专题05 圆与圆的对称性压轴题五种模型全攻略-《常考压轴题》2022-2023学年九年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

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专题05 圆与圆的对称性压轴题五种模型全攻略

考点一 圆的基本概念
考点二 判断点与圆的位置关系
考点三 利用垂径定理求值
考点四 垂径定理的实际应用
考点五 垂径定理的推论

典型例题


考点一 圆的基本概念
例题：（2022·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）下列说法正确的是（       ）
A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径
C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圆的有关定义分别判断即可．
【详解】
解：A、半圆是弧，正确，符合题意；
B、过圆心的弦是直径，故原命题错误，不符合题意；
C、直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质．
【变式训练】
1．（2022·山东烟台·九年级期末）有下列说法：（1）直径是弦；（2）经过三点一定可以作圆；（3）圆有无数条对称轴；（4）优弧的长度大于劣弧的长度．其中正确的有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧进行分析．
【详解】
解：直径是圆中最长的弦，说法正确，符合题意；
经过不在同一条直线上的三点一定可以作圆，不符合题意；
圆有无数条对称轴，符合题意；
没有强调是在同圆或等圆中，不符合题意；
正确的说法有2个，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆的认识，关键是掌握直径、弧的定义，注意在同圆或等圆中，优弧的长度一定大于劣弧的长度．
2．（2020·广东·惠州市惠阳区第一中学九年级期中）下列判断正确的个数有（       ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【详解】
①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．
综上所述，正确的有①③
故选B
【点睛】
本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．
考点二 判断点与圆的位置关系
例题：（2022·浙江宁波·九年级期末）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆内，则d的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】
解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为5，
∴0≤d＜5，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了点与圆的位置关系．解题的关键在于熟练掌握点与圆的位置关系有3种：⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r．
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）A，B两个点的坐标分别为（3，4），（﹣5，1），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列说法正确的是（　　）
A．点A，点B都在⊙O上 B．点A在⊙O上，点B在⊙O外
C．点A在⊙O内，点B在⊙O上 D．点A，点B都在⊙O外
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得OA、OB的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】
解：∵OA＝＝5，
OB＝＝＞5，
∴点A在⊙O上，点B在⊙O外．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
2．（2021·全国·九年级期中）已知⊙O的半径为6cm，当线段OA＝8cm时，点A和⊙O的位置关系是_________．
【答案】点A在⊙O外
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】
解：∵⊙O的半径为6cm，OA＝8cm，
∴OA＞⊙O的半径，
∴点A在⊙O外．
故答案为点A在⊙O外．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．

考点三 利用垂径定理求值
例题：（2022·江苏·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）三模）如图，⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5，则AB的长为（       ）

A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OA，先计算OM=，根据垂径定理，得到直角三角形AOM，利用勾股定理计算AM，根据垂径定理，得到AB=2AM，判断选择即可．
【详解】
连接OA，
∵⊙O的直径CD=20， AB⊥CD， OM：OC=3：5，

∴AO=OC=10，OM=，AM=MB，
∴AM==8，
∴AB=2AM=16，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江宁波·三模）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；
【详解】
连接AC，AO，

∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5−3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=cm．
故选C．
【点睛】
本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．
2．（2022·湖南长沙·一模）如图，在直径为10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于________cm．

【答案】3
【解析】
【分析】
根据垂径定理可将AC的长求出，再根据勾股定理可将OC求出．
【详解】
解：如图，连结OA，

则由垂径定理可得：OC⊥AB，且AC=BC=AB=4cm，
在Rt△ACO中，AC=4，OA=5，
由勾股定理可得OC==3cm，
故答案为3．
【点睛】
本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理．

考点四 垂径定理的实际应用
例题：（2022·广东广州·二模）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（       ）cm．

A．10 B．14 C．26 D．52
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作于D，交圆于C，设圆的半径为r，而 再利用勾股定理建立方程即可．
【详解】
解：如图，记圆柱形容器的截面圆心为O，过O作于D，交圆于C，
则

设圆的半径为r，而


解得：
圆柱形容器的截面直径为52cm．
故选D
【点睛】
本题考查的是垂径定理的实际应用，作辅助线构建符合垂径定理的模型是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．

【答案】26
【解析】
【分析】
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．
【详解】
解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，
∴BC=10cm，
令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解得r=26．
故答案为：26．

【点睛】
本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．
2．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为_______米．

【答案】3
【解析】
【分析】
过O作OD⊥AB于D，连接OA，由垂径定理得AD=BD=AB=4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD的长即可．
【详解】
解：过O作OD⊥AB于D，连接OA，如图所示：

则AD=BD=AB=4（米），
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=（米），
即圆心O到水面AB的距离为3米，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．

