）
解：把，代入，得
，
∴，
∴．
故答案为：．
（3）
解：过点D作x轴的垂线，交BC于点E．

∵点的横坐标为，
∴，，
∴，
∴S==
=
=，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，S取得最大值．
（4）
解：存在．
作    交于点F，

设，，
∴，
由题意得，=，
∴，
解得或，
当时，=．
当时，=．
∴或．
故答案为：存在，或
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．

考点二 用二次函数解决周长、线段最值问题
例题：（2022·广东·湛江市初级实验中学九年级阶段练习）如图是二次函数的图像，其顶点的坐标为．

(1)求出图像与x轴的交点A，B的坐标；
(2)在二次函数的图像上是否存在点P，使?若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在y轴上是否存在一点Q，使得的和最小，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（﹣1，0），B（3，0）；
(2)（﹣2，5）或（4，5）；
(3)存在，Q点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
【分析】（1）由M（1，﹣4）是二次函数y＝的顶点坐标，得到y＝，令，解得＝﹣1，＝3．得到答案；
（2）设P（x，y），则＝|AB|×|y|＝2|y|，＝|AB|×|﹣4|＝8，则2|y|＝×8，即y＝±5，进一步确定y的值，解即可得到答案；
（3）作B（3，0）关于y轴对称点为（﹣3，0），连接M交y轴于Q，此时QM+QB的值最小．求出直线M的解析式为：y＝﹣x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，即可得到答案．
（1）
解：∵M（1，﹣4）是二次函数y＝的顶点坐标，
∴y＝，
令，
解之得＝﹣1，＝3．
∴A，B两点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）
在二次函数的图像上存在点P，使，
设P（x，y），
则＝|AB|×|y|＝2|y|，
又∵＝|AB|×|﹣4|＝8，
∴2|y|＝×8，即y＝±5，
∵二次函数的最小值为﹣4，
∴y＝5．
当y＝5时，，
解得x＝﹣2或x＝4．
故P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
（3）
存在．作B（3，0）关于y轴对称点为（﹣3，0），连接M交y轴于Q，此时QM+QB的值最小．

设直线M为y＝ax+b，把（﹣3，0），M（1，﹣4）代入得，
，
解得，
∴直线M的解析式为：y＝﹣x﹣3，
令x＝0，y＝﹣3，
所以Q（0，﹣3）．
【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了顶点式，二次函数图像与x轴的交点问题，三角形的面积，二次函数图像上点的坐标特征，利用轴对称确定最短路线问题，综合性较强．
【变式训练】
1．（2021·福建省泉州第一中学九年级期中）已知抛物线经过点(0，1)、(4，1)，直线与抛物线交于A、B两点，直线h为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在h上是否存在一点P，使取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)为平面内一定点，为抛物线上一动点，且点M到直线h的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)存在，点P的坐标为（，-1）；
(3)定点F的坐标为（2，1）．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式组成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线h的对称点E，连接AE交直线h于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点E的坐标，根据点A、E的坐标利用待定系数法可求出直线AE的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线h的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出，由m的任意性可得出关于、的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．
（1）
解：根据题意，得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）
解：联立直线AB与抛物线解析式组成方程组，得：，
∴，，
∴A（1，），B（4，1）．
作点B关于直线h的对称点E，连接AE交直线h于点P，此时PA+PB取得最小值（如图所示）．

∵B（4，1），直线h为y=-1，
∴E（4，-3）．
设直线AE的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，）、E（4，-3）代入y=kx+b，得：
，
∴，
∴直线AE的解析式为：．
当y=-1时，有，
∴x=，
∴P（，-1）；
（3）
解：∵点M到直线h的距离与点M到点F的距离总是相等，
∴，
∴．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴，
∴，
整理得：．
∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F的坐标为（2，1）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线h的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于、的方程组．
【变式训练】
1．（2022·江西吉安·九年级期末）如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【答案】(1)
(2)P（4，21），（﹣4，5）
(3)

【分析】（1）根据OA＝OC，可求c；再依据对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），可求a、b，即得求抛物线解析式．
（2）可求△BOC的面积，根据，可求P点坐标．
（3）求出直线AC解析式，设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），则点D，根据二次函数的最值求法，可求QD的最大值．
（1）
令x＝0，则y＝c，
∴OC＝﹣c，
∵OA＝OC，
∴3＝﹣c，即c＝﹣3．
∵对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），
根据题意得：，
解之：．
∴抛物线解析式．
（2）
当x＝0时，y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3），即OC＝3，
∵A，B关于对称轴对称，
∴B（1，0），即OB＝1，
∴，
设，
∴＝×3×|x|，
∵＝，
∴，
∴x＝±4，
∴P（4，21），（﹣4，5）．
（3）
∵点A（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3，
∴设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），
则点，
∴，
∴当m＝﹣时，QD的最大值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键
2．（2022·福建·厦门市思明区观音山音乐学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．

(1)求这个二次函数及直线的表达式．
(2)过点做轴交直线于点，求的最大值．
(3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数的表达式为，直线的表达式为；
(2)
(3)存在，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数和直线BC的解析式；
（2）设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD＝，由二次函数的性质可得出答案；
（3）分情况讨论：①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NE⊥MF于点E，证明△MEN≌△OFM（AAS），可得OF＝EM＝1，设点M坐标为（1，a），可得NE＝MF＝a，则N（1-a，1+a），把点N坐标代入二次函数解析式求出a的值，可得此时点的坐标；②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，同理可求点的坐标．
（1）
解：把点B，点C的坐标代入解析式中，
得：，
解得：，
∴二次函数得表达式为；
设BC的函数表达式为y=kx+b，
把点B，点C的坐标代入可得：，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为：；
（2）
如图，∵轴，

∴点P和点D的横坐标相同，
设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），
PD＝，
当x=时，PD有最大值；
（3）
分情况讨论：
①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NE⊥MF于点E，
∵为等腰直角三角形，且为直角，
∴NM＝MO，∠NMO＝90°，
∴∠NME＋∠OMF＝90°，
∵∠NME＋∠MNE＝90°，
∴∠MNE＝∠OMF，
又∵∠MEN＝∠OFM＝90°，
∴△MEN≌△OFM（AAS），
∴OF＝EM，MF＝NE，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴OF＝EM＝1，
设点M坐标为（1，a），则NE＝MF＝a，
∴N（1-a，1+a），
∵点N在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：，
∴N（，），
②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，如图2，
同理可得：点N坐标为（，）；
③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，如图3，
同理可得：点N坐标为（，）；
④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，如图4，
同理可得：点N坐标为（，）；
综上，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．


【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，其中第（3）问有一定难度，能够正确分类讨论是解题的关键．
3．（2022·广西·银海学校八年级期末）如图，已知抛物线的解析式为，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．

(1)请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
(2)连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
(3)若点为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使最大时点的坐标，并请直接写出的最大值．
【答案】(1)A（-4，0），B（1，0），C（0，3），对称轴为直线
(2)M（1，5），N（4，1）
(3)当P的坐标为（1，0）或时，的值最大，此时最大值为
【分析】（1）提取二次项系数后分解因式，可以得出抛物线与x轴交点，令x=0代入可以得到与y轴的交点，把解析式配方后可得对称轴；
（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证△OBC≌△QNB即可分别求出M、N的坐标；
（3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛物线解析式即可求出P的坐标．
（1）
解：∵，
令x=0，则y=3，
令y=0，则，
解得x=-4或1，
∴A（-4，0），B（1，0），C（0，3），
∵，
∴对称轴为直线x=-；
（2）
解：如图所示：
过N作NQ⊥x轴于点Q，
由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN=90°，BM=AB=5，BN=BC，
∴M（1，5），∠OBC+∠QBN=90°，
∵∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BCO=∠QBN，
又∵∠BOC=∠NQB=90°，BN=BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ=OC=3，NQ=OB=1，
∴OQ=1+3=4，
∴N（4，1）；