考点五 垂径定理的推论
例题：（2022·上海嘉定·二模）下列命题中假命题是（       ）
A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂径定理及其推论分别进行判断．
【详解】
A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．
【变式训练】
1．（2021·云南省个旧市第二中学九年级期中）下列语句中不正确的有（ 　 ）   
①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂径定理及圆的有关概念和对称性对每个语句分别进行判断即可.
【详解】
因为能够完全重合的弧是等弧,故①不正确；
垂直于弦的直径平分弦说法正确；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③说法不正确；
平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧，故④说法不正确；
半圆的弧长是圆的弧长的一半，不是圆中最长的弧，故⑤说法不正确；
不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故⑥说法正确，
∴不正确的语句有4个，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了圆的有关概念及垂径定理，正确理解题意是解题的关键.
2．（2022·黑龙江·大庆市第三十六中学九年级期末）下列说法正确的是（       ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系对AC进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据对称轴的定义对D进行判断．
【详解】
解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以本选项错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以本选项错误；
C、等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以本选项正确；
D、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．










课后训练


一、选择题
1．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级阶段练习）下列说法正确的个数是（       ）
①平分弦的直径，必垂直于这条弦；
②圆的切线垂直于圆的半径；
③三点确定一个圆；
④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据垂径定理的推论可判断①，根据切线的性质可判断②，根据确定圆的条件可判断③，根据圆周角与弦的关系可判断④．
【详解】
解：①平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦；
②圆的切线垂直于过切点的半径；
③平面内不共线三点确定一个圆；
④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等或互补．
故没有正确的．
故选A
【点睛】
本题考查了垂径定理的推论，切线的性质，确定圆的条件，圆周角与弦的关系，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2021·辽宁抚顺·九年级阶段练习）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P在边AB上，且AP＝3，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（　　）
A．点B、C均在⊙P内 B．点B在⊙P上、点C在⊙P内
C．点B、C均在⊙P外 D．点B在⊙P上、点C在⊙P外
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示，连接DP，CP，先求出BP的长，然后利用勾股定理求出PD的长，再比较PC与PD的大小，PB与PD的大小即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接DP，CP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=3，AB=8，
∴BP=AB-AP=5，
∵，
∴PB=PD，
∴，
∴点C在圆P外，点B在圆P上，
故选D．

【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．
3．（2022·湖北襄阳·一模）如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于点E．若OE∶OB＝3∶5，则直径AB的长为（     ）

A．16 B．13 C．10 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OC，可知OC=OB，设：OE=3x，则OB=OC=5x，在中，利用勾股定理即可求出OB，由此可求出直径AB．
【详解】
解：如图，连接OC，则OB=OC，

∵⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于点E，
∴CE=DE=4，
∵OE∶OB＝3∶5，
设：OE=3x，则OB=OC=5x，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：x=1，
∴OB=5，即AB=10．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是圆的垂径定理，以及勾股定理的应用，合理利用线段比例关系构建直角三角形是解题的关键．
4．（2022·浙江·温州绣山中学九年级期末）如图，在矩形中，，．若以点B为圆心，以4cm长为半径作OB，则下列选项中的各点在外的是（       ）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出BD的长，进而得出点A，C，D与⊙B的位置关系．
【详解】
解：连接BD，

在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∵∠B＝90°，
∴BD5，
∵AB＝3＜4，BD＝5＞4，BC＝4，
∴点D在⊙B外，点C在⊙B上，点A在⊙B内．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①如果点P在圆外，那么d＞r；②如果点P在圆上，那么d＝r；③如果点P在圆内，那么d＜r．反之也成立．
5．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为3米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差（即）为0.5米．则秋千链子的长为（       ）

A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D．米
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知，秋千摆至最低点时，点D为的中点，由垂径定理知OD⊥AB， AD=AB=1.5米．再根据勾股定理求得OA即可．
【详解】
解：∵点D为的中点，
∴由垂径定理知OD⊥AB，AD=BD=AB=×3=1.5(米)，
∴OA2=AD2+OD2，
则OA2=AD2+(OA-CD)2=1.52+(OA-0.5)2，
解得：OA=2.5(米)．
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，将实际问题抽象为几何问题是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·黑龙江七台河·九年级期末）若两个圆的半径分别为3和4，圆心之间的距离是5，则这两个圆的位置关系是______．
【答案】相交
【解析】
【分析】
首先根据题意比较两个圆的半径的和差与圆心距的关系，即可得出答案．
【详解】
由题意可知r1=3，r2=4，d=5，可知4-3＜5＜4+3，
即r2-r1＜d＜r2+r1．
所以两个圆相交．
故答案为：相交.
【点睛】
本题主要考查了圆与圆的位置关系，掌握两个圆的半径的和差与圆心距的关系是判断的关键，即相切，相交，相离．
7．（2021·江苏泰州·九年级期中）已知⊙O与点P在同一平面内，若⊙O的半径为6，线段OP的长为4，则点P与⊙O的位置关系是 _________．
【答案】点P在⊙O内
【解析】
【分析】
比较⊙O的半径为r与点P到圆心的距离的大小，进而判断点与圆的位置关系．
【详解】
解：∵⊙O的半径为6，线段OP的长为4，
∴⊙O的半径＞线段OP的长，
∴点P在⊙O内，
故答案为：点P在⊙O内．
【点睛】
本题考查的是点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
8．（2020·全国·九年级期中）下列说法：①半径为3cm且经过点P的圆有无数个；②直径是圆的对称轴；③菱形的四个顶点在同一个圆上；④平分弦的直径垂直于这条弦．其中真命题有___．（填序号）
【答案】①
【解析】
【分析】
根据圆的定义判断①为真命题；根据对称轴是直线，判断②为假命题；根据菱形的性质及四点共圆判断③是假命题；根据垂径定理判断④为假命题．
【详解】
解：①半径为3cm且经过点P的圆有无数个，本说法是真命题，符合题意；
②直径所在的直线是圆的对称轴，本说法是假命题，不符合题意；
③菱形的四个顶点不一定在同一个圆上，本说法是假命题，不符合题意；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，本说法是假命题，不符合题意；
故答案为：①．
【点睛】
本题主要考查了圆的定义及性质，正确理解相关概念是解题的关键．
9．（2022·四川·泸县毗卢镇学校九年级期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦AB＝16米，半径等于10米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_________平方米．