（3）
解：设直线NB的解析式为y=kx+b.
∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，
∴，
解得：，
∴直线NB的解析式为：y=x-，
当点P，N，B在同一直线上时|NP-BP|=NB=，
当点P，N，B不在同一条直线上时|NP-BP|＜NB，
∴当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大，
即点P为直线NB与抛物线的交点．
解方程组：，
解得：或，
∴当P的坐标为（1，0）或时，|NP-BP|的值最大，此时最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法，旋转性质，全等三角形的判定与性质等知识，本题的关键是数形相结合，以及正确讨论出当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大是解题的关键．
4．（2022·湖北襄阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．

(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
(2)在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
【答案】(1)①A（2，0），B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②△PAB的面积的最大值是3，点P（1，1）；
(2)①或；
②13
【分析】对于（1），先求出点A，B的坐标，再将抛物线关系式配方表示出点D的坐标，令
x=0，表示出点C的坐标，然后将m的值代入即可得出①的答案；对于②，先求出直线和抛物线的解析式，再作轴，设点P的横坐标为t，即可表示出点P，E的坐标，然后表示出PE，进而根据三角形的面积公式表示△PAB的面积，再配方讨论极值即可；
对于（2），由（1）可知，点B，C的坐标，再根据点C在线段MB上，分两种情况讨论，求出①的答案即可；对于②，根据①中的情况分别表示BC，再配方二次函数的性质求出答案即可．
（1）
∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，-2m）．
∵，
∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）．
令x=0，则，
∴．
①当m=2时，-2m=-4，则，
∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②由上可知，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为，
如图，过点P作轴交直线AB于点E．

设点P的横坐标为t，
∴，，
∴，
∴△PAB的面积=，
∵-1＜0，
∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）；
（2）
由（1）可知，B（0，-2m），C（0，-m2+2），
①∵y轴上有一点，点C在线段MB上，
∴需分两种情况讨论：
当时，解得：，
当时，解得：，
∴m的取值范围是或；
②当时，
∵，
∴当m=1时，BC的最大值为3；
当时，
∴，
当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13，
∴BC的最大值是13．
【点睛】这是一道关于一次函数和二次函数的综合问题，考查了求函数关系式，二次函数图象的性质，二次函数与三角形的综合，根据二次函数关系式求极值等．

考点三 用二次函数解决新定义型问题
例题：（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校二模）在平面直角坐标系中，若对于任意两点，、，，都有，则称A、两点互为“友好点”．已知点．
(1)若、、，则点A的“友好点”是 　　；
(2)若、都在双曲线上，且A、两点互为“友好点”．请求出点的坐标；
(3)已知抛物线，，，为常数）．顶点为点，与轴交于A、两点，与直线交于、两点．若满足①抛物线过点；②为等边三角形；③、两点互为“友好点”．求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)202
【分析】（1）利用互为“友好点”的定义进行逐一判断即可得出结论；
（2）利用待定系数法求得值，利用互为“友好点”的定义列出关于的方程，解方程求得值即可得出结论；
（3）利用待定系数法求得值，利用为等边三角形得到，将抛物线与直线联立得到，设，，，，利用一元二次方程根与系数的关系得到；利用、两点互为“友好点”，得到，整理得到，将此式子代入中即可得出值，将，值代入运算即可得出结论
（1）
解：，
点A与点不是互为“友好点”；
，
点A与点是互为“友好点”；
，
点A与点不是互为“友好点”，
综上，点A的“友好点”是点，
故答案为：；
（2）
在双曲线上，
．
．
、两点互为“友好点”，
，
解得：或．
或；
（3）
抛物线过点，
，
．
抛物线与轴交于A、两点，
．
抛物线的顶点为点，
，．
则中边上的高为．
为等边三角形，
，
，
，
．
抛物线与直线交于、两点，
，
．
设，，，，
则，是方程的两个根，
．
、两点互为“友好点”，
，
，
．
．
．
．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，此题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义的意义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，那么我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线．
(1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．
①抛物线与抛物线是“互为关联”的抛物线．（ ）
②与抛物线是“互为关联”的抛物线有且只有一条．（ ）
③若两条抛物线是“互为关联”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数．（ ）
(2)已知抛物线：，抛物线与是“互为关联”的抛物线，且抛物线与关于点中心对称，求抛物线的解析式；
(3)已知抛物线：的顶点为点，与轴交于点、，抛物线：的顶点为点，与轴交于点、，若抛物线与是“互为关联”的抛物线，且，求线段的长．
【答案】(1)√，×，√
(2)或
(3)
【分析】（1）根据“互为关联”的抛物线进行一一判断进行解答即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，再根抛物线与关于点中心对称可得顶点坐标为，再根据抛物线与是“互为关联”的抛物线得出在上，从而可得，解出m的值即可得出结果；
（3）由抛物线与是“互为关联”的抛物线可得，即，从而可得，，再由可得出，即可得，再根据当时和当两种情况讨论即可．
（1）
①抛物线的顶点坐标为（0，0），抛物线，顶点坐标是（1，-1），
当将x=0代入得y=0，将x=1代入得y=-1，
所以抛物线的顶点在图像上，抛物线的顶点在图像上，
故答案为：√；
②与抛物线是“互为关联”的抛物线有无数条，比如、都与抛物线是“互为关联”的抛物线，
故答案为：×；
③∵设顶点不同的两条抛物线与关联，
∴有
①+②得，
∴m≠p,
∴，
∴解析式中的二次项系数一定是互为相反数．
故答案为：√；
（2）
抛物线的顶点
抛物线与关于点中心对称
顶点
抛物线与是“互为关联”的抛物线
在上

解得：，
当时，的顶点，

当时，的顶点，
（3）
，
抛物线与是“互为关联”的抛物线
，即
，

，即

当时，（舍）
当，即时，，

，
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，解决本题的关键是要注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
2．（2022·湖南·长沙市立信中学八年级期末）已知y是x的函数，若函数图像上存在一点P（a，b），满足b﹣a＝2，则称点P为函数图像上“梦幻点”．例如：直线y＝2x+1上存在的“梦幻点”P（1，3）．
(1)求直线上的“梦幻点”的坐标；
(2)已知在双曲线（k≠0）上存在两个“梦幻点”且两个“梦幻点”之间的距离为，求k的值．
(3)若二次函数的图像上存在唯一的梦幻点，且﹣2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．
【答案】(1)（2，4）
(2)k＝﹣
(3)4+或1
【分析】（1）设梦幻点P（a，a+2），代入直线解析式即可求解；
（2）将梦幻点P（a，a＋2）代入双曲线解析式求得a＝，从而得出（，），（，），再利用两点间距离公式建立方程求解即可；
（3）把梦幻点P（a，a＋2）的坐标代入二次函数表达式，化简得，由于图象上存在唯一的梦幻点，故Δ＝0，得出，该函数图象开口向上，对称轴为m＝t，分①当对称轴m＝t≥3，②当对称轴m＝t≤−2，③当对称轴−2＜m＝t＜3，三种情况讨论求解即可．
（1）
解：设梦幻点P（a，a+2），
∵点P是直线上的“梦幻点”，
∴，
∴a＝2，
∴“梦幻点”的坐标P（2，4）；
（2）
设梦幻点P（a，a+2），
∵点P（a，a+2）在双曲线（k≠0）上，
∴k＝a（a+2），
∴a＝，
∴（，），（，），
∵两个“梦幻点”之间的距离为，
∴，
解得：；
（3）
设梦幻点P（a，a+2），
∵点P（a，a+2）在二次函数的图像上，
∴，
∴，
∵图像上存在唯一的梦幻点，
∴Δ＝＝0，
∴，
将其看作是n关于m的二次函数，则该函数图像开口向上，对称轴为m＝t，
①当对称轴m＝t≥3时，函数在m＝3时，取得最小值，
即：，
解得：t＝或t＝（舍去）；
②当对称轴m＝t≤﹣2时，函数在m＝﹣2时，取得最小值，
即：，
整理得：，
∴此方程无解；
③当对称轴﹣2＜m＝t＜3时，函数在m＝t时，取得最小值，
即：，
解得：t＝1，
综上所述，t的值为或1．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例、二次函数图像上点的坐标特征，两点间距离公式，解一元二次方程，二次函数的图像和性质等知识，属于新定义类题目，需要理解新定义，按要求逐步求解，该题涉及的字母多，一定要思路清晰，分清字母代表的含义细心求解．
3．（2022·北京四中九年级阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，直线l和矩形w，定义如下：若点P关于直线l的对称点在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线1的“对矩点”．已知矩形ABCD的顶点A（1，0），B（8，0），C（8，4），D（1，4）．