【答案】40
【解析】
【分析】
由题意可知OC⊥AB于D，交圆弧于C，由垂径定理得到米，再由勾股定理得到米，求得米，然后由弧田面积公式即可得出结果．
【详解】
解：由题意得：OC⊥AB于D，
∴AD＝BD＝AB＝8米，
在中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（米），
∴CD=OC﹣OD＝10﹣6＝4（米），
∴弧田面积＝（弦×矢+矢×矢）＝×（16×4+4×4）＝40（平方米），
故答案为：40．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．
10．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值是 ______．

【答案】6
【解析】
【分析】
过O点作OH⊥AB于H，连接OB，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝8，再利用勾股定理计算出OH，然后根据垂线段最短求解．
【详解】
解：如图，过O点作OH⊥AB于H，连接OB，

∴AH＝BH＝AB＝×16＝8，，
在Rt△BOH中，由勾股定理可得：
，
∴线段OP长的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理以及最短线段问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
三、解答题
11．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．

【答案】3
【解析】
【分析】
根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得△AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．
【详解】
解：∵E点为AF中点，
∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，
∴OC∥AF，
∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝∠ODC，
在△AEO和△ODC中，
，
∴△AEO≌△ODC（AAS），
∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，
∴OD＝＝＝3．
【点睛】
本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．
12．（2021·全国·九年级课时练习）已知A为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P．
（1）如果，那么点P与有怎样的位置关系？
（2）如果，那么点P与有怎样的位置关系？
【答案】（1）点P在外；（2）点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上．
【解析】
【分析】
（1）点和圆的位置关系有：①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可；
（2）点和圆的位置关系有①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可．
【详解】
解：（1），的直径为2
点的位置只有一种情况在圆外，
即点与的位置关系是点在圆外．
（2），的直径为2
点的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内．
即点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上．
【点睛】
本题考查了圆的认识的应用，解题的关键是做注意多种情况的考虑，注意：点和圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内．
13．（2022·重庆·九年级期末）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度（即的中点到弦AB的距离）为4cm，求这个圆形截面所在圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)10cm
【解析】
【分析】
（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可，
（2）先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．
(1)
如图所示，⊙O为所求作的圆形截面．

(2)
如图，作半径OC⊥AB于D，连接OA，

则AD＝AB＝8 cm，点C为的中点，
进而，CD＝4 cm．
设这个圆形截面所在圆的半径为r cm，则OD＝（r－4） cm．
在Rt△ADO中，有82＋（r－4）2＝r2，
解得r＝10．
即这个圆形截面所在圆的半径为10 cm．
【点睛】
此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．
14．（2022·湖南长沙·一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E．


(1)求证：四边形ADOE是正方形；
(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)cm
【解析】
【分析】
（1）根据ACAB，ODAB，OEAC，可得四边形ADOE是矩形，由垂径定理可得AD=AE，根据邻边相等的矩形是正方形可证；
（2）连接OA，由勾股定理可得．
(1)
证明：∵ACAB，ODAB，OEAC，
∴四边形ADOE是矩形，，，
又∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴四边形ADOE是正方形．
(2)
解：如图，连接OA，

∵四边形ADOE是正方形，
∴cm，
在Rt△OAE中，由勾股定理可得：cm，
即⊙O的半径为cm．
【点睛】
本题考查圆与正方形，熟练掌握正方形的判定方法、圆有关的性质，是解题的关键．
15．（2022·山东省枣庄市第四十一中学一模）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：

(1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长；
(2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径．
【答案】(1)cm
(2)cm
【解析】
【分析】
（1）如图1，作交于，交于，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求的值；
（2）如图2，延长交于，连接，设半径为，由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的解即可．
(1)
解：如图1，作交于，交于，连接

由题意知，，
在中，由勾股定理得
∴
∴的长为．
(2)
解：如图2，延长交于，连接，设半径为

由题意知，由折叠和中点的性质可知，
在中，由勾股定理得，即
解得：，（不合题意，舍去）
∴半径的长为．
【点睛】
本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．