例如，图中的点F和点G都不是矩形ABCD关于y轴的“对矩点”，点H是矩形ABCD关于y轴的“对矩点”．
(1)在点，，，中，是矩形ABCD关于直线l：x＝3“对矩点”的点是______；
(2)若在直线y＝2x＋6上存在点M，使得点M是矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”，求t的取值范围；
(3)若抛物线上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有4个，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先分别在坐标系内描出点，，，中，与关于直线l：x＝3对称的对称点，再根据新定义可得答案；
（2）作出直线 再利用数形结合的方法可得答案；
（3）分情况画出图形，结合图形确定抛物线上的点关于直线对称的点的分布，从而可得答案．
（1）
解：如图，分别在坐标系内描出点，，，中，与关于直线l：x＝3对称的对称点，

∴的对称点落在矩形的边上，
∴点，，，中，是矩形ABCD关于直线l：x＝3“对矩点”的点是
（2）
如图，当时，则

直线与x轴的交点G关于的对称点H落在矩形ABCD的边上，所以此时存在矩形ABCD的“对矩点”，
当直线的交点I关于直线的对称点J落在矩形ABCD的边上，
∴在直线y＝2x＋6上存在点M，使得点M是矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”，t的取值范围为
（3）
如图，令
解得：
令
解得：

∴抛物线与x轴的右边交点坐标为：
当时，
此时抛物线上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有3个，分别为
当关于的对称点为矩形的顶点时，如图，
此时

此时
此时抛物线上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有4个，分别为 以及抛物线段上存在一个，
此时
∵的中点对应的数为：
如图，当

此时抛物线上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有4个，分别为 以及抛物线段上存在一个，抛物线QN段上存在一个，
∵的中点对应的数为：
当时，

此时抛物线上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有4个，分别为 以及抛物线QN段上存在一个，
综上：抛物线上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有4个，
【点睛】本题属于新定义题，考查了一次函数与二次函数的性质，轴对称的性质，一元二次方程的解法，理解新定义，利用数形结合的方法解题是关键．
4．（2021·吉林·长春市赫行实验学校二模）对于二次函数，我们称函数为它的“和谐函数”（其中为常数）．设函数的“和谐函数”图象为．
(1)直接写出图象的函数表达式．
(2)若点在函数图象上，求的值．
(3)当时，已知点关于函数对称轴的对称点在函数图象上，若点也在函数图象上，当时，求的取值范围．
(4)当时，若图象到轴的距离为个单位的点有三个，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或

【分析】（1）根据定义求解．
（2）分类讨论或，将代入解析式求解．
（3）由抛物线解析式可得时抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性及开口方向求解．
（4）通过数形结合，将问题转化为抛物线与直线和有三个交点时的取值范围．
（1）
根据“和谐函数”的定义可得图象的函数表达式为：；
（2）
当时，将代入
得，
解得，
当时，将代入
得，
解得（不符合题意，舍去），
．
（3）
当时，，
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点为，
，
解得，
点在抛物线上，
，
解得，
抛物线开口向下，，
点在点左侧或点右侧，
或，
解得或，
或．
（4）
把代入得，
抛物线与直线交点坐标为，
把代入得，
抛物线与直线交点坐标为，
把代入得，
抛物线顶点坐标为，
如图，

可得，
解得．
如图，

可得，
解得，
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，通过数形结合及分类讨论求解．